拼立方体－5480个花样－60道立体造型题
本帖最后由 乌木 于 2013-5-28 20:29 编辑当初我不大会发帖，下面3～5楼烟兄帮我贴出，现在，论坛多次升级，3～5楼的内容看不清了，我在这1楼把内容贴出。2012.5.30.
拼 立 方 体
有一种拼装型智力积木由九个零件组成，每个零件含三或四个小立方体单元（不可分，即“三连方”或“四连方”），它们的形状和颜色见图1。材质为塑料或木头。
玩法一：
取七件拼装成一个3×3×3单元的大立方体。
所取七件应该共含27个小单元，取法为1件三连方的和6件四连方的。
有两种三连方零件，取其一；
其余七件中任取六件，有7种取法；
共有7×2＝14组。
同一七件组，可拼出不止一种花样的立方体，数目有多有少。
我们用穷举法算得拼立方体的话，有3372个花样（见表1）。
随玩具还附有一套卡片，为60道拼立体造型的题目。
若所取七件共含26个小单元（两种三连方的都取；其余七件四连方中任取五件的取法有21种），则可以拼成空心的大立方体，算得拼法总数为2108种。
表1 不同的七件组的拼法数：
1、实心立方体：
不取的零件 拼法种数
1 1白，3橙 480
2 1白，4红 442
3 1白，5黄 78
4 1白，6棕 94
5 1白，7蓝 522
6 1白，8紫 337*
7 1白，9绿 337*
8 2黑，3橙 276
9 2黑，4红 198
10 2黑，5黄 54
11 2黑，6棕 无解
12 2黑，7蓝 64
13 2黑，8紫 245*
14 2黑，9绿 245*
小 计 3372
2、空心立方体：
不取的零件 拼法种数
1 3橙，4红 130
2 3橙，5黄 24
3 3橙，6棕 80
4 3橙，7蓝 174
5 3橙，8紫 143*
6 3橙，9绿 143*
7 4红，5黄 26
8 4红，6棕 94
9 4红，7蓝 170
10 4红，8紫 109*
11 4红，9绿 109*
12 5黄，6棕 12
13 5黄，7蓝 36
14 5黄，8紫 20*
15 5黄，9绿 20*
16 6棕，7蓝 76
17 6棕，8紫 92*
18 6棕，9绿 92*
19 7蓝，8紫 175*
20 7蓝，9绿 175*
21 8紫，9绿 208
小 计 2108
这5480个立方体中，一半对一半，一一对称。但一双对称的立方体中，零件8和9位置对称而颜色不同。其余零件位置和颜色都对称。究其原因，乃零件1到7，每个零件内部都含有对称面；而零件8和9则没有（相当于左手和右手）。
表1中不打*号的七件组，由于每个立方体同时含零件8和9，或者8和9都不取（第21组），故每一组内部就一半对一半，一一成对。（因而这些组的拼法数都是偶数。）例见图2，其中没有1白和3橙，所以是表1的实心第1组480个拼法中的两个。图2的两个实心立方体互相对称，成为一对。
而打*号的七件组，由于同一组的立方体只含一个零件8或一个零件9，同一组内的立方体无法配对，但和相应的邻组一一对称。（实心6组—实心7组，空心17组—空心18组，等等，相关两组各自的拼法数不一定是偶数，但要相等。）例如图3中两个空心立方体对称，分属第17、18组。
为增加趣味和训练空间方位感，做好一个立方体后，可让别人判断它是实心的还是空心的；是实心的话，其中心单元又是什么颜色。然后，练练“变”花样：看出并重排少数几个零件，得新花样立方体。
玩法二：
不取零件1和3，只用其余七件。不拼立方体，而是拼出指定的立体花样，相当于立体七巧板。
有人编了60个立体花样题图。当然，题图中看不出零件的拼装法，只见一个个同色的小立方体单元“堆砌”成的立体造型。有的像动物，有的像建筑物，有的是立体的几何图案。另附拼法答案——分解图。
实践表明，同一造型往往不止一种拼法。
图4给出这种题目的两例：
<P>感谢<b><FONT color=#000066>乌木</FONT></b>朋友为我们带来许多新鲜的内容。</P><P>最好能直接把内容发到论坛里，方便大家阅读，在此我代表魔方吧的朋友谢了。</P>
<P align=center><FONT color=#ff0000 size=6><b>拼装型智力积木</b></FONT>
</P>
<P><FONT size=4> 有一种拼装型智力积木由九个零件组成，每个零件含三或四个小立方体单元（不可分），它们的形状和颜色见图1。材质为塑料或木头，也可用纸自制。（有的产品零件 9除颜色为绿外，形状同零件8。余八件同图1。其5980种拼法也已算得。）</FONT></P>
<P align=center><IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-2/2005212215346839.gif" border=0></P>
<P><FONT size=4></FONT></P>
<P><FONT color=#0000ff size=4><b>玩法一：</b></FONT></P>
<P><FONT size=4> 取七件拼装成一个 3×3×3单元的大立方体。若所取七件共含27个小单元，则要求拼成 <FONT color=#0000ff><b>实心</b></FONT> 的大立方体。（取法为一件3单元的和六件4单元的。有两种3单元零件，取其一；余七件中任取六件，有7种取法；共有7×2＝14组）；若所取七件共含26个小单元，则要求拼成 <FONT color=#3300ff><b>空心</b></FONT> 的大立方体。（两种3单元的都取；七件中任取五件的取法有21种）。同一七件组，可拼出不止一种花样的立方体。数目有多有少。笔者配合<FONT color=#3300ff>南大余老师</FONT>算得全部 5480 种拼法。有意思的是，有一组居然无解。见表1（楼下）：</FONT></P> <TABLE borderColor=#0000ff height=673 width=520 align=center border=1><TR><TD colSpan=6 height=39><DIV class=样式1 align=center>表 1 ：<b><FONT color=#ff0000 size=5>不同的七件组的拼法数 </FONT></b></DIV></TD></TR><TR><TD colSpan=3 height=40><DIV class=样式11 align=center>空心 立方体</DIV></TD><TD colSpan=3><DIV class="样式1 样式10" align=center><b>实心 立方体</b></DIV></TD></TR><TR><TD width=40 height=43><DIV align=center></DIV></TD><TD width=100><DIV class=样式1 align=center><DIV align=center>不取的零件</DIV></DIV></TD><TD width=100><DIV class=样式1 align=center><DIV align=center>拼法种数</DIV></DIV></TD><TD width=40><DIV align=center></DIV></TD><TD width=100><DIV class=样式1 align=center><DIV align=center>不取的零件</DIV></DIV></TD><TD width=100><DIV class=样式1 align=center><DIV align=center>拼法种数</DIV></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>1</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>3橙，4红</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>130</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>1</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>1白，3橙 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>480</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>2</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>3橙，5黄 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>24</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>2</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>1白，4红 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>442</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>3</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>3橙，6棕 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>80</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>3</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>1白，5黄</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>78</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>4</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>3橙，7蓝 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>174</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>4</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>1白，6棕</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>94</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>*5</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>3橙，8紫 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>143</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>5</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>1白，7蓝 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>522</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>*6</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>3橙，9绿 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>143</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>*6</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>1白，8紫</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>337</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>7</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>4红，5黄 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>26</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>*7</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>1白，9绿</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>337</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>8</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>4红，6棕</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>94</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>8</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>2黑，3橙</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>276</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>9</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>4红，7蓝 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>170</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>9</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>2黑，4红</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>198</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>*10</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>4红，8紫</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>109</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>10</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>2黑，5黄</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>54</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>*11</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>4红，9绿</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>109</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>11</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>2黑，6棕</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>无 解 </FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>12</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>5黄，6棕</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>12</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>12</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>2黑，7蓝 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>64</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>13</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>5黄，7蓝 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>36</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>*13</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>2黑，8紫 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>245</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>*14</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>5黄，8紫 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>20</FONT></DIV></TD><TD><DIV class=样式1 align=center>*14</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>2黑，9绿 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>245</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD><DIV class=样式1 align=center>*15</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>5黄，9绿</FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>20</FONT></DIV></TD><TD colSpan=2><DIV class=样式6 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align=center>*18</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>6棕，9绿 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>92</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD height=29><DIV class=样式1 align=center>*19</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>7蓝，8紫 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>175</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD height=28><DIV class=样式1 align=center>*20</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>7蓝，9绿 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>175</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD height=22><DIV class=样式1 align=center>21</DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>8紫，9绿 </FONT></DIV></TD><TD><DIV align=center><FONT size=4>208</FONT></DIV></TD></TR><TR><TD colSpan=2 height=22><DIV class=样式6 align=center><b>小 计</b></DIV></TD><TD><DIV align=center><b><FONT color=#0000ff size=4>2108</FONT></b></DIV></TD></TR></TABLE> <FONT size=4>这 5480个立方体中，一半对一半，一一对称。但一双对称的立方体中，零件8和9位置对称而颜色不同。其余零件位置和颜色都对称。究其原因，乃零件1到7，每个零件内部都含有对称面；而零件8和9则没有（相当于左手和右手）。若把零件8和9的颜色弄得一样的话，则区别不直观，颜色少了一色，且大立方体的花样也不“匀”；若再配两个备用零件8绿和9紫，则虽可解决颜色对称问题，但利少弊多，平添混乱。还是 <FONT color=#0000ff>不计较零件 8、9的颜色差别</FONT> 为好。 </FONT>
<P><FONT size=4> 表 1中不打*号的七件组，由于每个立方体同时含零件8和9，或者8和9都不取（第21组），故每一组内部就一半对一半，一一成对。（因而这些组的拼法数都是偶数。）例见图2，其中没有1白和3橙，所以是表1（左）第1组480个拼法中的两个。图2两个实心立方体互相对称，成为一对。而打*号的七件组，由于同一组的立方体只含一个零件8或一个零件9，同一组内的立方体无法配对，但和相应的邻组一一对称。（左6组—左7组，17组—18组等等，相关两组各自的拼法数不一定是偶数，但要相等。）例如图3中两个空心立方体对称，分属第17、18组。</FONT></P>
<P align=center><FONT size=4> <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-2/200521222139907.gif" border=0></FONT></P>
<P><FONT size=4></FONT></P>
<P><FONT size=4> 已经把 5480个（以及图1旁注中5980个）立方体花样（如图2、3所示）全部画出。为便于查找，也设法编出了目录。需要详情者，请与笔者联系： <FONT color=#3300ff>yumin598@163.com</FONT> </FONT></P>
<P><FONT size=4> 为增加趣味和训练空间方位感，做好一个立方体后，可让别人判断它是实心的还是空心的；是实心的话，其中心单元又是什么颜色。然后，练练“变”花样：看出并重排少数几个零件，得新花样立方体。 </FONT></P>
<P><FONT size=4><FONT color=#0000ff><b>玩法二 ：</b></FONT> </FONT></P>
<P><FONT size=4> 不取零件 1和3，只用其余七件。不拼立方体，而是拼出指定的立体花样，相当于 <FONT color=#0000ff>立体七巧板</FONT> 。有人编了 60个立体花样题图。当然，题图中看不出零件的拼装法，只见一个个同色的小立方体单元“堆砌”成的立体造型。有的像动物，有的像建筑物，有的是立体的几何图案。另附拼法答案——分解图。实践表明，同一造型往往不止一种拼法。图4给出两例，欲知详情请与笔者联系。 </FONT></P>
<P><FONT size=4></FONT></P>
<P align=center><IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-2/200521222148150.gif" border=0><IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-2/2005212222033.gif" border=0></P>
<P align=center><FONT size=4>图 4 </FONT></P>
<P align=right><FONT size=4>－－－M.Yu （乌木著）2004/11/9</FONT> </P>
<p> 本帖最后由 乌木 于 2012-5-30 17:38 编辑
谢谢“烟兄”帮我直接贴出。
图的数量太多，魔方吧的上下流量又有限，我看不宜全部贴出。下面仅贴两幅作样子。我总感到其中隐含着什么数学规律？！例如,如何解释不取黑件和棕件的七件组拼不出一个3x3x3立方体? 等等。
一位学物理的看了后觉得用不同的颜色来表征元件不是个事；但“夸克”也是用“色”来称呼它们的属性，故这儿用颜色描述未尝不可，当然颜色和形状要固定定义，云云。
[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-6 16:19 编辑 ] <P><FONT size=3>勘误：第5楼</FONT></P>
<P><FONT size=3>误：“图2是表1（ <FONT color=#ff0000>左 </FONT>）第1组480个拼法中的两个。”</FONT></P>
<P><FONT size=3>正：“图2是表1（<FONT color=#ff0000>实心</FONT>）第1组480个拼法中的两个。”</FONT></P>
[此贴子已经被作者于2005-3-31 16:46:24编辑过]
图4拼法之一
同一立体造型的拼法往往不止一种，大家有不同的答案不妨也贴出来。下面把第5楼图4的拼法（之一）贴出：[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-6 16:23 编辑 ] 本帖最后由 乌木 于 2012-5-30 17:41 编辑
又两个题目：
[ 本帖最后由 乌木 于 2009-2-6 16:25 编辑 ] <P><FONT size=3>再拼个小花狗：</FONT></P>
<P>
</P>
[此贴子已经被作者于2005-3-31 23:59:19编辑过]