历史数学题
对数的发明1.历史背景
在数学史上，对数的发明是早于指数的，这是数学界的一大反常现象。现代计算方法之所以有奇迹般的力量，是由于三个发明，即阿拉伯计数法、小数和对数。对数的发明要归功于16世纪曼彻斯特的贵族约翰·纳皮尔。不过，由于当时关于非整数的指数概念还是模糊的，因此，纳皮尔通过运动学的方式解释了对数。
2.构造模型
假定有两个质点P和Q，前者沿一条有限长的直线AZ运动，后者沿一条无限长的直线A'Z'运动。两个质点开始运动时速度相同。Q保持这一速度不变，而P的速度则以如下方式变化：在其路径上任一点B的速度与它尚需经过的距离成正比，即与BZ成正比。现在，如果当P位于某点B时，Q位于B'位置，则A'B'便是BZ的对数。
3.模型求解
(i)设A'B'=x，BZ=y，AZ=a，依据纳皮尔的思路，试写出x关于y含有参数a的对数表达式x=Nap.log(y)。
4.模型应用
纳皮尔发明对数的原意是为了化简三角运算，他认为AZ所代表的应当是sin90°，其长度为107。
(ii)依据纳皮尔的说法，有Nap.logsin90°=Nap.log107=0。试证明：对于任意三角形，有Nap.logsinA-Nap.logsinB=Nap.loga-Nap.logb，其中a，b分别是A、B的对边。
5.问题总汇
(i)设A'B'=x，BZ=y，AZ=a，依据纳皮尔的思路，试写出x关于y含有参数a的对数表达式x=Nap.log(y)。
(ii)依据纳皮尔的说法，有Nap.logsin90°=Nap.log107=0。试证明：对于任意三角形，有Nap.logsinA-Nap.logsinB=Nap.loga-Nap.logb，其中a，b分别是A、B的对边。
(题目中给了一个公式：对于函数y=f(x)，如果满足(a-y)'=y，那么可以导出-lny=C+x，其中C是任意常数。汗，这个不是积分公式吗？但这个公式对于本题不一定用得上) s=AB，则 y=a-s
s‘= v = v0 · （a-s）/a
ln（a-s）- ln a = t · v0/a = A'B' /a = x/a
x = a ln(y/a) 即为Nap.log(y)
第二问就是正弦定理啊……
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第二行，
s=s(t) 是 P 运动的距离，即AB，
s' 是 s 的导数，
v=v(t) 是 P 的速度函数，
v0 是 Q 的速度，也是 P 的初速度，
这一行的 x 是乘号，现在改成 · 了~
[ 本帖最后由 Cielo 于 2010-10-2 15:17 编辑 ] 这个对数听说过…但题目没看明白…10^7吗？这数字怎么来的… 回2楼：第二排：s'=v=v0x(a-s)/a及其以后的没看懂，啥意思啊？v和v0分别表示啥？x呢？
[ 本帖最后由 石崇的BOSS 于 2010-10-3 15:26 编辑 ] 原题中的Nap.logsin90°=Nap.log107=0做何理解？
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