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标题: 证明平面封闭图形中，同周长圆的面积最大。 [打印本页]

作者: 小鱼宝儿 时间: 2014-7-23 11:04:15 标题: 证明平面封闭图形中，同周长圆的面积最大。

如题，求证：平面封闭图形中，同周长圆的面积最大。

作者: 支点 时间: 2014-7-23 11:39:02

首先证明正多边形在多边形中面积最大
然后先考虑三角形然后正方形然后正五边形正六边形。。。最后极限就是圆了

作者: 战斗机 时间: 2014-7-23 12:03:02

支点发表于 2014-7-23 11:39
首先证明正多边形在多边形中面积最大
然后先考虑三角形然后正方形然后正五边形正六边形。。。最后极 ...

小伙挺机智啊！

作者: 6X。 时间: 2014-7-23 19:31:43

本帖最后由 6X。于 2014-7-23 19:48 编辑

正n边形面积为S=nx^2/[4tan(pi/n)]
其中n为边数，x为边长

因周长固定，即C=nx
则S=C^2/[4ntan(pi/n)]（证明此函数为增函数且收敛过程略，求导感觉略烦不想求）

求极限lim(n→∞){C^2/[4ntan(pi/n)]}=C^2/4pi（tanx与x为等阶无穷小）

原问题转化为S=C^2/4pi的充分必要条件是图形为圆形

（后面证明还没想，先写这么多，其实求极限n→∞已暗示图形为圆形，不过个人觉得后面的问题也值得证明）

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