魔方态关系网是怎样的？（3）－－还是有误！

乌木发表于 2005-5-27 23:43:17

抱歉，本文刚贴出不久，就发觉有误，作反面教材吧。其（4）（另一帖）说明了错在哪里。 
<HR>
 
前两篇有不妥和失误之处，另写这一篇。 





魔方态关系网（3）





本文把一个通俗意义上的合格品魔方所能转出的花样等同于它的状态，即不区分花样与状态这两个概念（区分不区分好像对本文话题无所谓）。也排除了（种种）错装所致的（种种）×（种种）’的后果。玩理论的朋友莫责怪为盼。


有几个“婴儿”级魔方，它们的基本性质同真实魔方。


第1个，花样（状态）仅两个，则其态态关系为“两点一线”。点代表态，线代表态变之（可逆）操作。一线一操作；做一操作即得另一态。


第2个，共有三个态，则其态点网必定是三角形结构，不可能是直线形，也不可能是L形。因为基本性质之“态态平等”表明，不可能有的态有两条路（操作）走，有的仅一条路。


注：同一系统内，就一个态所拥有的操作数来说，各态一律平等。这是由魔方的物理结构决定的，无须证明。（一位学理论物理的对我如是说，使我自信心倍增。）


老三共有四个态，各态仅有两条路，则得正方形网。


四弟也有四态，但各态有三条路，则正方形网中再添加两条对角线，或者为四面体结构。(且不论两者在拓扑学上是一样的。)


……


继续下去就要问，以3阶魔方来说，其不下千千千万万万（N）种状态之间的关系网是什么样的呢？


六面“复原”态的特殊地位，在某种程度上是人为施加的！抛开其特殊性想想，就操作权来说，它和所有的花样一样！“态态平等”。黄宏讽刺臭摆谱的人：“……进了澡堂子人人都一样！……”（所以我想出“广义复原”玩法，见菜鸟区《魔方复原精要》。）N个态有N个个性，也有一种共性。（思想开小差：上世纪60年代初，女同学QJX穿出一件“奇装异服”，衬衣纽扣在背后，遭到非议。现在想想，那年……那月……真是……）


网的结构与一个态有几种操作（或理解为有几个直接邻居）有关，例如上述有、无对角线的两种正方形网。


同一网的表现有人为影响，例如上述老四有平面和立体两种结构。又比如图1中，无对角线的正方形网，四个态的相互关系很清楚。（对了，这也是一种“循环变换”吗？）但若要把这四点搞成树形网，则遇到这种循环情形时，画成残缺状树形的话，则相互关系表达不完整,例如d与c关系表达不全，胆小的d要到c只得回到a再到c；补以重复态（同态）后，才别扭地看清全部关系，例如，啊，d与c可以直通的嘛！ 


有人嗜球如命，把N个态点布置于一圆球面想必不错。


球面上最远的两点是“对面”的两点，它们的球面距离是该球的半个大圆之弧长。所以N虽大，该球却非常小，其大圆的周长只不过44 步（设3阶态变最远走22步）。再走必出同态，超出这一套N范围，只能被开除球籍（消除同态）。若“再走”被看作是走回头路，则是没有创新的。总之是对N 无贡献。别误会，一个态到另一态，即使“态距离”不大，走得不好的话，完全可走上远大于22步的。走得多不等于态态距离远。


具体如何布局，反复设想过多种模型。由于本人可怜的一点理论知识大多还给老师了（他们连收条也不给），处理这些模型时均无果。最后（本文）终于有点样子。把N个态点先“梳理”成树形网，再“拓扑”到球面上去。这样的模型较好处理。


对3阶而言，于N个态点中任意抓一态点作为1世原态点，它分别做U ； U ’；D ； D’； L； L’； R ；R’； F； F’； B ； B’操作后可得12个2世态点。显然，三个中层旋转后所得的态不能计入2世态点，因为在以下的后代中有它们的位置，这里别来瞎套近乎！


一个2世态点同样生12胎，但其中必有也只有一个与原态点同态！“有的孙子就是爷爷，爷爷也是……”，这里的世界真奇妙。（为什么？请思考。）这不行，它非但不能算作3世，还要被“消同态”。否则就添乱啦，我们还怎么统计N数呀！那12胎中其余11个是3世。12个2世都这样每个生11个3世，故3世态点共12×11个。


依此类推，4世：12×112；5世：12×113；……含第N个态点的那一代就是末代23世：12×1121。但末代中可能部分属于N，其余为同态点，其数目为Q。至此，N态点树形网梳理完成。从1世到23世的任一个态点（包括末代中暂时还在的同态点），都是走了22步。


以上叙述中我斗胆假定：除末代可能含有同态暂未处理外，其余各代的同态一出世即被“12－1法律”消除，从1世到22世，全体成员中没有一个“谁是谁的同态”之说。当然，究竟有还是无，应该先探究好。只要有一个同态相对于末代来说提前出现，我只好bye－bye了，不会料理了，咱们另请真神。


这棵大树如何移植到上述圆球面上去？这里不能滚芝麻球，（下面想开了，可以。）否则何必做什么树呢？


好办。圆球的北极放1个原态点，离北极一步的纬线圈上放12个2世点，距北极2步的纬线圈上布以3世12×11个点，……11步到赤道，球的腰带上12世点子多达12×1110个。


不怕挤，几何点无体积！一圈圈点子均布不均布无所谓，各有所好。那就还是均布吧。


接下来，越往南，纬圈越小，可点子数增速不减！走了22步到南极，如进黑洞般地掉入12×1121个点！其中（12×1121 －Q）个是N家族中的，Q个是N之外的同态分子。对它们的处理政策就灵活点了。消除也好，不消除而进洞也罢，总之上不了N树的花名册就是了。每一个态在名册上必须出现也只能出现一次。


至于表示直系上下代关系的一根根线段的分布情景也跟着清楚了。嗯，像个大络腮胡子呀。嗳，不像，像张上疏下密的鱼网。


再来欣赏欣赏这树呀网的。


任一个魔方态都有资格担当原态点。一旦改朝换代，其余N－1个点各自调换角色，对号入座。N树的形状整体不变。说不定原来某一对母子，在改朝换代后的树中母变子、子变母！又来了！刚才是爷爷孙子闹变脸，现在是母子转换角色。这不用担心，原态点不变，母子角色也不会转换的；没统计完是不允许换头头的。对了，还有一条，这里都是无性繁殖呀！我少年时看过一科幻作品，讲的是某外星人世界里都是无性人。今天被我找到啦。嗨，大同世界世界大同（征求下联！）应：扭转乾坤乾坤扭转，行不行？（大家说吧，或者另题一副。）


3阶魔方态点总数（设北－南走22步）


N＝1+12+12×11+12×112……＋12×1121－Q


＝1＋12（1122－1）/（11－1）－Q


＝1＋9.77×1022－Q


＝9.77×1022－Q


面对不同定义下的不同的N值，可灵活运用上式，它像根伸缩卷尺。若已知某方法给出的N，则等号右边正项之和达到刚刚 >＝N即可，以保证Q >＝0。（和值求得再多也白搭，因为凡超出N的，统统归入Q。）冬兄请看，您的8.8×1022个点子若上我这树的话，南极黑洞中还有1×1022个空位留给同态分子。


据此，不同的N，差别超过一定范围，就有不同的“最远步数”。


据此，“最远步数”应该取单独一个整数，不应该取什么“22－<st1:chmetcnv TCSC="0" NumberType="1" Negative="False" HasSpace="False" SourceValue="23" UnitName="”" w:st="on">23”</st1:chmetcnv>。也就是说，面对不同N，要调节的是Q，而不是最远步数！即不能撤去Q项，让最远步数带上不伦不类的小数。再提醒：以上所述的前提是我上面那“斗胆假定”。


噢，原来那些点子是这样分布的！明白了，轻上重下嘛，所以画起地球来得上北下南呵。俺也知道了：为什么北极无陆地，南极有大陆。黑洞大逃亡的巨大胜利果实呀！


再想开点，这N个态点的布局无论被折腾成什么形状，把它们和水泥、石子拌成混凝土也好，把它们分散到广袤的宇宙空间去也罢，它们的态态关系不会变！把它们摆弄摆弄，拓扑拓扑，只是为了了解其中的来龙去脉所做的一点初步探索。应还可用用别的探索法。


但真要拿出两个魔方态来求其间的最短路线，（对了，论坛中那些“x月x日题目”应该就是这意思吧？）光有这样的“空树”还远远不够。说起来可以让一个态点放到树的原点，看另一态点处于第几代即可如何如何。但具体怎么“看”？没有实际的联络图呀！数量太大，这种图谱实际做不出来呀！那一代代态点的链式急速增长可是超级核爆炸啊！而square－1就行,不同形状的总数才90，故用于形状复原的路线图全部给出了。不信你看：


<a href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=3&ID=890&page=1" target="_blank" >http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardID=3&ID=890&page=1</A>


上述（找最短路线）问题，论坛中说是可以用cubexxx软件算。您就到mf8论坛来找吧，这里有真人真卦！（别忘了先去交易区请个好使的。 什么呀？ 魔方呗！）
 M.Yu <st1:chsdate w:st="on" IsROCDate="False" IsLunarDate="False" Day="27" Month="5" Year="2005">05-5-27</st1:chsdate>

 
[此贴子已经被作者于2005-5-28 1:22:39编辑过]

大烟头 发表于 2005-5-28 00:20:20

以下是引用大烟头在2004-11-7 10:57:08的发言： 　　这是二阶最少步软件：根据里面计算的原理，二阶魔方离初始状态最远不会超过11步，但是要想找到这样离初始状态最远的图案，确不大容易啊。 
<a href="http://www.speedcubing.com/CubeSolver/MiniCubeSolver.html" target="_blank" >http://www.speedcubing.com/CubeSolver/MiniCubeSolver.html</A>

<TABLE width=481 border=1>

<TR>
<TD align=middle width=67>步数</TD>
<TD width=154>搜索时间</TD>
<TD align=right width=119>总状态</TD>
<TD align=right width=113>不同状态</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>1</TD>
<TD width=154>小于1秒</TD>
<TD align=right width=119>9</TD>
<TD align=right width=113>9</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>2</TD>
<TD width=154>小于1秒</TD>
<TD align=right width=119>63</TD>
<TD align=right width=113>54</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>3</TD>
<TD width=154>小于1秒</TD>
<TD align=right width=119>387</TD>
<TD align=right width=113>321</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>4</TD>
<TD width=154>小于1秒</TD>
<TD align=right width=119>2,331</TD>
<TD align=right width=113>1,847</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>5</TD>
<TD width=154>小于1秒</TD>
<TD align=right width=119>13,995</TD>
<TD align=right width=113>9,992</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>6</TD>
<TD width=154>小于1秒</TD>
<TD align=right width=119>83,979</TD>
<TD align=right width=113>50,136</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>7</TD>
<TD width=154>小于1秒</TD>
<TD align=right width=119>503,883</TD>
<TD align=right width=113>227,536</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>8</TD>
<TD width=154>几秒</TD>
<TD align=right width=119>3,023,307</TD>
<TD align=right width=113>870,072</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>9</TD>
<TD width=154>二十秒</TD>
<TD align=right width=119>18,139,851</TD>
<TD align=right width=113>1,887,748</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>10</TD>
<TD width=154>一分半</TD>
<TD align=right width=119>108,839,115</TD>
<TD align=right width=113>623,800</TD></TR>
<TR>
<TD align=middle width=67>11</TD>
<TD width=154>十分钟</TD>
<TD align=right width=119>653,034,699</TD>
<TD align=right width=113>2,644</TD></TR></TABLE>
　　　　　　　　　　　　二阶魔方的组合总状态数合计：3674159
 
引用自：求二阶的最远状态：<a href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=3&replyID=386&id=386&skin=0" target="_blank" >http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=3&replyID=386&id=386&skin=0</A>

乌木发表于 2005-5-28 01:26:29

请不必跟帖了，（3）还是有误！错在哪里见（4）（另一帖）。

页: [1]

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魔方态关系网是怎样的？（3）－－还是有误！