咖啡味的茶 发表于 2011-6-28 01:21:13

证明题:四维是最麻烦的维度

最近在研究高维魔方理论发现了一个现象:在所有维度的二阶魔方中(注意,不包括二维或者一维魔方,因为不存在),任意“拼装”的魔方复原概率最小的是四维二阶。
下面是复原可能性表:
三维二阶:1/3     限制条件:二元换--可能  任意交换方向--不可能  限制条件仅为方向
四维二阶:1/6     限制条件:二元换--不可能  任意交换方向--不可能  限制条件既有位置,也有方向
大于五维二阶:1/2    限制条件:二元换--不可能   任意交换方向--可能  限制条件仅为位置
从数据看来,我们知道五维或者以上的空间是最方便的,任意性最大,另外加一句,大于等于五维的“正”几何形(学名是正多胞体)只有三种,一种是高维立方体;第二种是单形(就是三角形,四面体的高维类比);第三种是正轴体,高维立方体的对偶体,或者看做是正八面体的高维类比(对这些概念有兴趣自己去维基一下)。这种统一的性质是巧合吗?哈哈,这个我们无从得知。
三维的正几何体有五种,分别是正四面体,正八面体,正六面体,正十二面体,正二十面体。四维的正多胞体有正五胞体(四面体类比),超正方体(立方体类比),正十六胞体(正八面体类比),正二十四胞体(无三维类比),正一百二十胞体(正十二面体类比),正六百胞体(正二十面体类比)。
我们可以得知,正多胞体的数目随着维度并不是一直下降的,反而是在四维有一个突起。
也许正是因为这种原因,生物最初的存在和我们的意识形态都适应于三维:第一,五维以上的空间过于普遍,没有方向限制使得所有的存在状态都成为可能,使得物体无法存在一个固定的状态,所以不适合定向去理解事物;第二,四维又相对于三维限制过多。最重要的是,三维魔方是最简单,最基础的魔方(因为不存在二维)。
这仅仅是一些胡思乱想,希望可以加强魔友对高维空间的感性认识。

tengda 发表于 2011-6-28 02:50:19

楼主好精力,完全不懂的人偷偷路过。

schuma 发表于 2011-6-28 03:56:51

(1) 我觉得这个网页的MC2D就确实是普通三阶魔方在2D的对应物:
http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html (就是MC4D网站的一页)
的确很简单就是了。然后二阶就只看它的角吧

(2) 维数比较低的时候事情比较复杂,这是个比较普遍的现象。拓扑学有个重要的分支就是低维拓扑学 <http://en.wikipedia.org/wiki/Low-dimensional_topology>。之所以它能单分出来,就是因为有许多结论只在维数高于4或5的时候成立,但维数比较低的时候不成立。有许多问题在低维的情况下没被证明,反倒在高维的情况下被证明了。

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-6-28 04:24 编辑 ]

栋梁 发表于 2011-6-28 09:06:33

对高维魔方实在难以想象,要是楼主能给点直观的例子就好了

咖啡味的茶 发表于 2011-6-28 09:42:02

原帖由 schuma 于 2011-6-28 03:56 发表 http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif
(1) 我觉得这个网页的MC2D就确实是普通三阶魔方在2D的对应物:
http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html (就是MC4D网站的一页)
的确很简单就是了。然后二阶就只看它的角吧

(2) 维数比较低的时候事情比较复杂 ...

二维魔方的确还是不存在。你仔细体会一下这个魔方你会发现这个类比根本不是“转动”。

乌木 发表于 2011-6-28 10:49:50

“ggglgq”给出过一个动画,我觉得有助于理解四维立方体。

一维,只能做出一条线段a;
二维,可以按照规律做出一个axa的正方形;
三维,按照同样的模式可做出axaxa的立方体。
画在平面上的立方体,立体感画得好的话,我们仍然理解它每根棱长度都是a,两根相交的棱是垂直的,一个顶点上有三根相互垂直的棱,六个正方形构成一个正六面体。这就是三维物体在二维中的表达。
四维,在三维立方体的基础上,按照相同模式,8个顶点再长出8根长度都等于a的棱,再把新的8个端点用长度都是a的12根线段联结起来,就得到四维正方体了。它的32根棱长度都是a,两根相交的棱都是正交的,一个顶点上有四根相互正交的棱,由8个相同的三维立方体构成一个四维正方体。它在三维空间的投影最好让它运动起来,只是能运动的三维模型不容易做出。
ggglgq给出的下图是进一步把它画在二维的屏幕上,并让它动起来。看得出,由8个三维立方体构成一个四维正方体,是否可以叫“正八胞体”?
      

立方体的投影方式不少,下图右面一种常用于看立方体的内部,比如看一个房间内的天花板、地板和三面墙壁,
这种投影同样表示六个正方形组成一个立方体(正六面体)。
我要说的是,下图右面的投影和上面动画所表示的四维立方体(正八胞体)在三维空间的投影,方式多么相似!
   





[ 本帖最后由 乌木 于 2011-7-4 17:45 编辑 ]

谢老师 发表于 2011-6-28 11:34:01

强大!好难理解!正在理解中!

Donald_LYC 发表于 2011-6-28 11:39:16

六年级的我完全不懂。。。。。。。

ZJY 发表于 2011-6-28 12:14:08

回复 6# 的帖子

四维是这样的啊。。。我脑子比较笨。。。

乌木 发表于 2011-6-28 12:40:24

我想,那动画也只是帮助理解四维空间几何体,并非四维立方体就是那种样子的(比如,它不动的话,又该是什么样子呢?)。我们三维人不容易想象四维东西。
正像三维立方体在三维空间可以做出实际的模型,但是在二维平面中,是不可能做出三维东西的,只能让三维东西投影到二维,在我们的头脑中对这种投影图加工之后,想象出三维东西。但是“二维人”就不可能理解这种投影图。
我们三维人看了四维立方体的三维投影或二维投影,还是不容易想出四维立方体究竟是什么样的,只能推理出它的一些性质。

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此外,三维东西在二维平面中的投影,弄不好我们的头脑加工后会出错。比如,最近看到下面这个图片,我就奇怪:怎么图中最近的这一家向南、向东开两个大门?沪上有这种事吗?


我就“百度”了更多的有关图片,明白了,这一排是五家,每家一个大门,最近的这一家遇到马路转角,其大门只好向东南方向开了。




[ 本帖最后由 乌木 于 2011-6-28 13:26 编辑 ]
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