与魔方有关的问题
<P>一个三阶魔方,如果只允许转动U面和R面,问一共能产生多少种不同的角块位置的状态(就是说不考虑角块色向,只考虑位置,有多少种不同的状态)?</P><P> </P>
<P>摘自《Handbook of CUBIK MATH》(作者A.H.Frey, D.Singmaster)习题7.5-1</P> 如果再加不考虑棱块变化,答案是不是6!=720 ?如果棱块不许移动,则答案是不是6!/ 2=360 ?
问题是,我的考虑中没有用到只转U和R这条件,只考虑了5号角和6号角最后不动等,而中间过程是允许动的,也就是不限于转U和R,不知答案是否一样?
那只许转U和R的条件是否属于“捆绑”魔方了?是否影响答案?
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下面g老师的java图失效了,我代为补充于此。
4楼的:
SupersetENG
29
4,6,6,0,0,6,0,0,6
6,6,6,6,6,6,6,6,6
0,0,6,0,0,6,0,0,6
6,6,4,6,0,0,6,0,0
4,6,4,0,0,0,0,0,0
4,6,6,6,6,6,4,6,6
5楼的:
SupersetENG
U2 R' U' R' U' R U R U R U
29
6楼的:
SupersetENG
29
4,3,4,0,0,6,0,0,4
4,3,4,6,6,6,4,6,4
0,0,4,0,0,6,0,0,4
4,3,4,6,0,0,4,0,0
4,3,4,0,0,0,0,0,0
4,3,4,3,6,3,4,3,4
[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-14 17:44 编辑 ] 一直以来关于魔方的纯理论东西我知道的就是少。:L <BR> <BR> <FONT color=blue><STRONG>一、单考虑 正六面体三阶魔方“角块”的位置状态(不考虑“棱块”)。</STRONG></FONT><BR> <BR> 此时,除了两个固定的“白角块”不能动外,其他六个自由“角块”<BR> <BR>任选两个“排”到两个“蓝角块”的位置,共有 6 × 5 = 30 种排列方法。<BR> <BR>令人无奈的是,剩下可怜的四个“角块”只能在右边乖乖地原地“兜圈子”。<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR>
<applet code="ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class" codebase="http://bbs.mf100.org" archive="rubikplayer.jar" width="300" height="300">
<param name="ColorTable" value="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585">
<param name="scrgptLanguage" value="SupersetENG">
<param name="stickersFront" value="4,6,6,0,0,6,0,0,6">
<param name="stickersRight" value="6,6,6,6,6,6,6,6,6">
<param name="stickersDown" value="0,0,6,0,0,6,0,0,6">
<param name="stickersBack" value="6,6,4,6,0,0,6,0,0">
<param name="stickersLeft" value="4,6,4,0,0,0,0,0,0">
<param name="stickersUp" value="4,6,6,6,6,6,4,6,6">
</applet>
<BR> <BR> 因此,这种情况 6 个自由“角块”只能产生相对与固定“角块” 的 <BR> <BR> 6 × 5 × 4 = 120 种不同的位置状态。<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <FONT color=blue><STRONG>二、给大家一个 正六面体三阶魔方“棱块” 的 只允许转动 U 面 和 R 面<BR> <BR>的“三置换”公式:<BR></STRONG></FONT> <BR> <BR> <BR> <FONT color=blue size=6><STRONG> U2R'U'R'U'RURURU <BR></STRONG></FONT> <BR> <BR><APPLET codeBase=http://bbs.mf100.org height=300 archive=rubikplayer.jar width=300 code=ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class><PARAM NAME="scrgpt" VALUE="U2R'U'R'U'RURURU"><PARAM NAME="scrgptlanguage" VALUE="SupersetENG"><PARAM NAME="colortable" VALUE="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585"></APPLET> <BR> <BR> <BR> <BR> 这种“三置换”公式,可以不破坏 正六面体三阶魔方 的其他各块,独立<BR> <BR>进行 正六面体三阶魔方“棱块” 的“三置换”。 <BR> <BR> 其他只允许转动 U 面 和 R 面的不同“棱块” 的“三置换”公式,大家<BR> <BR>自己可以通过上面的公式进行相似变换(或 共轭变换)即可。<BR> <BR> <BR>
[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-7-19 05:35 编辑 ] <BR> <BR> <BR> <FONT color=blue><STRONG>三、同时考虑“棱块”的 正六面体三阶魔方“角块”的位置状态。<BR></STRONG></FONT> <BR> <BR> 类似上面的“三置换”公式,可以把除了固定的“白块”及“蓝角块”<BR> <BR>以外,其他七个自由“棱块”任选四个“排”到四个“黄棱块”的位置,共有 <BR> <BR> 7 × 6 × 5 × 4 = 840 种排列方法。 这时,剩下的三个“棱块”也只能做<BR> <BR>“三置换”了。<BR> <BR>
<applet code="ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class" codebase="http://bbs.mf100.org" archive="rubikplayer.jar" width="300" height="300">
<param name="ColorTable" value="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585">
<param name="scrgptLanguage" value="SupersetENG">
<param name="stickersFront" value="4,3,4,0,0,6,0,0,4">
<param name="stickersRight" value="4,3,4,6,6,6,4,6,4">
<param name="stickersDown" value="0,0,4,0,0,6,0,0,4">
<param name="stickersBack" value="4,3,4,6,0,0,4,0,0">
<param name="stickersLeft" value="4,3,4,0,0,0,0,0,0">
<param name="stickersUp" value="4,3,4,3,6,3,4,3,4">
</applet>
<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> 从而,相对于某一种正六面体三阶魔方“角块”的位置状态,其他七个<BR> <BR>自由“棱块”有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520 种不同的位置状态。<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> 因此,同时考虑“棱块”的 正六面体三阶魔方“角块”的位置状态 有<BR> <BR> 120 × 2520 = 302400 种不同的方法。<BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <FONT color=blue><STRONG> 注:以上方法均按题意,不考虑角块色向、棱块色向,只考虑它们的位置。</STRONG></FONT><BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <BR> <P>这题我也不会做,但根据书最后附的答案,120是正确的!</P>
<P> </P>
<P>但感觉4楼的理由还不够充分啊!就是说如何证明:当两个蓝角块位是我们已经取定的两块时,余下的4个角块一共只有4种不同的位置状态。</P> <P>原帖由 <I>乌木</I> 于 2008-7-18 23:13 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=187267&ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 如果再加不考虑棱块变化,答案是不是6!=720 ?如果棱块不许移动,则答案是不是6!/ 2=360 ? 问题是,我的考虑中没有用到只转U和R这条件,只考虑了5号角和6号角最后不动等,而中间过程是允许动的,也就是 ... </P>
<P> </P>
<P>原题是不考虑棱块的,但只允许转动U和R确实相当于一个捆绑魔方,所以答案不是720.</P>
<P> </P>
<P>现在这题就变成证明题了,证明答案是120<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> </P>
<P> </P>
<P>那本书后面关于这题的答案很详细,我觉得很巧妙。希望大家能找到自己的证明方法!</P>
<P> </P> 这样的问题,我只能说——学习! <BR> <BR> <BR> 楼主的题目,不单单“角块位置”的规律有趣,“棱块位置”的规律也很有趣。<BR> <BR> 大家可以试着论证。(方法不限,提倡越多越好)<BR> <BR> <BR> <BR>