石崇的BOSS 发表于 2012-9-6 23:30:37

发个平面几何证明中点题目

如图,△ABC的内切圆I分别切三边BC、CA、AB于点D、E、F,连接DI并延长交EF于G,AG延线交BC于M,求证：BM=MC

暴力打开 发表于 2012-9-7 21:19:11

写个证明：
过A作BC的平行线l
则BM=CM等价于线束AB,AM,AC,l为调和线束，
再延长FE交l于H,
则调和线束等价于F,G,E,H为调和点列
等价于G的极线过H
而G的极线垂直于IG,只需证明G的极线过A
这等价于A的极线过G而A的极线是EF

hunpo 发表于 2012-9-7 22:13:21

暴力打开 发表于 2012-9-7 21:19 static/image/common/back.gif
写个证明：
过A作BC的平行线l
则BM=CM等价于线束AB,AM,AC,l为调和线束，


我咋一点也没听懂呢？

石崇的BOSS 发表于 2012-9-7 22:34:38

谁来个稍微通俗点的几何法，我怎么感觉延长EF和CB相交于H，可以用很麻烦的梅涅劳斯公式证明呢？只是感觉而已……

superacid 发表于 2012-9-8 01:50:10

暴力打开 发表于 2012-9-7 21:19 static/image/common/back.gif
写个证明：
过A作BC的平行线l
则BM=CM等价于线束AB,AM,AC,l为调和线束，


膜拜写 平面几何 书的大神

石崇的BOSS 发表于 2012-9-8 21:38:52


过G作BC的平行线分别交AB,AC于P,Q,连接IF,IP,IE,IQ
由∠IGP=∠IFP=90°得出I,F,P,G四点共圆，故∠PIF=∠PGF
由∠IGQ=∠IEQ=90°得出I,Q,E,G四点共圆，故∠QIE=∠QGE
于是∠PIF=∠QIE，又∠IFP=∠IEQ=90°，IF=IE
得出△IFP≌△IEQ，所以IP=IQ
又IG⊥PQ，因此PG=GQ
于是得出BM=MC

暴力打开 发表于 2012-9-9 15:49:30

石崇的BOSS 发表于 2012-9-8 21:38 static/image/common/back.gif
过G作BC的平行线分别交AB,AC于P,Q,连接IF,IP,IE,IQ
由∠IGP=∠IFP=90°得出I,F,P,G四点共圆，故∠PIF=∠ ...

好解法！BQ快加分
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