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标题: 二阶魔方公式的周期有多少种? [打印本页]
作者: 黑白子    时间: 2016-1-9 14:24:01     标题: 二阶魔方公式的周期有多少种?

二阶魔方公式的周期有多少种?
在二阶魔方中是否存在周期是32的公式?
作者: hubo5563    时间: 2016-1-9 21:44:12

本帖最后由 hubo5563 于 2016-1-9 22:09 编辑

不可能有周期是32的公式
由于二阶魔方状态群共3674160
因为任意一个公式的周期数一定是状态数的因数，而3674160=2^4*3^8*5*7
是2的4次乘3的8次乘5乘7，2的次数是4，所以不可能有2的5次的元素。
虽然14和16都是3674160的因数，但可以断定没有周期是14的公式，也没有周期为16的公式。

作者: 黑白子    时间: 2016-1-10 11:44:04

hubo5563 发表于 2016-1-9 21:44
不可能有周期是32的公式
由于二阶魔方状态群共3674160
因为任意一个公式的周期数一定是状态数的因数，而3 ...

因为2阶魔方最大周期是45，除去不是状态数因数的，还有14和16您已经排除了。由此可知，二阶魔方公式可能的周期值是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，15，18，20，21，27，28，30，35，36，40，42，45}共23个数，这些都存在吗？
作者: 至尊达哥    时间: 2016-1-10 15:59:58

为什么任意一个公式的周期数一定是状态数的因数？
作者: 至尊达哥    时间: 2016-1-10 16:01:06

3674160的因数可以是3674160，那有没有周期为3674160的公式？
作者: 黑白子    时间: 2016-1-10 16:30:50

至尊达哥 发表于 2016-1-10 15:59
为什么任意一个公式的周期数一定是状态数的因数？

这个问题涉及到群论，群论是近世代数中的重要内容，我也不懂。
群论中有一个拉格朗日定理：有穷群的子群的元数是这群的元数的因数。
一个元生成的循环群的元数就是这元的阶，阶就是周期。
作者: hubo5563    时间: 2016-1-10 21:18:40

本帖最后由 hubo5563 于 2016-1-10 21:43 编辑
黑白子 发表于 2016-1-10 11:44
因为2阶魔方最大周期是45，除去不是状态数因数的，还有14和16您已经排除了。由此可知，二阶魔方公式可能的 ...


也不可能有20，28，35，40，42
因为20阶循环群必有4阶元素和5阶元素，四阶元素只能是换位，5阶元素也只有换位，没有转向，共7个位置，去掉4个换位，只剩3个，所以，有4阶元素就不可能有5阶元素，因此，不会有20阶元素。也就是二阶魔方公式的周期不会有20。同理，也不会有35，40，42.
你列的几个数可以肯定有{1，2，3，4，5，6，7，9，10，12，15，18，21，30}
由于二阶相当一个角不动，动的块只有7个，因此，也不可能有8阶元素，因此，二阶魔方公式的周期也不会是8。
作者: 黑白子    时间: 2016-1-10 21:33:29

hubo5563 发表于 2016-1-10 21:18
也不可能有20，28，35，40，42
因为20阶循环群必有4阶元素和5阶元素，四阶元素只能是换位，5阶元素也只 ...

谢谢胡波老师!那就只剩下{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，15，18，21，27，30，36，45}这18个数了，其中1是没用的。
作者: hubo5563    时间: 2016-1-10 22:18:13

本帖最后由 hubo5563 于 2016-1-11 13:45 编辑
黑白子 发表于 2016-1-10 21:33
谢谢胡波老师!那就只剩下{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，15，18，21，27，30，36，45}这18个数了， ...


你说最大周期是45，我怎么也想不到这个公式是什么？
任何一个公式都把复原的魔方转到某个状态，二阶魔方状态无非是7个角块任意排列加上角块转动。
如果这个公式存在，它有5阶元素，7个角块减去5个剩2个，因此，这个公式不会有位置的三循环，只有方向转动。如果，五个角块循环的过程中有一个角块转动，那么做15次公式，这5个角块肯定复原，另两个角块如果有换位，那么6次也能复原，公式就有2阶元素，45阶循环群是不可能有2阶元素的，所以，另两个角块是没有换位的，只有转向。那么每做3次公式，那两块也能复原，因此做15次，那两块也能复原，所以，公式就是15阶的，与假设矛盾。因此，不可能有45阶公式。
27也没有，最后只剩下2，3，4，5，6，7，9，10，12，15，18，21，30，36这14个了。
2，3，4，5，6，7这只有换位的群就存在这样的周期，
9，换位三循环，并且这三个角块只有一个反转，那么做三次公式，相当位置复原了，但方向角都转了一下，因此，这个公式的三次还需要三次才能复原，所以，需要9次。
10，有一个5循环，和一个2循环，周期是10；
12，一个4循环，一个三循环，周期是12；
15，一个5循环，循环里边还有一个转向；
18，一个6循环，循环里边还有一个转向；或者有一个三循环，循环里有一个转向，另有一个二循环；
21，一个7循环，循环里边还有一个转向；
30，一个5循环，一个2循环，循环里有一个转向；
36，一个4循环，一个3循环，3循环里有一个转向。

知道周期是45是怎么形成的了。
作者: hubo5563    时间: 2016-1-11 06:43:03

本帖最后由 hubo5563 于 2016-1-11 13:43 编辑

二阶魔方公式也不存在周期是21的，原因是角块不能独立转动。周期21时必有7轮换，包括了二阶魔方的所有可动块，魔方转动没有独立的角块转动，也就是说7个角块转动的总和应当是3的倍数，这样，做7次公式，魔方位置复原的同时，各个角块转动总和应该是3和7的倍数，并且由于位置正好循环一次，每个块转动次数是相等的，因此是3的倍数，也就是复原状态。因此操作7次后，魔方就复原了，他的周期是7。
以上结论不正确，原因是，二阶魔方8个角块都能动，8个角块转动总和应当是3的倍数，7个角块转动总和有可能不是3的倍数！
作者: 黑白子    时间: 2016-1-11 08:17:21

hubo5563 发表于 2016-1-10 22:18
你说最大周期是45，我怎么也想不到这个公式是什么？
任何一个公式都把复原的魔方转到某个状态，二阶魔 ...

回胡波老师是这个帖子说的
http://bbs.mf8-china.com/forum.p ... &extra=page%3D1
作者: 黑白子    时间: 2016-1-11 09:49:26

hubo5563 发表于 2016-1-10 22:18
你说最大周期是45，我怎么也想不到这个公式是什么？
任何一个公式都把复原的魔方转到某个状态，二阶魔 ...

U R U L的周期是45，我这里java 有问题，无法贴出，您可以验证一下。
作者: 乌木    时间: 2016-1-11 11:48:01

本帖最后由 乌木 于 2016-1-11 12:43 编辑
黑白子 发表于 2016-1-11 09:49
U R U L的周期是45，我这里java 有问题，无法贴出，您可以验证一下。


11楼链接中那个帖子说最大周期是45，参照物是魔方的周围环境（即观察者）；而胡老师的分析中，参照物是认定的一个不动的角块。或许，区别的原因在此吧？

参照物为观察者的话，做一遍URUL后，生成一个三循环和一个五循环，环内色向和为非零，所以公式周期为(3x5)X3=45;
参照物为（比如）上前左角块，做一遍URULy2之后，参照块才为原状，这样，其余块生成一个七循环，环内色向和为零（这里的情况下也一定为零），公式URULy2的重复周期为7。
第二种参照物分析法，其余七个块无法生成三循环加五循环的状态。
作者: hubo5563    时间: 2016-1-11 13:10:19

本帖最后由 hubo5563 于 2016-1-11 13:31 编辑
乌木 发表于 2016-1-11 11:48
11楼链接中那个帖子说最大周期是45，参照物是魔方的周围环境（即观察者）；而胡老师的分析中，参照物是 ...


是的，二阶魔方的确有一个块不能运动，受这个影响得出的结论。
URUL不满足有一个角块不动。
这样来说，我的基于一个角块不动的结论都是错的，因为任意一个角块都可以动。
二阶魔方公式周期有可能是8，21，45了。
作者: hubo5563    时间: 2016-1-11 13:46:35

本帖最后由 hubo5563 于 2016-1-11 13:48 编辑
黑白子 发表于 2016-1-11 09:49
U R U L的周期是45，我这里java 有问题，无法贴出，您可以验证一下。


知道周期是45的是怎么形成的了。
魔方整体转动后，不等于没转动的魔方。
作者: 黑白子    时间: 2016-1-11 18:37:07

三阶魔方的周期又有多少个数值呢?
作者: 黑白子    时间: 2016-1-11 18:50:08

那个帖子讨论最大周期时,偶阶魔方用环境做参照物，奇阶魔方用自身中心块做参照物。不知道奇阶魔方用环境做参照物结论会有什么不同？
作者: hubo5563    时间: 2016-1-11 22:28:25

本帖最后由 hubo5563 于 2016-1-23 08:15 编辑

二阶魔方参照物不同确实结论不同。
      二阶魔方状态数3674160是在参照一个不动角块下得出的，若参照环境，状态数就不止这些了，应该是它的24倍，因此就有，8，21，45阶的公式了。
      在参照一个不动角块，比如，前左下角块，魔方不能有F、L、D转动，这样，二阶魔方状态数就是真实状态数，并且不会有8、21、45阶的公式了。
      三阶魔方如果不转动中层，不整体转动，那么就是参照自身中心块，如果可以转动中层，就是参考环境了，那么状态数是实际状态数的24倍，魔方公式周期肯定不一样了。
     
      三阶魔方如果参照环境，公式周期数只能包含2，3，5，7，11素因子，2的指数最多是4，3的指数最多2，其它素数指数是1。
     如果有11，那么2的指数最多是3。
     最大周期可能是5乘9乘7乘8=2520。
     8个角块，有45阶的，棱块有7阶循环，12减去7等于5，所以有4循环，四循环中如果有一个翻棱，那么周期就是8，这样周期就是2520了。
作者: 黑白子    时间: 2016-1-12 08:20:48

hubo5563 发表于 2016-1-11 22:28
二阶魔方参照物不同确实结论不同。
      二阶魔方状态数3674160是在参照一个不动角块下得出的，若参照环境 ...

多谢胡波老师！看来不论几阶魔方都存在参照物的问题，前提不同，结论不同；并且2阶以上魔方还存在有向魔方与无向魔方的区别。胡波老师，等您有时间了，您能否做一个直接生成魔方环结构和周期值的软件？并且阶数可以自动勾选？这样比人工分析好多了。
作者: 乌木    时间: 2016-1-12 10:34:15

本帖最后由 乌木 于 2016-1-12 12:35 编辑
hubo5563 发表于 2016-1-11 22:28
二阶魔方参照物不同确实结论不同。
      二阶魔方状态数3674160是在参照一个不动角块下得出的，若参照环境 ...


您说“ 8个角块，有45阶的，棱块有7阶循环，12减去7等于5，所以有4循环，四循环中如果有一个翻棱，那么周期就是8，这样周期就是2520了。”

如果是参照中心块组的，那么，
三阶角块有一个三循环和一个五循环，环内色向和非零，角块的重复周期为45；
这时角块的偶循环数为零（偶数），角块处于偶态，那么棱块应该也处于偶态，所以棱块的偶循环数应该为偶数，而一个七循环和一个四循环的话，棱块的偶循环数为1，棱块处于奇态了，和偶态的角块不相容。

参照中心块时，三阶（暂时只看纯色三阶）的公式最大周期问题，是否这样：
角块还是一个三循环和一个五循环，周期为45；
考虑棱块一个11循环，环内色向和非零，棱块周期为22。这样纯色三阶公式（参照中心块组）的最大周期为45x22＝990 。
如果是中心块具有方向的图案三阶，中心块复原的条件是公式的重复遍数为4的倍数，所以990要再乘以2，得到1980 。

如果是参照魔方环境的话，公式的重复周期还要大。
那个2520应该是参照环境的，一遍公式后，中心块组有奇数次90°转，同时，角块的偶循环数为偶数（包括零个偶循环），棱块的偶循环数为奇数，三者的关系就是正常的了。
只是做2520遍公式后，中心块组的方位是否也恰好复原，也应该论述一下。看来，2520是四的倍数，中心块组是可以复原的。


作者: 黑白子    时间: 2016-1-12 13:51:05

乌木 发表于 2016-1-12 10:34
您说“ 8个角块，有45阶的，棱块有7阶循环，12减去7等于5，所以有4循环，四循环中如果有一个翻棱，那么 ...

三阶纯色参照中心块的最大周期是1260，以前讨论过的。例如UR'UF'D2生成的环结构为
(-ufl,ubr,fur,bul,bdr)(+dlf,ldb,rdf)
(+fu,bu)(+lf,db,df,rf,ld,rd,rb)(ur,ul)
(-f)(-r)(++d)(++u)
作者: 乌木    时间: 2016-1-12 16:13:19

黑白子 发表于 2016-1-12 13:51
三阶纯色参照中心块的最大周期是1260，以前讨论过的。例如UR'UF'D2生成的环结构为
(-ufl,ubr,fur,bul,bd ...

噢，谢谢。



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