骰迷 发表于 2011-3-19 21:51:13

奧数题

令an=,[]为取整函数。问從a1到a2010共有多少个不同的值。

kattokid 发表于 2011-3-19 22:03:51

大致估算2011个数，反正肯定不会超过这个数


编辑：刚才又想了下，一共才2011个数，所以。。。前面的推论全错了，看来不能太快下结论啊

感觉应该这么算：(n-1)2/2010-n2/2011<=1，求出n，剩下的就好办了

[ 本帖最后由 kattokid 于 2011-3-19 22:44 编辑 ]

张李佳琦 发表于 2011-3-19 22:06:30

因为1/2010 <=an<=2010 . 所以 an 中有2010个整数 ，再加上一个0 ，应该是201 1个正数。

Zeon.C 发表于 2011-3-19 22:08:51

Answer  1508
字数补丁

Zeon.C 发表于 2011-3-19 22:17:41

考虑了一下，想不出证明方法。。。

r_517 发表于 2011-3-19 22:32:21

很简单，考虑当n足够大时，a(n)-a(n-1)>=1。求出n即可

r_517 发表于 2011-3-19 23:19:56

不知楼主明白了没有。。我再稍微详细说一下吧。

思路是这样的：考虑一个n假设a(n)  = x，使得对于所有小于n的数，
0到x的所有值全能取到。而对于所有大于n的数k，都有a(k+1)>a(k)，所以最终答案便是x+1+(2010-(n+1)+1)

其充要条件也就是n=min((n+1)^2/2010 - n^2/2010 >=1)
上述方程式解得n=min(n>=1004.5)，因此n=1005
当n=1005时，a(n)=502
所以最终答案就是503 + (2010-1006+1) = 1508

[ 本帖最后由 r_517 于 2011-3-19 23:22 编辑 ]

tm__xk 发表于 2011-3-19 23:57:20

6l7l+1
之前躺在床上懒得打字了....;P

西北天狼 发表于 2011-3-20 12:36:32

当2n+1>2010时 n>1004到2010有2010-1004=1006个数；
而a1004=501，从0到501共502个数必然连续，答案1508。.
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