二阶状态总数有多少？

乌木发表于 2007-12-23 17:11:59

在<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1850&extra=page%3D1">二阶魔方的最远状态 (第11步)</A> 一帖中已跟帖发问，为醒目，另贴这一帖。
 
我总有个疑问：
 
那帖子的1楼的应该指180°转算作一步的，算得二阶魔方的状态总数为 3674160。 
 
那帖的74楼把180°转算作两步，算得二阶魔方状态总数为 1841970 。 
 
二阶魔方状态总数应该是个确定值（对吗？），怎么会因统计步数方法的不同而不同呢？
 
或者，这两个“总数”的含义各指什么呢？ 
 
求教，求教。
 

[ 本帖最后由乌木于 2007-12-23 17:14 编辑 ]

w-inds. 发表于 2007-12-23 17:35:45

总数应该是指每个形态都是各异的,有相似或无相似之处,但并不是完全一样.

noski 发表于 2007-12-23 17:41:57

另一贴里回复的，我拷过来。。 

我还是赞同3674160这个结果，另一个结果我也没想清楚是怎么算出来的。 
 
我计算的时候都是固定一个角块还消同态的。比如二阶，固定BLD块，则只能进行F、U、R三个操作（因为拧L面就等价于拧R面，其它同理）。除了BLD块的七个块，用排列组合算出来就是7！x 3^6，即3674160。 
 
而且状态数与90还是180应该没有关系。ggglgq的结果比黑王子的结果小了将近一半，可能是除去了镜像的状态吧。2*1841970 - 3674160＝9780，我没验证，这个数很可能就是左右对称的状态个数。

ggglgq 发表于 2007-12-26 10:26:47

期末杂事颇多，以后如果不能及时回复大家的帖子，也请大家谅解！       非常欢迎大家探讨魔方的最少步算法及其深刻的循环变换理论。       首先，正六面体二阶魔方的总状态数为 3674160 。     从复原态出发，其分布如下（旋转 180° 按一步计算）：     复原态 1     第01步 9     第02步 54     第03步 321     第04步 1847     第05步 9992     第06步 50136     第07步 227536     第08步 870072     第09步 1887748     第10步 623800     第11步 2644     第12步 0     -----------------------------     总  数 3674160            其次，正六面体二阶魔方“考虑角块绝对位置”的总状态数为 88179840 。     从复原态出发，其分布如下（旋转 180° 按一步计算）：     复原态 1     第01步 18     第02步 243     第03步 2874     第04步 28000     第05步 205416     第06步 1168516     第07步 5402254     第08步 20775972     第09步 45391890     第10步 15139920     第11步 64736     第12步 0     -----------------------------     总  数 88179840

ggglgq 发表于 2007-12-26 10:29:25

本人开发正六面体二阶魔方最远状态软件时采用了 48 “同态”优化技巧。 在此“技巧”下，本人开发的程序只需计算总状态数的约 1 / 48 个状态，就可以 完成正六面体二阶魔方最远状态的计算。下面是 48 “同态”优化技巧下的结果。       正六面体二阶魔方经过 48 “同态”后的“不同状态”的总状态数仅为 77802 。     从复原态出发，其分布如下（旋转 180° 按一步计算）：     复原态 1     第01步 2     第02步 5     第03步 19     第04步 68     第05步 271     第06步 1148     第07步 4915     第08步 18364     第09步 39707     第10步 13225     第11步 77     第12步 0     ------------------------------     总  数 77802 ≈ 3674160 / 48          正六面体二阶魔方“考虑角块绝对位置”的“不同状态”的总状态数仅为 1841970 。     从复原态出发，其分布如下（旋转 180° 按一步计算）：     复原态 1     第01步 2     第02步 9     第03步 71     第04步 637     第05步 4449     第06步 24653     第07步 113073     第08步 433709     第09步 947300     第10步 316616     第11步 1450     第12步 0     ---------------------------------     总  数 1841970 ≈ 88179840 / 48

ggglgq 发表于 2007-12-26 10:36:49

先送大家一个《<A href="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-5/20065719274976097.rar">正六面体二阶魔方-48“同态”图解</A>》软件（点击下载）。       下面简单介绍一下本人的 48 “同态”优化技巧：   1.对于每一操作，都存在一个“左右镜像（对称）操作”（只考虑一个，不要考虑太复杂）   2.对于正六面体二阶魔方的每一操作 T ，都存在 4 * 6 个相对位置的操作态。相当于： 把 n 号位置移到“后左上 0 位置”后再进行操作 T ，共有 4 * 6 个相对位置的操作态。       由 1、2 即可得到正六面体二阶魔方每一操作的 48“同态”操作。详见 《<A href="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-5/20065719274976097.rar">正六面体二阶魔方-48“同态”图解</A>》       由正六面体二阶魔方 48 “同态”优化技巧可知，知道正六面体魔方的一个操作 T ， 就可以知道它的 48 个“同态”操作 T48 ，效率提高了近 48 倍！  48 “同态”优化技巧 可以大大缩短程序的运行时间，提高程序的运行效率。

ggglgq 发表于 2007-12-26 10:40:50

对于正六面体二阶魔方经过最远状态的 11 步后的 2644 个状态之间是 什么关系的问题？大家可以在经过 48 “同态”后的下面的 77 个“不同状态” 中比较后得到答案。       注意这 77 个“不同状态”可用我的《正六面体二阶魔方-48“同态”图解》 展开成 2644 个状态。即 2644 个状态全部都在这 77 个浓缩的“不同状态”中！     第 11 步 ========================================= R2F2U'R U'F2U'R'U'R'U'  ：    11 步  第 1 个（总第 77726 个） R'U F2R'F R F'R'U'R'U'  ：    11 步  第 2 个（总第 77727 个） R2U'R2U'F2R F'R'U'R'U'  ：    11 步  第 3 个（总第 77728 个） F U R'U F'R2F R'U'R'U'  ：    11 步  第 4 个（总第 77729 个） R'F'R'F'U R2F R'U'R'U'  ：    11 步  第 5 个（总第 77730 个） R'U F2R U2R2F R'U'R'U'  ：    11 步  第 6 个（总第 77731 个） F2R U2F U F2U2R'U'R'U'  ：    11 步  第 7 个（总第 77732 个） U2F2R U'R2U'F2R'U'R'U'  ：    11 步  第 8 个（总第 77733 个） F R F2U2F'R'F2R'U'R'U'  ：    11 步  第 9 个（总第 77734 个） U2F2U R U R'F2R'U'R'U'  ：    11 步  第 10 个（总第 77735 个） R2U2R U R'U F2R'U'R'U'  ：    11 步  第 11 个（总第 77736 个） R'U R2U'R2U2F2R'U'R'U'  ：    11 步  第 12 个（总第 77737 个） U2R'U'R2U'R'U'R U'R'U'  ：    11 步  第 13 个（总第 77738 个） F2R'U'R2U'R'U'R U'R'U'  ：    11 步  第 14 个（总第 77739 个） R2F'R'F U2R'U'R U'R'U'  ：    11 步  第 15 个（总第 77740 个） F'R U F2R2F'U'R U'R'U'  ：    11 步  第 16 个（总第 77741 个） U'F U2R2F R U'R U'R'U'  ：    11 步  第 17 个（总第 77742 个） U'F2R U2R'F U'R U'R'U'  ：    11 步  第 18 个（总第 77743 个） U F2R U2R'F U'R U'R'U'  ：    11 步  第 19 个（总第 77744 个） R'U F'R2U2F U'R U'R'U'  ：    11 步  第 20 个（总第 77745 个） F2R'U F'R2F U'R U'R'U'  ：    11 步  第 21 个（总第 77746 个） F'U R'F2U R2U'R U'R'U'  ：    11 步  第 22 个（总第 77747 个） U2F'U F'U F2U'R U'R'U'  ：    11 步  第 23 个（总第 77748 个） F'U R'F2U F2U'R U'R'U'  ：    11 步  第 24 个（总第 77749 个） U'R2U2R'F R'F'R U'R'U'  ：    11 步  第 25 个（总第 77750 个） F R'F2R2F'U F'R U'R'U'  ：    11 步  第 26 个（总第 77751 个） U'R2F'U F'R F'R U'R'U'  ：    11 步  第 27 个（总第 77752 个） R U2F'U F2R F'R U'R'U'  ：    11 步  第 28 个（总第 77753 个） F'R'F'R U'R2F'R U'R'U'  ：    11 步  第 29 个（总第 77754 个） F R'U2R U R'F R U'R'U'  ：    11 步  第 30 个（总第 77755 个） U'R2F U'F R'U2R U'R'U'  ：    11 步  第 31 个（总第 77756 个） U R2F U'F R'U2R U'R'U'  ：    11 步  第 32 个（总第 77757 个） U'R2U'F R'F'U2R U'R'U'  ：    11 步  第 33 个（总第 77758 个） R2F U'F U F'U2R U'R'U'  ：    11 步  第 34 个（总第 77759 个） R U'F2R2U F'U2R U'R'U'  ：    11 步  第 35 个（总第 77760 个） R F R F2R'U'F2R U'R'U'  ：    11 步  第 36 个（总第 77761 个） R U R'U F2U'F2R U'R'U'  ：    11 步  第 37 个（总第 77762 个） R2U R'U'F R'F2R U'R'U'  ：    11 步  第 38 个（总第 77763 个） R F R'U R'U F2R U'R'U'  ：    11 步  第 39 个（总第 77764 个） U2R F'R'F'U2F2R U'R'U'  ：    11 步  第 40 个（总第 77765 个） F2U2F'U F'U2F2R U'R'U'  ：    11 步  第 41 个（总第 77766 个） F2U2F U F'U2F2R U'R'U'  ：    11 步  第 42 个（总第 77767 个） R'U'F R2U'R'U'R2U'R'U'  ：    11 步  第 43 个（总第 77768 个） F'R2U R F2R'U'R2U'R'U'  ：    11 步  第 44 个（总第 77769 个） F'U2R U'R F U'R2U'R'U'  ：    11 步  第 45 个（总第 77770 个） R U2R U'R F U'R2U'R'U'  ：    11 步  第 46 个（总第 77771 个） R2U2R U'R F U'R2U'R'U'  ：    11 步  第 47 个（总第 77772 个） R U2F2R U'R2U'R2U'R'U'  ：    11 步  第 48 个（总第 77773 个） F U F U'R2F U R2U'R'U'  ：    11 步  第 49 个（总第 77774 个） F2U R F'R U'F R2U'R'U'  ：    11 步  第 50 个（总第 77775 个） F R2F R'U'R'U2R2U'R'U'  ：    11 步  第 51 个（总第 77776 个） U R F'U F'R'U2R2U'R'U'  ：    11 步  第 52 个（总第 77777 个） U R U2F2R'U'F2R2U'R'U'  ：    11 步  第 53 个（总第 77778 个） U'R2F U F'R F2R2U'R'U'  ：    11 步  第 54 个（总第 77779 个） R'F2U F U2F2U'R'U R'U'  ：    11 步  第 55 个（总第 77780 个） R'F'U2F R2U2F'R'U R'U'  ：    11 步  第 56 个（总第 77781 个） U F R2U2F R'U R'U R'U'  ：    11 步  第 57 个（总第 77782 个） U R2F'R2F R'U R'U R'U'  ：    11 步  第 58 个（总第 77783 个） R F'U F'R2F'U R'U R'U'  ：    11 步  第 59 个（总第 77784 个） U2F'R F2R2F'U R'U R'U'  ：    11 步  第 60 个（总第 77785 个） F2R'F'U F'R2U R'U R'U'  ：    11 步  第 61 个（总第 77786 个） R2F'R2U'F U F R'U R'U'  ：    11 步  第 62 个（总第 77787 个） F2U2F U R2U F R'U R'U'  ：    11 步  第 63 个（总第 77788 个） F'U F2R'F'R2F R'U R'U'  ：    11 步  第 64 个（总第 77789 个） R F2R F U F'U2R'U R'U'  ：    11 步  第 65 个（总第 77790 个） R'F U2R2F'R U'R U R'U'  ：    11 步  第 66 个（总第 77791 个） R F2R'F R2U'F R U R'U'  ：    11 步  第 67 个（总第 77792 个） F2R2U2F'U'F U'R2U R'U'  ：    11 步  第 68 个（总第 77793 个） F2R2U2F U'F U'R2U R'U'  ：    11 步  第 69 个（总第 77794 个） R2U2F U'F R F'R2U R'U'  ：    11 步  第 70 个（总第 77795 个） F'U2R2U F R F'R2U R'U'  ：    11 步  第 71 个（总第 77796 个） F U2F R'F U2F'R2U R'U'  ：    11 步  第 72 个（总第 77797 个） U R U2F'R U F2R2U R'U'  ：    11 步  第 73 个（总第 77798 个） U'R2U2F U'F U2F U2R'U'  ：    11 步  第 74 个（总第 77799 个） U2R F2R'U2F U R2U2R'U'  ：    11 步  第 75 个（总第 77800 个） F2R'U F U F2U R'U'R U'  ：    11 步  第 76 个（总第 77801 个） R2F R'U R F2U'R U R2U'  ：    11 步  第 77 个（总第 77802 个）

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二阶状态总数有多少？