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标题: 2×2平面魔方态态关系网－－找点启发 [打印本页]

作者: 乌木 时间: 2005-5-28 23:09:40 标题: 2×2平面魔方态态关系网－－找点启发

2×2平面魔方共24个状态，每一态有4种操作U D L R。态态关系画成树形网时有5代。同态一律合并，树形先扩张，后收缩。任一态到某一指定态，走得好可以不超过4步，等等。总之，其它魔方的巨型网的情况如何，从这一小小网中应可得些启发。哪位电脑图画得好的，不妨把它重画一下。
噢！见过！小时候玩过！
啊？
“挑线绷绷”嘛！

（Z.Yu 提供 M.Yu 作图编文）

2×2平面魔方态态关系网－－找点启发

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作者: 大烟头 时间: 2005-5-29 09:11:07

2*2魔方的总状态数好象是3！＝6个态点，如旁边有参照点情况下才是4！＝24。不过这个不是讨论的主题。

从楼上的图片我所能看出的东西：

1、每个态点射出的线都是4根。

2、总状态数与计算结果一样是4！＝24。

3、每个态点的最小循环都为4个步长、最大循环都为8个步长。

4、最远状态的最少步为4个步长。

我所能看出的就这些了，不知大家还有没有其它的补充？

思考：

如果这24个态点在一个球面上，我想这些态点在球面上应该均匀分布的。设球面上两个上下级态点间弧长为1，那这个球的周长是多少呢？

作者: 大烟头 时间: 2005-5-29 09:29:12

异想天开：

拿24个球，用同样长的线按图中的样子把球连接，再把所有的线拉直，会成什么样子呢？

先数一下有几根线：4+4*3+12*3+4＝56（错了），应为24*4/2＝48

[em02]

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作者: 乌木 时间: 2005-5-29 10:06:38

我数数共48根线，U12根，D12根，……。您再数数。
烟兄你说的6……，24……；我把这24孝图如下排一排，和你说的对得上号吧？

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作者: 大烟头 时间: 2005-5-29 12:23:02

是的我数错了。是48根，这个也可算出来：一个态有四根线，两个态共用一根为：24*4/2＝48

作者: noski 时间: 2005-5-29 12:53:09

平面的我也画出来了,只是表示成直观的三维图有点难度..

作者: 大烟头 时间: 2005-5-29 17:01:08

这时让我想起智美高玩具，拿来做这小型的态点模型应该可以。我要预订一个[em02]

http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?boardid=6&id=788&star=1#8401

[em01]

作者: ggglgq 时间: 2005-5-30 08:07:52

我构造的 2×2 平面魔方“循环变换球面网” 
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/2005530753795616.jpg">
 2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网” 为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。
请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。 图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。
我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）： U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转； U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转； U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度； U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。
 由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出， 2×2 平面魔方“循环变换” 只有三种：
1. 步长为 2 的循环变换：如 U U （两点式圆）
2. 步长为 3 的循环变换：如 D R U- （正三角圆）
3. 步长为 4 的循环变换：如 D U D U （正方形圆）
 其他的封闭多边形均是“广义循环变换”，当然可以构造出 N 阶（即周期为 N ）算子循环 变换。请感兴趣的魔友自己试试！
由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出，2×2 平面魔方总状态数只有 6 个 （经过整体旋转后相同的为同一状态）。最小循环变换为 2 个步长，最大循环变换为 4 个步长。
由最大循环变换为 4 个步长立即得到：
       2×2 平面魔方 最远状态的最少步只有 2 个步长。[em07] （即得 2×2 平面魔方任意两个状态之间最多需要 2 步）， 比如： D U 就是 2×2 平面魔方的一个最远状态！ 

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2007-12-17 12:22 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2005-5-30 08:42:40

从上面的例子，大家可能对“循环变换球面网”已有了更进一步的认识。实际上各类魔方的
“循环变换”都构成“循环变换球面网”！

不过，请大家注意，这个“循环变换球面网”的球面可能不是“三维空间的球面网”，而是
“高维空间的球面网”！

作者: 乌木 时间: 2005-5-30 09:44:06

既然称“球面……”，是否不用8面体，以免“网线”“入地”，改用球面上的“经纬线”，让网线也在球面。
若这样行，我在“……关系网（1）”中设想的“放射花”可复活了，但要合并许许多多的同态，正如本话题1楼的2×2平魔网那样。花芯附近还像朵花，花瓣有长有短，整朵花就不求如何如何了，“花瓣招展”呀。
此外，若是高维结构，也得尽量投影到三维来呀，我们可都是三维动物噢。当然，不是都能投影的，好多只能用数学语言描述。那样，我是只好拜拜了。（据说宇宙本来是十维的，大爆炸只出来了四维，其余处于压缩态云云，人家可是正经说的，不是山海经。）

作者: noski 时间: 2005-5-30 10:41:17

没想到ggglqg只用了6个状态点,我一直在考虑不用整体旋转的24个态怎么画...

我依然对"是球面"这个结论持保留意见,因为毕竟所画的2*2的状态点还太少.

大家继续,期待能见到"24态点图", 或者把ggglqg的结论推广到"3*3平魔","2阶"上面试一试~

作者: ggglgq 时间: 2005-5-30 11:27:44

为了大家便于理解 2×2 平面魔方总状态数只有 6 个，我把这 6 个状态“解压缩”展开
给各位看（借用乌木先生的图）！

再附上“正八面体的循环变换球面网”图，让大家对照理解！

2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。

请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）：
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转；
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转；
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度；
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。

作者: 乌木 时间: 2005-5-30 17:59:27

6点有6点的前提，24有24的。大概，对付什么问题，就用什么法宝的吧。
我把1楼的图重画了一下，仅是表观好看些。其中的鸟巢般的一大把棒棒也许还能整整好，如果必要的话。
或许布局于球面要好整些，比如，北纬某一点向东（偏南一些）绕球走了大半圈到达南纬另一点，不如改走向西（偏南）短得多的路线，等等。球面上那些线条也许会清楚些。
我水平有限，画不出来，哪位接过去试试。最理想是球能转，且是透明的，立体感要强。

[此贴子已经被作者于2005-5-30 18:00:40编辑过]

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作者: pengw 时间: 2005-11-29 11:27:09

有G先生的"循环变换理论",小小二阶平面岂不是幼稚园的看图识字?

作者: smok 时间: 2007-3-8 15:50:01

我们哪有这能耐,还是GGGLGQ大师将最小步解释,演示,实证给我们这些外行看看嘛,强烈地期待中

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