公式循环原理的2个证明
公式循环原理的2个证明命题:对任何的公式X,都存在整数N,使得公式X作用于一个还原的魔方N次,能重新到还原的状态。
公理:
1.魔方的变化种类是有限的,假定为NAN个状态。
2.A状态经过一个公式只有唯一确定的B状态
3.A经过一确定公式得到状态B,则必定存在逆公式从B到A
第一个证明:由于魔方状态数有限,所以做一个公式不超过变化种类的次数,就会出现重复的状态(因为抽屉原理)。记第一次出现重复状态
为A1,这两个相同状态的变化为 A1->A2->A3->...->AN->A1,这两个相同的状态如果恰好是复原的状态,那么命题得证。
如果不是复原的状态,那么它就是复原状态的一个置换t(),t相当与一个变换函数,t(复原状态)=A1。现在将t施加在整个链上 A1->A2->A3-
>...->AN->A1,变成 t(A1)->t(A2)->t(A3)->...->t(AN)->t(A1)也就得到了两个复原状态的循环,得证。
第二个证明:由于魔方状态数有限,所以做一个公式不超过变化种类的次数,就会出现重复的状态(因为抽屉原理)。记第一次出现重复状态
为A1,这两个相同状态的变化为 A1->A2->A3->...->AN->A1,下面说明A1只可能是复原的状态。
如果A1不是复原的状态,那么就是A1从复原状态 I 经过一系列变换到A1,然后就在A1这个点循环了。
I->I1->I2->...->Ik->A1->A2->A3->...->AN->A1
可是由公理3,从A1做公式X的逆公式,不可能同时得到Ik和AN两个状态,否则就矛盾了;这说明Ik=AN,可是如果这样就说明IK是第一次出现重复状态的点,这与A1是出现重复状态的点相矛盾。故A1只可能是复原的状态,证毕。
[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-3-23 15:03 编辑 ] 对原理比较着迷,坐个沙发研究下。 吓..只看得懂前面一点.. 懵懵懂懂,看着楼主辛苦顶一个 。研究一下。。。。。。。。。 先收藏 以后慢慢看~~~ 只会拧魔方 重来没研究理论 学习了 1楼说“命题:对任何的公式X,都存在整数N,使得公式X作用于一个还原的魔方N次,能重新到还原的状态。”
提两点意见:
1、如果扩展一下“公式”的定义,即允许公式内部含有某种重复的话,比如,有个公式“U F”,其重复周期是整数;如果有人就是要把“U F U F”定义为一个公式,那么,后者的重复周期就不是整数了!此公式做到第某个半遍时,魔方状态就复初了。
2、何必局限于“作用于一个还原的魔方”,应该说得更加一般些--“作用于任一个魔方态”,若干遍之后,也可以复初!一般,人们喜欢用复原态作为初态,仅仅是因为人脑看起来较直观、容易识别而已。
[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-23 16:45 编辑 ] 还有,恐怕不必涉及魔方态总数有限这一点。
一个魔方的块数就是有限的,而且变来变去都没有脱开原来的一个立方体范围,魔方没有散架,也没有什么“外来者”入侵替换,再加上一个极其重要的性质--一个公式施加于任何魔方态时,每做一遍后,和这一遍的初态比较,所发生的变化模式是完全一样的。这样就马上可以推断:每做一遍,各类块必然发生数目或多或少、长度或大或小的位置循环。这样,一遍一遍……做下去,循环数目不变,各循环的大小也不变,变的只是循环内有关的块在“走马灯”!一个循环的成员决不会变更,循环的几个位置决不会变更,真是决不“越雷池一步”。一遍一遍进行过程中,各循环进行到自己周期变化的哪一“相位”,各自不同。循环内外有关块的色向变化也有简单的周期性。
所以,各此类周期的最小公倍数就是该公式(使魔方状态)重复的周期。
换一个公式,换一种初态,规律也是这样,各具体数值可以一样也可以不同,如此而已。
[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-23 21:23 编辑 ]
楼主的问题推荐大家参考: 最小循环周期为总状态数的魔方
中的相关内容。
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5240
原帖由 乌木 于 2009-3-23 16:28 发表 http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif
提两点意见:
1、如果扩展一下“公式”的定义,即允许公式内部含有某种重复的话,比如,有个公式“U F”,其重复周期是整数;如果有人就是要把“U F U F”定义为一个公式,那么,后者的重复周期就不是 整数 了!此公式做到第某个半遍时,魔方状态就复初了。
2、何必局限于“作用于一个还原的魔方”,应该说得更加一般些--“作用于任一个魔方态”,若干遍之后,也可以复初!一般,人们喜欢用复原态作为初态,仅仅是因为人脑看起来较直观、容易识别而已。
正如 乌木 先生所说,请大家参考:
小议正六面体三阶魔方周期性问题
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=10920
这个问题讨论的比较多了,关于魔方“公式”的“最小正循环周期”,本人的拙见:
一、正六面体三阶魔方“公式”最小正循环周期的最大值结论既非 1980 ,更非 1260 。
二、魔方“公式”的“最小正循环周期”为“正有理数”,而并非“正整数”。
三、魔方“公式”在其“最小正循环周期”内遍历的最值问题。
[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-25 08:55 编辑 ]
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