求证一道几何证明题
本帖最后由 lsxs210338 于 2012-6-9 12:23 编辑如图，三角形ABC中,CD=AE=BF,连接BD,CE,AF,三条线相交得到I,G,H,若三角形IGH为等边三角形,问三角形ABC是否也为等边三角形? 如果是,怎么证明?如果不是,请说明理由或给出反例.
证明；
此题证明可用逆向思维，即用正三角形倒推回外面的三角形
如图：
三角形ABC为正三角形
由题意，只需构造三条相等线段MD、FK、HN，使三条定长线段在正三角形三边延长线上滑动，并使它们的延长线构成三角形，再证此三角形为正三角形
在BA延长线上取一点D，做一线段DM，延长DM交CB延长线于F
1.BF>AD,作FK=DM
根据勾股定理KG<EM
∴可证∠ADM＜∠KFB
∴可得CH>BF
重复以上操作，同理:AL>CH>BF
∴此时MD、FK、HN不能构成三角形
2.BF<AD,同理，不能构成三角形
∴BF=AD
由此可得AD=BF=CH
∵三线段在高线同侧
∴三角形DMA≌三角形FKB≌三角形HJC
三边能围成三角形
此时易证DF=FH=HD
三角形DFH为正三角形
∴原命题成立
是用极限的思想可以理解到 .BF>AD,作FK=DM
根据勾股定理KG<EM
∴可证∠ADM＜∠KFB
∴可得CH>BF
重复以上操作，同理:AL>CH>BF
∴此时MD、FK、HN不能构成三角形
2.BF<AD,同理，不能构成三角形
∴BF=AD
由此可得AD=BF=CH
∵三线段在高线同侧
∴三角形DMA≌三角形FKB≌三角形HJC
三边能围成三角形
此时易证DF=FH=HD
三角形DFH为正三角形
∴原命题成立
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