【不等式】我又来了……对付一下数竞
本帖最后由 魔_物理_控 于 2012-8-14 23:11 编辑证明一个不等式：我直接简化到答案上省略的前一步，求大神详解具体等价步骤，答案跳跃得有点多，没看懂……:L
求证：左面那个不等式等价于右面那个不等式……:P
找黄冈中学那些搞数学竞赛的 左面不等式的左边通分相加，和右边交叉相乘，化简消去其他项，整理得右面的不等式。
在分母不为0的情况下，等价于右面的不等式！ 好像见过！
西北天狼 发表于 2012-8-15 08:48 static/image/common/back.gif
左面不等式的左边通分相加，和右边交叉相乘，化简消去其他项，整理得右面的不等式。
在分母不为0的情况下， ...
就没有更简单的了？觉得这个方法有点太坑了啊……这思路…… 高中课程。基本不等式的应用：积定和最小，和定积最大。 本帖最后由 PKUSMSBQ 于 2012-8-16 13:11 编辑
先吐槽第二个不等式。。。 本帖最后由 superacid 于 2012-8-16 19:53 编辑
本题等价于对任意a,b,c>0，sum{a/(1+a+ab)}<=1（sum表示循环和，sum{a/(1+a+ab)}=a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca)）
令a=ky/x,b=kz/y,c=kx/z，于是化简之后变成
sum{ky/(x+ky+k^2z)}<=1=sum{y/(x+y+z)}
移项后变为sum{y*(k/(x+ky+k^2z)-1/(x+y+z))}<=0
左边=sum{((k-1)(x-kz)y/((x+y+z)(x+ky+k^2z))}
=((k-1)/(x+y+z)*sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}
sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{kyz/(x+ky+k^2z)}
=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{yz/(x/k+y+kz)}
=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{xy/(z/k+x+ky)}=sum{xy/(x+ky+k^2z)}-sum{xy/(x+ky+z/k)}
=sum{xy*(1/(x+ky+k^2z)-1/(x+ky+z/k)}
=sum{xyz(1/k-k^2)/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}=xyz*(1-k)(1+k+k^2)/k*sum{1/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}
于是(k-1)/(x+y+z)*sum{(x-kz)y/(x+ky+k^2z)}=-(1-k)^2*(1+k+k^2)/k*xyz/(x+y+z)*sum{1/((x+ky+k^2z)(x+ky+z/k))}显然<=0
finish superacid 发表于 2012-8-16 20:22 static/image/common/back.gif
嗯嗯，这个解答很霸气……谢谢帮助哈……
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