三等分三角形内角引出的几何题
试证明：任意一个三角形的三个角的所有角三等分线相交，构成的三角形是正三角形。我试试啊，因为任意一个角的二等分线与其三等分线角度之差对称……算了，想到这里吧，数学不好…… 莫利定理？ 数学不好。不会证明。。。。。。。。。。。。。。 原帖由 123wyx 于 2011-8-30 21:39 发表 http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif
莫利定理？ 正解。。。。。。。。。。。。。。
莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理。
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
该定理以其美妙和证明困难著称。到目前为止，已经有很多证明方法。
一种证明方法：设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。
证法一：
在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，
所以AR=
（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=/=
2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.
同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β)
在△ARQ中,由余弦定理,得
RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ.
这是一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ^2 ，PR^2 有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,
所以△PQR是正三角形。
证法二：
∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ），
AF：AB=sinβ：sin（a+β） ，
AB：AC=sin3γ：sin3β，
∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ），
而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ），
∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β)，
∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ，
同理∠CED=60°+a，
∴∠DEF=60°，
∴△DEF为正三角形。
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