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标题: 阶魔方 --- 概念定义 [打印本页]

作者: Fenz 时间: 2014-9-8 22:15:37 标题: 阶魔方 --- 概念定义

本帖最后由 Fenz 于 2014-9-11 16:50 编辑

说在前面：
为了理论的严谨性和普适性，本文是从抽象角度看待魔方，忽略外形，配色等，简单地看成一个变换群，所以同构异形的魔方（如三阶魔方、镜面、鬼魔等）统统看成同一种魔方。
下面提到的一个概念“标准外形”，也需要事先说明一下，对于三阶魔方，标准外形就是普通三阶的外形，镜面、鬼魔有不同的实际外形，但它们仍属于三阶魔方，标准外形还是普通三阶的样子——正六面体。
以上是为消除误解而补充的说明，正文开始...

魔方的分类方式有很多，这里说一种朴素的方式，如“二阶魔方”、“三阶魔方”...“二阶五魔”、“四阶五魔”...“N阶四面体”...这些能用阶数和多面体外形来定义的魔方归为一类。
规范的命名方式为“某某体N阶魔方”或“N阶某某体魔方”，当这个“某某体”是正十二面体，可简称五魔，是正六面体时，若不引起歧义，可省略。
这些魔方统称“阶魔方”，具体定义如下。

1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形，
　　b)过每个顶点都3条边；
2. 是转面魔方，每个面上的可转动角集合=2π/n的整数倍角集合(n为转动面的边数)；
3. 每个面都对应数量相同的一组切面，切面深度与形状一一对应相同；
4. 切割的深度不超过与转动面相交的棱的中点到转动面的相邻面的中点的连线；
5. 任意切面与同组切面不相交，与相邻组中的切面都相交，与不相邻组的切面都不相交（此处的相交是指相互交叉穿过，部分重合而没有通过不算）。

阶魔方以标准外形和阶数命名。阶数N通常是数棱上块的个数来定义。下面提供一个等价而更少歧义的定义。
第3点中有一个数字——一个面对应的切面数量，我们记为 M。其中如果切面刚好满足以上第4点，就会与另一组的一个切面重合(比如二阶魔方R面的切面和L面的切面重合)，那么分到一组中只算半个切面，所以M有时候是半整数(这时候就是偶数阶魔方)。
阶数N定义为N=2M+1。这不难理解一条棱与两组切面相交，被切开2M处，就会有2M+1个块。而有“半个切面”时，两组各半个切面组成一个切面，也满足同样的规律。

之所以该定义歧义更少，这里举三阶五魔说明。三阶五魔的切面变深而让棱块变成两个分开的三角形时，数棱上块的个数就变成两个，而事实上魔方还是那个三阶五魔。用切面定义就避免了这个问题。

阶魔方外形的限制下。正八面体、正二十面体这样的多面体就不符合条件了。满足条件的多面体有：
三种柏拉图多面体（正多面体）
正四面体、正六面体、正十二面体；
七种阿基米德多面体
截角四面体、截角立方体、截角八面体、截角十二面体、截角二十面体(足球)、大斜方截半立方体、大斜方截半二十面体；
以及侧面是正方形的正棱柱(无数种)。

图中展示的是几种形状的二阶、三阶魔方，前三种是柏拉图多面体，跟着两种是阿基米德多面体，最后一种是正棱柱。阿基米德多面体和正棱柱数量多，没有全部展示，这里举出具有代表性的。
二阶魔方的切线，是定义中第4条规定的最深切线，一旦超过这个深度，就不再是阶魔方，而属于深切魔方了。而由这条切线可知切面一般不是平面，阶魔方的定义并未规定切面形状，所以是任意的，只要同一组切面不相交即可。

当每个面都相同时，阶魔方才是精准的魔方，所以精准的阶魔方只有三种正多面体外形。当阶魔方有多余一种面时，形状的不同就要产生误差，如已经做成实物的足球三阶魔方、五棱柱三阶魔方；或者通过变形来适应形状，如我的虚拟魔方三棱柱二阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=c34443)、三棱柱三阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=cb34443)。面与面之间边数相差越大，误差或性别程度就越大。如上述两个做成实体的魔方，误差就较小，而那些阿基米德多面体中，有的同时拥有正三角形和正六边形甚至正八边形，所以误差大到无法做成实体，只能通过虚拟魔方变形来解决了。

当然魔方的外形不一定都是标准外形，比如三阶正六面体魔方，就被做成镜面、移棱、鬼魔、粽子、八面体等各种形状。从根本上说，这些同构异形仍与三阶魔方是一回事，作为理论贴，本文将它们视为同一种魔方，这种魔方的实际外形可以多种多样，而标准外形就是正六面体。定义中受到规定的都是标准外形，并不约束实际外形（这事先没有强调造成误解，望能澄清）。

PS: 之所以用魔方的标准外形而非轴数来命名，一来单单轴数并不包含轴的分布情况，转动角度等信息，而标准外形则包含所有相关信息；二来轴数并非一个很清晰的概念，比如高阶正四面体魔方，按理说应该算四轴，可换个角度看，又活脱脱是八轴魔方。
比如胡老师的这个
[Cubejava=350,300]
[param=Order]18[/param]
[param=peisef]0[/param]
[param=Speed]10[/param]
[param=butbgcolor]99d658[/param]
[param=bgcolor]ffffff[/param]
[/Cubejava]
事实上是七阶正四面体魔方的六面体形态，

这种魔方到底算是四轴还是八轴呢？

最后再来讨论与阶魔方有关，但不属于阶魔方的系列

唯棱魔方。在大烟头的观点中，它属于一阶魔方，而按本帖的定义，它不属于阶魔方，因为任意两个切面都不相交，不满足第5点。如果把唯棱叫做一阶魔方有一个问题，当我们把唯棱魔方的棱块从中间切成两块（就像四阶的棱块），同理就成了二阶魔方，这就和真正的二阶魔方冲突了。
所以唯棱魔方另外成一个系列，可以称为一阶唯棱魔方、二阶唯棱魔方。“唯棱”二字不能省略。
而“一阶魔方” ，N=2M+1,N=1 => M=0, 没有切面的“魔方”，便如直观认识，是骰子了。

不等阶魔方。这是一类正六面体转面魔方，也有阶的概念，有三个阶数L,M,N。命名方式便是L×M×N或LMN。当L=M=N，且对应切割深度相等时，就是N阶正六面体魔方。所以正六面体阶魔方也和不等阶魔方一并形成一个大类，拥有如3×3×3、4×4×4之类的命名方式。
这里提一个问题，不等阶魔方的并不能仅仅以三个阶数定义，切割深度不同也能让魔方不同（比如3×3×5就可以是好多种）。

百慕大魔方。它的一类特殊情况就是各种三阶魔方，虽然不属于阶魔方，但仍然可以定义一个阶数，这个值永远是3。

可见并非只有阶魔方才能定义阶数，唯独这类魔方能叫阶魔方，是因为它们仅仅用阶和标准外形便可完整描述。

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作者: honglei 时间: 2014-9-8 22:41:22

skewb在结构上是四轴,实际上却是八轴的功能.

作者: Fenz 时间: 2014-9-8 22:52:27

honglei 发表于 2014-9-8 22:41
skewb在结构上是四轴,实际上却是八轴的功能.

而skewb又和正四面体三阶同构，和上面正四面体七阶情况类似，所以我觉得轴数是一个模糊的概念，除非重新严格定义，否则在定义和规范命名上还是不要用的好。

作者: ursace 时间: 2014-9-9 00:54:30

定义里的第一条就错了：
1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形

N多不等阶的侧面都不是正多边形，比如113、223之类的
还有你说的这个定义仅指还原时的状态吗？
那很简单的三阶镜面怎么算？打乱时的状态连“面”的概念都没有。
还有完全可以把某个“打乱”的状态，同侧帖上同色的贴纸当作是复原状态，更不可能是正多边形了。

作者: 939980422 时间: 2014-9-9 10:57:25

定义里的第一条就错了：
1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形

N多不等阶的侧面都不是正多边形，比如113、223之类的
还有你说的这个定义仅指还原时的状态吗？
那很简单的三阶镜面怎么算？打乱时的状态连“面”的概念都没有。
还有完全可以把某个“打乱”的状态，同侧帖上同色的贴纸当作是复原状态，更不可能是正多边形了。

作者: 耗子哥哥 时间: 2014-9-9 12:38:05

我总觉得这个问题讨论下去肯定是个死循环，所以就不要纠结了。
放心，无论怎样定义，都有漏洞，也都有漏网之鱼。

作者: Fenz 时间: 2014-9-9 14:23:07

ursace 发表于 2014-9-9 00:54
定义里的第一条就错了：
1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形

不等阶魔方不满足第一点，也通常不满足第二点，更不满足第三点，不属于这里定义的阶魔方，应该另属于一个系列。
镜面魔方的外形并不是标准外形，其标准外形仍然是三阶正六面体，所以还是满足第一点的。

作者: Fenz 时间: 2014-9-9 15:26:22

耗子哥哥发表于 2014-9-9 12:38
我总觉得这个问题讨论下去肯定是个死循环，所以就不要纠结了。
放心，无论怎样定义，都有漏洞，也都有漏网 ...

科学又何曾解释所有现象？
定义有漏洞的话，找到更好的定义便是，魔方抽象化就是数学上的一类置换群，没那么多悖论、死循环什么。
理论弄清楚了，对设计魔方也会起指导作用，比如前阵子的百慕大魔方。
上面四楼魔友，以及五楼那只鹦鹉所提的，一个例子根本在本文定义之外，是另一类魔方，另一个例子的话，其实满足定义，不过是概念没沟通清楚引起的误解罢了。

作者: shifujun 时间: 2014-9-9 17:59:55

Fenz 发表于 2014-9-9 15:26
科学又何曾解释所有现象？
定义有漏洞的话，找到更好的定义便是，魔方抽象化就是数学上的一类置换群，没 ...

那按照你的定义，镜面魔方是不是三阶魔方？是不是正六面体三阶魔方？

作者: 乌木 时间: 2014-9-9 20:00:39

我想，镜面魔方可以看作是，一个三阶普通魔方，把它的两两相邻的三个转层适当地刨去一定的厚度，这三层刨去的厚度各不相同；另三个转层则加厚，加厚程度也是各不相同。然后，一般就做成各面同色。
这样形变之后，它的变换规律一点没变。
对于三阶变形魔方，恐怕不必排除出三阶魔方类的吧。

作者: Fenz 时间: 2014-9-10 10:10:10

shifujun 发表于 2014-9-9 17:59
那按照你的定义，镜面魔方是不是三阶魔方？是不是正六面体三阶魔方？

镜面魔方是正六面体三阶魔方的一个非标准外形。主楼中以及补充说明，本文将这些同构异形都视为同一种魔方

作者: Fenz 时间: 2014-9-10 10:12:19

乌木发表于 2014-9-9 20:00
我想，镜面魔方可以看作是，一个三阶普通魔方，把它的两两相邻的三个转层适当地刨去一定的厚度，这三层刨去 ...

我是将同构异形都视为同一种魔方来讨论的。既然乌木先生都有误会，我还是在帖子最前面强调一下吧

作者: 乌木 时间: 2014-9-10 10:37:21

Fenz 发表于 2014-9-10 10:12
我是将同构异形都视为同一种魔方来讨论的。既然乌木先生都有误会，我还是在帖子最前面强调一下吧

我没有误会你的意见，我是对9楼说的，由于我不太清楚9楼的确切意思，所以没有明确说明针对9楼，只是说了我关于镜面魔方的看法等。这里说明一下。
我10楼的看法没错吧？
再补充一点。有的三阶变形魔方，会出现普通三阶不可能的情况，比如要求单单交换两个块，那是假像，往往是该变形三阶含有重复块，所以，实际上还是要求三轮换。对吧？

作者: Fenz 时间: 2014-9-10 14:47:12

乌木发表于 2014-9-10 10:37
我没有误会你的意见，我是对9楼说的，由于我不太清楚9楼的确切意思，所以没有明确说明针对9楼，只是说了 ...

是啊，那种“对换”的情形实际上还是至少有三个块参与。不过本帖只是统一定义一类魔方，也就不涉及变换理论了。
要拓展的话，还有许多课题，比如同构异形的界定。像镜面、鬼魔这些外形的变化是不会影响转动的。而有一些魔方外形的改变会限制某些转动，事实上已经改变了结构。比如 Curvy Copter plus 和 Crazy Comet，移棱MixUp和MixUp，L-Cube和三阶魔方。
L-Cube改变了结构好理解，其变形在内部，但也完全可以将变形做到外部，以达到同样的效果。这些魔方块的延伸已经逾越了切面，通过改变切面形状，而改变了结构。
一类是有相同的簇和块，而形状和结构不同，另一类是有相同的簇、块和结构，形状不同，“同构异形”这一个词便不能区分两者，我认为还得再弄个词才行。

作者: Fenz 时间: 2014-9-11 15:29:02

乌木发表于 2014-9-10 10:37
我没有误会你的意见，我是对9楼说的，由于我不太清楚9楼的确切意思，所以没有明确说明针对9楼，只是说了 ...

注意了一下Dogic，发现还漏了一点，主贴里补上的第5点。光前面四点的话Dogic、加宽三阶这些都能符合。
乌木先生看看还有什么纰漏吗

作者: 乌木 时间: 2014-9-11 16:09:16

Fenz 发表于 2014-9-11 15:29
注意了一下Dogic，发现还漏了一点，主贴里补上的第5点。光前面四点的话Dogic、加宽三阶这些都能符合。
乌 ...

对1楼的内容，我不大懂，慢慢学习吧。

作者: ggglgq 时间: 2014-9-11 18:29:05

　　
　　

很长时间没有上网了，今天上网欣喜地看到楼主给出了自己对“阶魔方”的理解和定义。

正确与否先搁在一边，最起码这种对魔方理论的探索精神，是值得我们广大魔友支持和学习的。
　　
　　
　　
　　
　　

由于工作繁忙，没有时间细读，只能简单地聊聊我对楼主 “阶魔方”的三点看法：


1、“阶”是可以定义“阶”的魔方的基本定义，首先要解决的是“怎样的魔方叫一阶魔方？”

和“骰子是否是魔方？”，其理论依据是什么？现在越来越多的人们已经认识到“各类骰子”是

是“一阶魔方”，并且依此为依据拓广出“ N 阶魔方”。
　　
　　
　　
　　
　　　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2014-9-11 18:31:59

本帖最后由 ggglgq 于 2014-9-12 10:35 编辑

　　
　　

2、基本的

是几阶魔方？怎么我看它像“骰子”戴了个帽子，像“一阶魔方”呢？

例如“正八面体骰子”角中心块等价于“正六面体骰子”（由各面中心块拓展放大构成的），

即骰子的帽子在旋转，骰子属性并未改变。因此我称它为“一阶魔方”或“骰子”。

　　
  　
　　注：“正八面体骰子”角中心块等价于“正六面体骰子”是经“同构异形体”的等价。

楼主例子中的“正四面体”即便按照“转面魔方”旋转，也可等价于“转角魔方”旋转。

因此我的例子举“正八面体转角骰子”对照“正四面体”，再转化为“正六面体转面骰子”。
　　
　　
　　
　　
　　

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作者: ggglgq 时间: 2014-9-11 18:40:04

本帖最后由 ggglgq 于 2014-9-11 18:52 编辑

　　

3、Skewb 的阶数应该是偶数 2 。看一看下面它的同构异形体，它的所有块都中心对称

分布在经过中心的旋转面的两侧，故阶数为偶数；并且它的所有旋转面都经过对称中心故

阶数为 2，因此它的阶数为偶数 2 。

关于这种表面为正三角的几何体，我在

   http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=63777

给出了“正八面体四阶（偶数阶）”的实例，大家可以对比参考。
　　
　　
　　
　　
　　
　　

附件: Skewb.jpg (2014-9-11 18:39:14, 84.43 KB) / 下载次数 33
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作者: Fenz 时间: 2014-9-11 20:09:18

ggglgq 发表于 2014-9-11 18:40
　　

3、Skewb 的阶数应该是偶数 2 。看一看下面它的同构异形体，它的所有块都中心对称

19楼所指出的性质同样适用于24Cube、Big Chop以及类似的深切魔方，把它们都称为二阶魔方？显然不适合。
它们只是二阶正六面体的性质，并不是所有二阶的性质。二阶五魔就不满足这些。

同样过体心的切割，在转面正六面体上，会刚好经过四个侧面的面心，以及侧棱的中点；在转面正四面体上，则达不到面心和棱的中点，切割深度较浅；而在转面正十二面体上，则完全超过了侧面，属于深切了。
可见是否将魔方切成两半，并不决定切割深度。

要总结什么是偶数阶的性质，什么是二阶的性质，不妨从标准形状的二阶正六面体和二阶五魔中归纳。
切面过体心，二阶五魔不符合，舍去。
切面过相邻面的面心，都符合。
切面过相邻棱的中点，都符合。
切面过上面所说的面心和棱中点的连线，都符合。
一旦切割深度超过这条连线，一个面就和它邻面的邻面有共同块，属于深切魔方（如水晶五魔）。
所以这条线标注了切割深度，区分是否深切魔方。
此即定义中第4点的由来。

有一个切面刚好达到上面说的线，就是偶数阶魔方，只有这种切面，就是二阶魔方。这比看是否达到体心更合理。
Skewb并未达到这条线，应是三阶（直观看，有一个棱块两端连着角块，一个角块连着三个棱块，也应该是三阶才对）。

18楼提到的魔方按转面看，是二阶正四面体魔方没错，按转角看当然可以和后面正八面体转角那个归为一类。然而一阶“魔方”应该是没有切面的骰子。戴了个帽子能转，就不是骰子了吧。这一类相当于只有中心块的魔方，参照唯棱魔方，叫它们唯中心魔方比较合适。骰子完全没有变换，唯中心魔方有色相会变换，所以并不该有“一阶”的属性。

作者: ggglgq 时间: 2014-9-12 10:20:04

本帖最后由 ggglgq 于 2014-9-12 10:33 编辑

Fenz 发表于 2014-9-11 20:09

19楼所指出的性质同样适用于24Cube、Big Chop以及类似的深切魔方，把它们都称为二阶魔方？显然不适合。
它们只是二阶正六面体的性质，并不是所有二阶的性质。二阶五魔就不满足这些。

同样过体心的切割，在转面正六面体上，会刚好经过四个侧面的面心，以及侧棱的中点；在转面正四面体上，则达不到面心和棱的中点，切割深度较浅；而在转面正十二面体上，则完全超过了侧面，属于深切了。
可见是否将魔方切成两半，并不决定切割深度。

要总结什么是偶数阶的性质，什么是二阶的性质，不妨从标准形状的二阶正六面体和二阶五魔中归纳。
切面过体心，二阶五魔不符合，舍去。
切面过相邻面的面心，都符合。
切面过相邻棱的中点，都符合。
切面过上面所说的面心和棱中点的连线，都符合。
一旦切割深度超过这条连线，一个面就和它邻面的邻面有共同块，属于深切魔方（如水晶五魔）。
所以这条线标注了切割深度，区分是否深切魔方。
此即定义中第4点的由来。

有一个切面刚好达到上面说的线，就是偶数阶魔方，只有这种切面，就是二阶魔方。这比看是否达到体心更合理。
Skewb并未达到这条线，应是三阶（直观看，有一个棱块两端连着角块，一个角块连着三个棱块，也应该是三阶才对）。

18楼提到的魔方按转面看，是二阶正四面体魔方没错，按转角看当然可以和后面正八面体转角那个归为一类。然而一阶“魔方”应该是没有切面的骰子。戴了个帽子能转，就不是骰子了吧。这一类相当于只有中心块的魔方，参照唯棱魔方，叫它们唯中心魔方比较合适。骰子完全没有变换，唯中心魔方有色相会变换，所以并不该有“一阶”的属性。

　　
　　

我还是认为：


1、“怎样的魔方叫一阶魔方？”，这是一个根基性的问题，是一个无法回避的根本。


2、因为 1 的问题，才会让楼主产生“一阶魔方”戴上“帽子”就变成“二阶魔方”

的说法。对于这种“二阶魔方”，我们是断然无法接受的。比如下面这个正六面体骰子

戴上帽子无论如何我们不能叫它正六面体二阶魔方！！！

   正六面体骰子.png

或者换句话说，我早就发现：对于正四面体魔方而言，它有“降阶”的特性（特质）。

对于正四面体魔方而言，由于“正四面体”的“转面魔方”旋转等价于 “转角魔方”旋转，

因此才会产生戴“帽子”的现象，而这个“帽子”（角）是可以被“降阶”（摘掉）的。

　　
　　
3、正是因为 2 中对于正四面体魔方而言，它有“降阶”的特性，才使我更加坚信地

确定 Skewb 的阶数应该是 2 。　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

附件: 正六面体骰子.png (2014-9-12 10:19:54, 18.31 KB) / 下载次数 85
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作者: ggglgq 时间: 2014-9-12 10:52:31

　　
　　
　　
　　哦，忘记说了，下面的魔方应该叫正六面体一阶全色魔方。

作者: Fenz 时间: 2014-9-12 19:27:47

ggglgq 发表于 2014-9-12 10:20
　　
　　

22楼的魔方是二阶？我可没发表过这种观点，我认为它不是阶魔方，也没有定义阶概念的理由。“一阶魔方”带了帽子，就不再是一阶了。加宽三阶不再是三阶，是一个道理。

二阶正四面体魔方和22楼的魔方一样属于只有中心块的魔方，这个类别没有阶的概念。但它同时属于阶魔方，满足二阶魔方的定义。2这个阶数与22楼的魔方无关。

把正四面体魔方减去一阶的做法太牵强，尤其是用到高阶上。
阁下在19楼提出何为偶数阶何为二阶的标准，我提出了这个标准的问题，并做出了修正。如今阁下却回避标准而从外推出发继续称Skewb是二阶，只能算佐证级别，没有足够的逻辑依据。佐证的话还有一条：二阶只有角，Skewb有棱有角。这便是三阶的特点。

正四面体和正六面体之间，有这么一种五面体————正三棱柱
正三棱柱二阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=c34443)、正三棱柱三阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=cb34443)
正六面体N阶——正三棱柱N阶——正四面体N阶
要合理的过渡便不应该给某一个形状特殊对待（如减去一阶）

以上为我的观点阐述，然而要想达到共识而非开辩论赛，就得先解决几个核心的分歧

彼此的分歧如下
分歧一：什么是一阶魔方
彼：带帽子的骰子
此：骰子
分歧二：“帽子魔方”的阶概念
彼：它们是一阶魔方
此：这个类别没有阶的概念，这类魔方要么没有阶，要么也属于另一个有阶的类别
分歧三：什么是偶数阶，并且是二阶
彼：19楼所述，符合的魔方：二阶六面体、Skewb、24Cube、Big Chop、最深切五魔等；
此：20楼所述，符合的魔方：二阶六面体、二阶五魔、二阶三棱柱等，如主楼大图第一排。

作者: 至尊达哥 时间: 2014-9-12 20:52:04

懒得看这些咬文嚼字的东西了。LZ能不能用一句简单的话概括一下？

作者: 至尊达哥 时间: 2014-9-12 20:53:19

懒得看这些咬文嚼字的东西了。LZ能不能用一句简单的话概括一下？

作者: Fenz 时间: 2014-9-13 10:16:51

至尊达哥发表于 2014-9-12 20:52
懒得看这些咬文嚼字的东西了。LZ能不能用一句简单的话概括一下？

一句话没法搞定，可以用一幅图概括，就首页那张大的，第一排是二阶，第二排是三阶

作者: ggglgq 时间: 2014-9-13 11:07:16

　　
　　

从 23 楼尤其是“彼”的“分歧”看出，可能楼主没能理解我的意思，我还是

解释一下为好。

首先，21 楼我并没有否认楼主的方法在其他几何体的“阶”的定义，甚至非常

支持在其他非正四面体的正多面体上采用这样的定义。21 楼只是在举例强调由于

“正四面体”的“转面魔方”旋转等价于 “转角魔方”旋转，从而导致这个“帽子”

（角）是可以被“降阶”（摘掉）的。因为正六面体一阶全色魔方可以很形象地类比

“帽子”可以被“摘掉”，“帽子”不改变“骰子”的属性，所以才举了那个例子。

下面我把 21 楼的关键的例子内容澄清一下：

因为 1 的问题，才会让楼主产生“一阶魔方”戴上“帽子”就变成“二阶魔方”

的说法。对于这种“二阶魔方”，我们是断然无法接受的。

   或者换句话说，我早就发现：对于正四面体魔方而言，它有“降阶”的特性（特质）。

对于正四面体魔方而言，由于“正四面体”的“转面魔方”旋转等价于 “转角魔方”旋转，

因此才会产生戴“帽子”的现象，而这个“帽子”（角）是可以被“降阶”（摘掉）的。

　　
　　
　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2014-9-13 11:08:18

　　
　　

其次，“帽子魔方”不只是一阶魔方，可以是任意阶魔方，“帽子”不改变“阶”的属性。

比如下面的正六面体系列的“帽子魔方”，“帽子”不改变魔方“阶”的属性。
　　
　　

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作者: ggglgq 时间: 2014-9-13 11:09:17

　　
　　

再次，可以定义“阶”的魔方不但可以戴“帽子”，还可以额外伸出“拳脚”，但是

这些“拳脚”都不改变魔方“阶”的属性。同时“拳脚魔方”不只是一阶魔方，也可以是

任意阶魔方。例子我就不举了，大家看看 “魔中魔”系列魔方就知道，同构异形了。


当然，可以定义“阶”的魔方，可能还有其他我们未知领域的魔方，它是魔方的一个

重要分支。这里我非常赞同楼主关于魔方“群的定义”，根据群的定义，或许可以让

我们用 “mf（M×N×……）” 来定义 “M×N×…… 阶魔方” ……
　　
　　
　　
　　

作者: Fenz 时间: 2014-9-13 13:08:25

ggglgq 发表于 2014-9-13 11:09
　　
　　

这个魔方

存在争议正常，因为从不同角度看，它同时属于两种类别。
从转角看，所有块都是中心块，它是“帽子魔方”。
阁下认为帽子魔方阶等同于摘掉帽子，而我认为帽子魔方没有阶属性。
从转面看，所有块都是角块，满足阶魔方定义，属于二阶魔方。

看问题应该从各个方面看才对，不能单单将其看做转角魔方，就算给帽子魔方定义了阶的属性，这个魔方也应该有两个阶属性才对，作为阶魔方的阶——2，作为帽子魔方的阶——(存争议，你我各自认为是 1 和不存在 )

28楼的魔方并非帽子魔方啊，它们就是标注了方向的三四五阶正六面体而已，没有能单独转动的“帽子”。
“伸出拳脚”自然是不会改变魔方的任何属性，包括阶属性，然而加了帽子则不同，帽子能转动，便多了一个切面，以及许多新状态。再比如三阶加了帽子，变成加宽三阶，便实际上出现了与五阶面块相同的簇，不再是三阶了。

魔中魔系列有各种不同的转动限制，与前面讨论的魔方都是不同的。其无限制版本（全自由面）和加宽三阶同构异形。有的两个限制版本（全1面和全0面）实际上是捆绑成了一个颜色三阶和一个方向三阶，其它魔方捆绑合并簇，变成阶魔方当然是可能的。

关于四面体降阶的观点
1、只从个别魔方出发，非所有同类魔方中总结，更从未考虑高阶情况；
2、两个魔方降阶的理由不同，不具有可推广性；
3、Skewb降阶的理由不合理（这点我阐述过两遍，而阁下又回避了）；
4、独立了正四面体，破坏规律对各种情况的统一性。

Skewb的三阶性，我再举出一个佐证：四面体百慕大魔方。能百慕大化的阶魔方，阶数一定是3，因为百慕大化实际上是棱角易位加中心块变形，必须有棱块、角块、中心块，除中心块外无面块的三阶魔方才能做到。

作者: ggglgq 时间: 2014-9-13 18:10:57

　　
　　

   唉，我现在工作很忙，还要费劲地跟你扯这些“基本常识”，最后还落了个“回避问题”

的“罪名”。有些常识性的知识，我有必要再三解释吗？比如“偶数”是 2 的倍数，我给你

解释了 N 楼，最后你连个面都不见了，我不知道你这算不算在“回避问题”呢？

http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=7532&extra=page%3D1&page=6

真的，我很累。我最后再澄清三点，以后不想再回复了，也没心情和精力陪着耗时间。



1、一个完备的理论不应该具有“歧义性”的：

   由你的理论得出这个魔方是“二阶”，然后再由你的理论“同构异形”又得出这个

魔方等价于“一阶”，这难道不荒唐吗？你不但不解决问题，却要“回避问题”地回答

“存在争议正常，因为从不同角度看，它同时属于两种类别。”

“独立了正四面体，破坏规律对各种情况的统一性。”

正四面体本身就是一个特殊的几何体，必须要单独讨论的。就如同对正整数而言讨论

“质数”、“合数”问题一样，要对 1 进行单独讨论，它既不属于“质数”，也不属于

“合数”， 1 是一个特殊的数。
　　
　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2014-9-13 18:11:54

本帖最后由 ggglgq 于 2014-9-13 18:18 编辑

　　


2、Skewb 的二阶性，我可以再举出一个佐证：

Skewb 的二阶性，说实在的我已经不想再提了，没什么意思的。不过你既然提到了

四面体百慕大魔方，我想顺便说说下面这个魔方

它是正六面体三阶一秩魔方，如果按“阶”算，它应该算“三阶”，你为了“回避问题”

把这类魔方都变成“没有阶属性”。我明确地说，即便没有角块，它还是“三阶”。因此

你那 Skewb的三阶性的“佐证” 的本身就值得推敲。

下面是我的 Skewb 的二阶性的佐证：

我们和三阶粽子魔方做对比，虽然有些牵强，但足可以说明“层”和“阶”的联系：

三阶粽子魔方.jpg

这里稍微说一下，三阶粽子魔方是不用“降阶”的，因为它不是“转角”的。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　

附件: 三阶粽子魔方.jpg (2014-9-13 18:11:42, 16.94 KB) / 下载次数 62
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作者: ggglgq 时间: 2014-9-13 18:13:33

　　

3、至于那些正六面体 N 阶全色魔方 “帽子”的问题，就算咱们对“帽子”的概念

理解有偏差。引入这个概念就是为了说明转角正四面体的“角块”是可以被“摘掉”的，

现在目的已经达到，所以我不想再同你纠缠了。
　　
　　
　　

作者: Fenz 时间: 2014-9-15 01:12:43

ggglgq 发表于 2014-9-13 18:13
　　

3、至于那些正六面体 N 阶全色魔方 “帽子”的问题，就算咱们对“帽子”的概念

首先感谢阁下与我讨论了这么多，“回避问题”的措辞有所冒犯还请海涵，我的目的也是希望阁下正面阐述。阁下也进一步阐述了对Skewb的观点，但是高阶正四面体还是没有提到。

从32楼看，阁下对“阶”的定义好像是等同于层数。可是层数不能决定什么。二层正方体魔方，就包括转面的二阶、转棱的24Cube、转角的Skewb；三层五魔则更是种类繁多，切面从浅到深有三阶五魔、二阶五魔、水晶五魔...... 同样的层数，不同的切割方向、深度，则截然不同。
何况层数和阶不相等也很常见，比如四阶五魔有五层，二阶五魔有三层，所以阁下32楼的佐证就...。

“阶”这个概念，本来只存在于正方体阶魔方上，这也没有争议。
可是扩展到其它魔方上，由于定义不同，就会有争议。还是需要一个好的定义，将概念扩展到合适的魔方上。
魔方是千姿百态的，并非所有的魔方都适合用阶来描述，所以我主张只给适合用阶描述的魔方定义阶。
阁下看来我这样圈定范围是为了“回避”，而我实际为了让“阶”这个概念的意义不变质，并且遵循统一的规则，没有违反规则的特例。
一楼的定义有完善统一的规则，界定了明确的范围，我认为是个好定义。
正四面体和其他形体一样满足条件，满足规律。

要说正四面体阶魔方有什么特殊的，就是面对角，转面=转角这个特点了。
而正三棱柱、正五棱柱等阶魔方也有类似特点：面对棱，转面=转棱。
面对角和面对棱，都会使层数相比面对面的少，都要特殊处理的话，真是麻烦事。
规律还是简单统一好，层数什么并不重要，既然符合完善统一的定义和规律，何必单独处理。

至于31楼的“歧义性”，有点张冠李戴，那个1阶分明是阁下理论得出，怎么算到我头上。
“存在争议正常，因为从不同角度看，它同时属于两种类别。(让我补充完整)若只从一个角度看，便会得出片面的结论，导致争议。”
而阁下只从转角出发，忽视转面。与我转面角度得到的结论有争议是自然的，但并非合理的，得从两个角度综合看。

至于帽子，既然能转动，产生不同状态，摘掉的话还是有所区别的，不能等同。

我的目的并非争论，只是希望完善魔方的理论。阁下认为讨论的是“基本常识”。然而魔方理论还很不完善，许多概念还缺乏完备的定义。
我所做的，就是整理魔方的分类，符合一定规律的分为一类，给出完善的定义。对于诸如“阶”这样的关键概念，给出明确统一的定义
。
所以当阁下持有不同的“阶”的定义，并且只对某些魔方单独赋值，未给出明确的统一定义，适用范围又模糊。我当然坚持自己的定义。

作者: ggglgq 时间: 2014-9-16 10:56:19

　　


呵呵！我想楼上的核心内容应该是：

“所以当阁下持有不同的“阶”的定义，并且只对某些魔方单独赋值，未给出明确的统一定义，适用范围又模糊。我当然坚持自己的定义。”

给我的感觉好像是说想要指出楼主理论错误的人，就必须要有类似的明确的统一的理论的

定义，不然是无法说服楼主的理论的错误，楼主当然要坚持自己的定义。

呵呵，不知我可不可以理解成这是楼主在刻意“回避问题”呢？

　　
　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2014-9-16 10:57:28

　
　　

楼主或许以为问题出在：

“‘阶’这个概念，本来只存在于正方体阶魔方上，这也没有争议。可是扩展到其它魔方上，由于定义不同，就会有争议。”

我看未必。问题很可能还是出在下面的刻意“回避问题”上，它们可是都是“正方体”！

别再“回避问题”地谈你对“帽子”的定义的理解的偏差或者它们不属于阶魔方了。

你的理论使得所有 “正六面体 N 阶魔方去了‘角块’ 就不是 N 阶魔方了”，那

我还和你有什么可理论的呢？基础的问题不解决好 ...... 楼房越高越危险 ......
　　
　　
　　

作者: Fenz 时间: 2014-9-16 14:54:27

ggglgq 发表于 2014-9-16 10:57
　
　　

‘阶’这个概念，本来只存在于正方体阶魔方上
也就是正六面体的二阶魔方、三阶魔方、四阶魔方......
“阶”这个词不就是用来描述这些魔方而引入的吗。

三阶魔方去了角块，当然就是一种新的魔方，变换群都不一样了。
还称为“三阶”只会带来混淆。应当以其特征来命名。
帽子魔方去了帽子，阿贝尔群变成了单位元素群，也不是同一种魔方了。

作者: aspirine 时间: 2014-9-18 14:35:06

1-魔方的阶定义是一个狭隘的定义，对于用数学方法尤其几何学来定义阶是大材小用,对于阿基米德体用阶定义都存在漏洞
2-魔方是一种机械体，转动方式规则（包括规定转动角，角块移动规则）也将区分看起来相同的魔方。如同一个二阶，一个规定每面只能进行90度旋转，一个规定180度，两魔方自然不同。甚至上下两个旋转层可以在高维中变成一个群
3-数学是魔方的辅助I具，轨道的切割方式有时可以使阶的数学定义不成立……
4-现在的魔方小品化，更多机械组合和联动方式将改变我们对魔方的认识。

我主张把阶作为一个辅助概念，而不是概念的全部

作者: 星寰剑镛 时间: 2014-9-24 15:19:34

好高深，好深奥……………………

作者: 爱好魔方 时间: 2014-11-15 20:53:49

貌似好深奥，晕~~~
装作路过~~~

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