小鱼宝儿 发表于 2014-7-23 11:04:15

证明平面封闭图形中,同周长圆的面积最大。

如题,求证:平面封闭图形中,同周长圆的面积最大。

支点 发表于 2014-7-23 11:39:02

首先证明正多边形在多边形中面积最大
然后先考虑三角形 然后正方形   然后正五边形  正六边形。。。最后极限就是圆了

战斗机 发表于 2014-7-23 12:03:02

支点 发表于 2014-7-23 11:39 static/image/common/back.gif
首先证明正多边形在多边形中面积最大
然后先考虑三角形 然后正方形   然后正五边形  正六边形。。。最后极 ...

小伙挺机智啊!

6X。 发表于 2014-7-23 19:31:43

本帖最后由 6X。 于 2014-7-23 19:48 编辑

正n边形面积为S=nx^2/
其中n为边数,x为边长

因周长固定,即C=nx
则S=C^2/(证明此函数为增函数且收敛过程略,求导感觉略烦不想求)

求极限lim(n→∞){C^2/}=C^2/4pi(tanx与x为等阶无穷小)

原问题转化为S=C^2/4pi的充分必要条件是图形为圆形

(后面证明还没想,先写这么多,其实求极限n→∞已暗示图形为圆形,不过个人觉得后面的问题也值得证明)
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