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标题: 容积问题：边长为1的正方形对折后将三边粘合，其容积最大是多少？ [打印本页]

作者: 刀田一日 时间: 2014-8-5 21:22:37 标题: 容积问题：边长为1的正方形对折后将三边粘合，其容积最大是多少？

如题，假设材料为刚性，无伸缩。

这个问题是在喝盒装纯牛奶时想到的。

作者: csgg 时间: 2014-8-5 22:40:57

不许出现新的折痕？

作者: 乌木 时间: 2014-8-6 07:54:54

“对折”方法不止一种，题目说的是哪一种？

作者: wxrvictor 时间: 2014-8-6 08:11:59

没想出来--------

作者: 4766530 时间: 2014-8-6 09:12:05

脑补不出楼主要表达的形状0 0

作者: 707434418 时间: 2014-8-6 11:47:19

什么意思啊看不懂

作者: 李根 时间: 2014-8-6 16:38:05

刚性的容积就是〇了吧。。

作者: 阿不思 时间: 2014-8-6 21:45:24

边喝纯牛奶边思考。。。

作者: 刀田一日 时间: 2014-8-7 12:39:18

乌木发表于 2014-8-6 07:54
“对折”方法不止一种，题目说的是哪一种？

只有两种情况：
1，按对角线对折
2，按对边中心点连线对折
其实，可以简单描述为：沿对称轴对折。

说“刚性”，意在说明：
1，正方形不可伸缩
2，无厚度
3，可弯曲

作者: 刀田一日 时间: 2014-8-7 12:42:59

csgg 发表于 2014-8-5 22:40
不许出现新的折痕？

可以有新折痕，也可以弯曲。

我最初的想法是：纯牛奶的这盒子里还能再装些牛奶，不知道最多能装多少

作者: 刀田一日 时间: 2014-8-7 12:44:42

乌木发表于 2014-8-6 07:54
“对折”方法不止一种，题目说的是哪一种？

“三边粘合”这4个字就可以说明对折方式了！

作者: 钟七珍 时间: 2014-8-7 23:44:48

刀田一日发表于 2014-8-7 12:42
可以有新折痕，也可以弯曲。

我最初的想法是：纯牛奶的这盒子里还能再装些牛奶，不知道最多能装多少

最大容积为：0.086≈1/11.63.

作者: 刀田一日 时间: 2014-8-8 09:41:02

钟七珍发表于 2014-8-7 23:44
最大容积为：0.086≈1/11.63.

这个，是怎么算的呢？

作者: 钟七珍 时间: 2014-8-8 12:04:10

刀田一日发表于 2014-8-8 09:41
这个，是怎么算的呢？

这道题应当表达成：用一张边长等于1的正方形纸板（不计厚度），把它制作成一个上口敞开的容器。问：制成容器的最大容积是多少？（通常，已经剪下的废料，不再拼接于容器边缘。只是把剪开的口子粘接成一体。）

作者: 刀田一日 时间: 2014-8-8 15:12:30

平面与容器.png

如图，盒装纯牛奶的包装就是平面材料不经过任何裁剪，仅做粘接而成。

我在考虑的，就是正方形对折，粘接成封闭的如图中右边的样子。如果扎一洞往里面吹气，就会变成像左边那样的立体，不过，没有刻意设定折痕的话，它的形状应该像枕头一样。

钟老师所说的开口容器，还说到了裁剪，应该跟我说的是两码事

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作者: 钟七珍 时间: 2014-8-8 21:08:42

刀田一日发表于 2014-8-8 15:12
如图，盒装纯牛奶的包装就是平面材料不经过任何裁剪，仅做粘接而成。

我在考虑的，就是正方形对折，粘 ...

哦。我理解的是开口容器；而楼主的本意是密闭容器。的确不是一码事，我理解有错！

作者: 基本粒子 时间: 2014-9-16 17:48:21

楼主是下面的意思吧
QQ截图20140916172917.jpg

第二幅为第一幅图的侧面，小口是用来吹气的。
求图形的最大体积

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作者: 基本粒子 时间: 2014-9-16 18:05:56

应该可以将题目描述为下面的形式：
从一张无伸缩，可任意弯曲的纸上剪下两个全等平面图形
将两个全等图形的对应边进行粘接，向两张纸中间充入空气，最多能充多少体积的空气。
语文不好，期待更好的描述

作者: 基本粒子 时间: 2014-9-16 19:44:29

如果全等形是长方形，像牛奶盒那样折成长方体的话，最大体积就是开口容器的算法。每一个长方形折成体积最大的开口容器，然后对接，就是体积最大的密闭容器。

作者: 基本粒子 时间: 2014-9-16 19:47:13

至于立体图形无限制和平面图形无限制的情况，应该很复杂，我连限制条件和变量都没想出来

作者: 刀田一日 时间: 2014-9-17 11:15:38

我提出这个问题的初衷是：验算饮料包装是不是最优方案。即：f=容积÷材料面积，是不是最大值。

我也是试了好几种方法，没有找到计算方法。可能是因为没有限定折成立方体吧。

我倒是试了一下，把饮料包装的四个折角打开，从吸管往里吹气，发现：
其形状变化不大。
所以，从方便运输存储的角度讲，这个包装方案是最优的。

作者: 刀田一日 时间: 2014-9-17 11:19:40

基本粒子发表于 2014-9-16 17:48
楼主是下面的意思吧

你的前两个图，不是“三边粘合”哦~

作者: 基本粒子 时间: 2014-9-17 18:04:23

刀田一日发表于 2014-9-17 11:19
你的前两个图，不是“三边粘合”哦~

按照9#的情况一做出的，那两个图是正方形沿对角线对折，将对应的边粘到一起，面积较大的方向看过去是三角形

作者: 刀田一日 时间: 2014-9-18 11:12:53

9#被之前的几个回复误导了。

我在题目里说了“三边粘合”。而对角线对折后，只有两边可粘。

------------------------------------
若再加个限定条件：折成长方体容器，则：
设：料长=a，料宽=b，折成后：长=c，宽=d，高=e
那么：
e+d=a/2
c+d=b

长方体体积：V=c*d*e
将V对d求导，求得V极大值时：d=a/6+b/3-[(a-b)^2+3*b^2]^0.5/6
当b=a时，（即原料为正方形时）
d/a=1/2(1-1/√3)

作者: 火灬炎灬焱 时间: 2015-2-12 20:41:57

神级的问题找大神吧实在不行你可以自己试

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