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标题: 平几求助 [打印本页]
作者: 华容道    时间: 2014-3-18 11:11:18     标题: 平几求助

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作者: jimofc    时间: 2014-3-18 13:19:38

用解析几何无脑解就行了
能证一定有解
作者: superacid    时间: 2014-3-21 15:00:32

jimofc 发表于 2014-3-18 13:19
用解析几何无脑解就行了
能证一定有解


那你倒是给证明一个啊，题目出错了你也会说这句话
作者: jimofc    时间: 2014-3-21 15:15:48

superacid 发表于 2014-3-21 15:00
那你倒是给证明一个啊，题目出错了你也会说这句话

我给出了解决方案，你除了喷人还做了什么
作者: superacid    时间: 2014-3-21 16:58:09

我们证明，不管AI是否垂直与EF，都有AE是角BAI的角平分线
设AI与GH交于J，根据Menelaus定理，GJ/JH * HI/IE * EA/AG = 1
再根据Menelaus定理，EI/IH * HF/FA * AG/GE = 1，两式相乘，有
GJ/JH * AE/GE * HF/AF = 1
由菱形对边平行，AE/GE = BD/BG 且 HF/AF = HD/BD
于是GJ/JH * BD/BG * HD/BD = 1，也就是BG/GJ * JH/HD = 1
在线段BD上找一点K使得AG是角BAK的角平分线，由于角GAH是角BAD的一半，那么AH也是角KAD的角平分线
所以1 = AB/AD = AB/AK * AK/AD = BG/GK * KH/HD，
所以J,K两点重合，所以AE是角BAI的角平分线

设菱形中心为O，设AI交EF于L，那么角EAI=角BAE=角OAH (角EAF=角BAO)，角AME=角AOH
所以三角形AME与三角形AOH相似，所以角AHG=角AEF
所以EFHG四点共圆

接下来我们证明I是三角形AEF的垂心
设E关于直线AI的对称点是E'，显然E'在直线EF上，因为EFHG四点共圆，所以角AFI=角AEI=角AE'I，所以AIE’F四点共圆，
所以角AFE=角AFE'=180-角AIE'=角MIE'=角MIE，所以IMFH四点共圆，所以角EHF=角EMI=90
所以EH是三角形AEF的边AF上的高，于是I是三角形AEF的垂心

于是角BHE=90-角AHB=90-角AEF=角IAE=角BAE，
于是BAHE四点共圆，所以角ABE=角AHE=90，证明完毕
作者: superacid    时间: 2014-3-21 16:58:30

jimofc 发表于 2014-3-21 15:15
我给出了解决方案，你除了喷人还做了什么


我做了什么？我写了解答，那你做了什么
作者: jimofc    时间: 2014-3-21 19:23:43

superacid 发表于 2014-3-21 16:58
我做了什么？我写了解答，那你做了什么

我早你3天给出了解题思路，你不理解？

上次的事还没完你又来挑事
作者: superacid    时间: 2014-3-21 20:02:41

jimofc 发表于 2014-3-21 19:23
我早你3天给出了解题思路，你不理解？

上次的事还没完你又来挑事

你发一个解析几何的解法出来，我就公开道歉，如何？
先做出实事再说话
作者: tm__xk    时间: 2014-3-22 01:24:12

jimofc 发表于 2014-3-18 13:19
用解析几何无脑解就行了
能证一定有解

嗯..我也知道有解..相信lz在求解的时候也知道有解..
作者: Ethereal_Edge    时间: 2014-3-22 15:14:31

5楼有一处写错了。
AI∩EF=M，不是L
作者: jimofc    时间: 2014-3-22 22:49:04

superacid 发表于 2014-3-21 20:02
你发一个解析几何的解法出来，我就公开道歉，如何？
先做出实事再说话

哪里有规定说一定要发解法
我的方法能不能用，LZ用不用这种方法都是他自己的事，关你P事

以B为原点建立坐标系(B,BC;y)
令BC=a (a>0)
假设AB不垂直AD(BC),那么直线AB的斜率k存在,m≠0且k≠0若DB⊥BC,则AB=AD<sqr(AD^2+BD^2),所以m≠-a
A(m,km)
B(0,0)
C(a,0)
D(a+m,km)
BA: y=kx
CD: y=k(x-a)
BD: y=kmx/(a+m)
F(a+n,kn)
E(b,0)

则
AE: y=km(x-b)/(m-b)
AF: y=(kn-km)(x-m)/(a+n-m)+km

又∵∠EAF=1/2∠BAD
cos^2(∠EAF)=(1+cos(∠BAD))/2
余弦定理
((a+n-m)^2+(kn-km)^2+(b-m)^2+(km)^2-(b-a-n)^2-(kn)^2))/(2*sqr(((a+n-m)^2+(kn-km)^2))*((b-m)^2+(km)^2)))=(1+(m^2+(km)^2+a^2-(a+m)^2-(km)^2)/(2*sqr(m^2+(km)^2)*a))/2
化简得
(-2nm-2am-2kkmn-2bb-2bm+2ab+2bn)/(sqr(((a+n-m)^2+(kn-km)^2))*((b-m)^2+(km)^2)))=1-1/sqr(k^2+1)


AE、BD相交于点G:
y=km(x-b)/(m-b)
y=kmx/(a+m)
得
G(b/(1-(m-b)/(a+m)),kmb/(a-b))

AF、BD相交于点H:
y=(kn-km)(x-m)/(a+n-m)+km
y=kmx/(a+m)
得
H((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))),km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/((1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))(a+m)))
GF、EH相交于点I:
GF:
(y-kn)/(kmb/(a-b)-kn)=(x-a-n)/(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)
EH:
y/(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/((1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))(a+m)))=(x-b)/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b)
得
I(([-b/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b) + ((a+n)(kmb/(a-b)+kn)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))/(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))] (b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m))))/(1-[(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b)/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))]),(kmb/(a-b)-kn)(([-b/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b) + ((a+n)(kmb/(a-b)+kn)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))/(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))] (b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m))))/(1-[(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b)/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))])-a-n)/(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)

∵AI⊥EF
有AI·EF=
(a+n-b)(([-b/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b) + ((a+n)(kmb/(a-b)+kn)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))/(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))] (b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m))))/(1-[(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b)/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))]))+kn((kmb/(a-b)-kn)(([-b/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b)+((a+n)(kmb/(a-b)+kn)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))/(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))] (b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m))))/(1-[(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)(km(-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m))/((-m(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m))+a+m)/(1-(kn-km)(a+m)/(km(a+n-m)))-b)/(kmb/(a-b)((a+m)-(kn-km)(a+m)(a+m)/(km(a+n-m)))])-a-n)/(b/(1-(m-b)/(a+m))-a-n)+kn)
=0


联立两式得

-km(m-n)(a+n-m)/(a+m)^2=0


当且仅当mk=0时等式成立，与假设矛盾
所以AB⊥AD



和你用程序参加最少步周赛一样，自欺欺人罢了
作者: superacid    时间: 2014-3-23 23:11:21

本帖最后由 superacid 于 2014-3-24 00:26 编辑
jimofc 发表于 2014-3-22 22:49
哪里有规定说一定要发解法
我的方法能不能用，LZ用不用这种方法都是他自己的事，关你P事


别跟我说你没用软件，否则道理是一样的

另外请教一下，AE=AF对应的项到哪里去了？
它应该能在-km(m-n)(a+n-m)/(a+m)^2=0体现出来，因为AE=AF始终是AI垂直于EF的一个解
作者: jimofc    时间: 2014-3-24 12:50:40

superacid 发表于 2014-3-23 23:11
别跟我说你没用软件，否则道理是一样的

另外请教一下，AE=AF对应的项到哪里去了？

明显是没有软件的
作者: superacid    时间: 2014-3-24 16:14:23

jimofc 发表于 2014-3-24 12:50
明显是没有软件的

算了，我还是直接指出问题吧，你把AI*EF=0算成BI*EF=0了
作者: jimofc    时间: 2014-3-24 19:02:55

superacid 发表于 2014-3-24 16:14
算了，我还是直接指出问题吧，你把AI*EF=0算成BI*EF=0了

我根本就没算，你怎么指出的问题
作者: 阿不思    时间: 2014-3-24 19:43:49

jimofc 发表于 2014-3-22 22:49
哪里有规定说一定要发解法
我的方法能不能用，LZ用不用这种方法都是他自己的事，关你P事

牛啊！！！！！
作者: superacid    时间: 2014-3-24 20:59:01

jimofc 发表于 2014-3-24 19:02
我根本就没算，你怎么指出的问题

反正你上面写的AI*EF=0，
下面直接就是EF的横坐标乘I的横坐标+EF的纵坐标乘I的纵坐标=0

你以为我必须自己仔细算一遍才可能指出你的错误吗？
作者: 华容道    时间: 2014-7-3 19:11:03

好久没上魔方吧了，谢谢上面的各位吧友
作者: 至尊达哥    时间: 2014-7-23 09:47:58

jimofc 发表于 2014-3-22 22:49
哪里有规定说一定要发解法
我的方法能不能用，LZ用不用这种方法都是他自己的事，关你P事

牛啊。。。复杂的我看不懂················
作者: 刀田一日    时间: 2014-7-23 20:26:50

已知：锐角三角形AEF，AO⊥EF于O，I是AO上一点，FI延长交AE于G，EI延长交AF于H。在HG的延长线上有一点B，且∠ABG=∠EBG。
求证：AB⊥BE
-------------
貌似可以用这个思路来证明
作者: 聚元号    时间: 2015-7-17 12:13:35

superacid的下半段解法太复杂了，用全等三角形就很快捷
作者: 聚元号    时间: 2015-7-17 12:16:38

我给出证得JK重合后的证明
作者: 聚元号    时间: 2015-7-21 20:07:21

对不起，试过了行不通，
作者: 聚元号    时间: 2015-7-21 21:04:46

superacid 发表于 2014-3-21 16:58
我们证明，不管AI是否垂直与EF，都有AE是角BAI的角平分线
设AI与GH交于J，根据Menelaus定理，GJ/JH * HI/I ...

你能巧妙地运用梅涅劳斯定理，四点共圆，解出该题令人叹为观止。
作者: 聚元号    时间: 2015-7-21 21:08:41

superacid 发表于 2014-3-21 16:58
我们证明，不管AI是否垂直与EF，都有AE是角BAI的角平分线
设AI与GH交于J，根据Menelaus定理，GJ/JH * HI/I ...

你的证明中把M点与L点混淆了，实际上是表示一个点，要么要用M，要么用L。你有时用L，有时用M,叫人如何看？



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