一个证明题
求证:平面上任意5个点(其中任意3点不在一直线上),则其中必有4个点构成凸多边形(以这4个点为顶点)这个简单吗?
看到这个题目 让我想到穷举法。。。
任取不在同一直线上的3点1、2、3,那么为了构成凹四边形,第四个点只能在三角形123内部,
连接14,24,34,并延长,同理,为了第五点与124构成凹四边形,点5只能在三角形124内部,红色阴影区域。
三角形234和三角形134也一样,所以点5必须同时在图示三块阴影区域内,
目测得,不可能
本帖最后由 schuma 于 2012-10-13 01:29 编辑
任取不在同一直线上的3点1、2、3,那么为了构成凹四边形,第四个点只能在三角形123内部,
这个命题不正确。比如 A=(-1,0), B=(1,0), C=(0,1) 然后我再加一个点 D=(0,2), D就在三角形ABC的外部,并且ABCD是凹四边形。
编辑: 稍加改动就可以:如果1,2,3,4四个点构成凹四边形,那么一定有一个点在另外三个点构成的三角形内部。然后就管那个特殊的点叫4号,另外三个叫1,2,3号。然后穷举平面上所有的区域,包括三角形123内部的还有外部的,可以验证5号点不管在哪个区域里,都可以和某个三角形组成凸四边形,就行了。
这种题目有一种证明方法就是用所谓凸包的概念。凸包就是想像这5个点是五根钉子,然后用一个橡皮筋把这五个钉子圈起来,橡皮筋收缩后围成的区域称为这个5个点的凸包。凸包一定是凸多边形。
按凸包的边数分类:凸包是凸五边形,凸四边形,凸三角形。 :L表示全忘光了 凸包为五边形或四边形,自不必言;
假设凸包为三角形(如图所示):
123为三角形的顶点,45必落在三角形内部,连接45,取其中点A,连接1A延长交23连线于B,连接2A延长交13连线于C,连接3A延长交12连线于D,这三条线将三角形分割成六个区域,对顶分为一组,共黄绿蓝三组。45必在其中一组中,比如黄色(因为黄色与1不连),则2345肯定是凸四边形。(证毕) 楼上多此一举
作出直线45,肯定和三角形123有两个交点,然后就出来了 superacid 发表于 2012-10-15 20:08 static/image/common/back.gif
楼上多此一举
作出直线45,肯定和三角形123有两个交点,然后就出来了
本欲详细表述“45必与其中2个顶点构成凸四边形”,反招蛇足之嫌,(限于篇幅,此处省略十二字)。 本帖最后由 西北天狼 于 2012-10-16 10:30 编辑
变双胞胎了。
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