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标题: 四维几何题 [打印本页]

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-23 17:31:02 标题: 四维几何题

本帖最后由至尊达哥于 2016-5-2 15:49 编辑

如图四维五胞体s-（E-JKI）各侧四面体的体积分别为 V四面体SJKI=15 V四面体SEKI=16 V四面体SJEI=10 V四面体SEJK=24 V四面体IEJK=32 且各侧四面体与底四面体所成的二体角都相等求此胞体体积.
四维.jpg

此题选自网络。

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作者: 师尊hzy 时间: 2016-4-23 18:23:48

初一，大神求解

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-23 20:29:37

没人感兴趣么？我就不再发了。。。

作者: otischeng 时间: 2016-4-23 22:35:28

在下無能, 學術上的題我解不出......

作者: 广场的地摊 时间: 2016-4-24 13:16:36

学渣路过

.........

作者: tm__xk 时间: 2016-4-24 14:24:13

高维不懂..但就这种内容的话跟低维也没差..所以我就姑且按三维的来理解吧..相当于

已知多面体每个面的面积,已知某个面(称为"底面"吧)和别的面(称为"侧面"吧)夹角都相等,求体积.

这些夹角相等说明顶点到底边距离都相等,也就是顶点射影是底面内心,侧面面积的比就是底面边长的比.
同时,底面积比侧面积反余弦得到那个夹角.(这里要求顶点射影在底面内,不然就要有负面积了..我猜这条件应该是题目有的..)
要求体积,只要求底面内切圆半径.
换个说法吧..只要能求以下命题

已知某圆外切多边形所有边长的比例和其面积,求其内切圆半径.

然后感觉这已经没什么好简化的了..
如果边数是奇数..可以直接求得每条边被切点分得两段的长度..然后反三角的方程..硬要化简的话最后应该剩个高次方程..就看数据有多特殊不然就数值解了..
如果边数是偶数....比奇数的情况再麻烦一点点....

嘛..反正我说的是低维的情况..至于lz在高维那里觉得这些能不能有用我就不知道了..

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-24 16:13:29

tm__xk 发表于 2016-4-24 14:24
高维不懂..但就这种内容的话跟低维也没差..所以我就姑且按三维的来理解吧..相当于这些夹角相等说明顶点到底 ...

厉害，其实我和你的想法差不多，就是用类比法求的。

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-24 16:28:40

忽然发现还有一个问题......
任意五胞体的体积怎么求？是1/4Vh吗？

作者: tm__xk 时间: 2016-4-24 17:47:43

至尊达哥发表于 2016-4-24 16:13
厉害，其实我和你的想法差不多，就是用类比法求的。

然而我这人绝不会把这种东西称为"类比法"....

作者: tm__xk 时间: 2016-4-24 17:49:01

至尊达哥发表于 2016-4-24 16:28
忽然发现还有一个问题......
任意五胞体的体积怎么求？是1/4Vh吗？

你连体积都不会求还问这种问题?

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-24 17:55:15

tm__xk 发表于 2016-4-24 17:49
你连体积都不会求还问这种问题?

是的，我不会求。

你会吗？

作者: hubo5563 时间: 2016-4-26 07:49:49

本帖最后由 hubo5563 于 2016-4-26 08:43 编辑

至尊达哥发表于 2016-4-24 16:28
忽然发现还有一个问题......
任意五胞体的体积怎么求？是1/4Vh吗？

四维空间的锥胞体的胞体积是1/4Vh
其中V是胞体底体的体积，h是锥胞体的高。

四维空间的台胞体的胞体积
1/4h（V1+V2+（V1平方*V2）的立方根+（V1*V2的平方）的立方根）
其中h是台胞体的高，V1和V2是台胞体的上、下底体的体积。

四维空间的任意五胞体，是四维空间最简单的棱锥胞体，因此，它的胞体积是1/4hV。

这里要弄清四维空间锥胞体是什么
二维空间就是三角形，面积是1/2bh，b是底边长，h是高。
三维空间就是四面体，也就是三棱锥，体积是1/3Sh，其中S是底面积，h是高
四维空间的五胞体，是四维空间的最简单的棱锥胞体，胞体积是1/4hV，其中V是锥胞体底体的体积，h是高。

二维空间和三维空间底空间中的任何向量都垂直于高，四维空间的锥胞体底体中的任意向量也垂直于高。
这里的锥是任意锥，包括棱锥、圆锥、底面体是任意曲面体的锥体。

台胞体就是四维空间的截锥胞体，上下底体是平行的。

作者: 乌木 时间: 2016-4-26 08:51:35

本帖最后由乌木于 2016-4-26 09:26 编辑

hubo5563 发表于 2016-4-26 07:49
四维空间的锥胞体的胞体积应该是1/4Vh
其中V是胞体底体的体积，h是锥胞体的高。

这和四维正方体有类似之处，平面三角形——三维四面体——四维锥胞体；平面正方形——三维正方体——四维正方体。
两者不同之处是不是这样：四维锥胞体是五胞体，而四维正方体却是八胞体（它在三维中的投影可以间接地“看出”：除了1+6个胞体外，最后“生长”出的八根线段的八个端点又可以连接为一个胞体）。
这样想法对吗？
四维正方体.png

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作者: michaelchen0220 时间: 2016-4-28 22:25:36

希望不是求120胞体或者是600胞体，应该有人会

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-29 15:43:40

hubo5563 发表于 2016-4-26 07:49
四维空间的锥胞体的胞体积是1/4Vh
其中V是胞体底体的体积，h是锥胞体的高。

我想知道为什么是1/4Vh呢？

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-29 15:46:44

乌木发表于 2016-4-26 08:51
这和四维正方体有类似之处，平面三角形——三维四面体——四维锥胞体；平面正方形——三维正方体——四 ...

最后“生长”出的八根线段的八个端点又可以连接为一个胞体

这句话没看懂......

作者: 至尊达哥 时间: 2016-4-29 15:47:45

michaelchen0220 发表于 2016-4-28 22:25
希望不是求120胞体或者是600胞体，应该有人会

当然不是，即使要求，投影都是个问题。

作者: 双子流星 时间: 2016-4-29 19:17:13

“最后“生长”出的八根线段的八个端点又可以连接为一个胞体）。”是什么意思？？

作者: 乌木 时间: 2016-4-29 19:24:54

至尊达哥发表于 2016-4-29 15:46
这句话没看懂......

我的思路是，
一维中，只能给出一根长度为a的线段；
二维中，线段两端同向垂直“生长”两根长度为a的线段，再连接最后的两个端点，得到一个正方形（由四根线段构成）；
三维中，正方形之上类似地生长四根长a的线段，连接最后四个端点，得到一个正方体（由六个正方形构成）；
四维中，正方体的八个顶点，正交地生长八根长a的线段，连接最后的八个端点，得到一个四维正方体（由八个正方体构成）。

作者: 乌木 时间: 2016-4-29 21:01:59

双子流星发表于 2016-4-29 19:17
“最后“生长”出的八根线段的八个端点又可以连接为一个胞体）。”是什么意思？？

见19楼。
……………………………………………………………………………………

作者: 双子流星 时间: 2016-4-29 22:05:20

乌木发表于 2016-4-29 21:01
见19楼。
……………………………………………………………………………………

这么说来这个胞体就是图中最外围的八个点形成的正方体（从三维的角度看）

作者: 乌木 时间: 2016-4-30 05:19:06

双子流星发表于 2016-4-29 22:05
这么说来这个胞体就是图中最外围的八个点形成的正方体（从三维的角度看）

是的。
八个胞体是一样的。
但仅从上面那个投影图，不易看出这一点，有人把旋转着的四维正方体的投影，做成动画，就体现了这一点：
四维空间立方体.gif

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作者: hubo5563 时间: 2016-4-30 20:35:34

本帖最后由 hubo5563 于 2016-4-30 21:21 编辑

至尊达哥发表于 2016-4-29 15:43
我想知道为什么是1/4Vh呢？

我们知道三维中的锥体，设从锥体顶点到任意一个平行底面的截面距离为x，锥体高度为h，底面为S，
截面和底面是相似的，底面上的任意一维度量，就存在截面上的一个一维度量与之对应，截面上的一维度量与底面一维度量之比就等于x/h，面积比是二维度量，面积比是（x/h)的平方。
底面上的任意二维形状，就存在截面上的一个二维形状与之对应，他们是相似的，截面上的二维形状的面积与底面上与之对应的二维形状之比就等于（x/h)的平方。
特别是截面和底面是相似的，他们面积比是
S(x)/S=（x/h)^2 其中S(x)是距离顶点为x的截面积。
S(x)=S/h^2*x^2=k*x^2;

四维中的锥体类似三维，设从锥体顶点到任意一个平行底体的截体距离为x，锥体高度为h，底体为V，这里说的底体和截体是四维锥体的底三维超平面，和截面的三维超平面。
截体和底体是相似的，底体上的任意一维度量，就存在截体上的一个一维度量与之对应，截体上的一维度量与底体一维度量之比就等于x/h，
底体上的任何二维形状，也存在截体上的一个二维形状与之对应，截体上的二维形状与底体上与之对应的二维形状也是相似的，面积之比就等于（x/h）^2，
底体上的任何三维形状，也存在截体上的一个三维形状与之对应，截体上的三维形状与底体上与之对应的三维形状也是相似的，体积之比就等于(x/h)^3，
因此，特别是截体和底体是相似的，体积比等于(x/h)^3，

V(x)/V=(x/h)^3;
V(x)=V/h^3*x^3=k*x^3
这里k=V/h^3是常数。
特别V(h)=V=k*h^3;

四维胞体体积就是V(x)dx的从0到h的定积分
而V(x)dx=kx^3的不定积分是1/4kx^4,所以
四维胞体体积就是1/4k*h^4-1/4*k*0^4=1/4*k*h^4=1/4*h*k*h^3=1/4h*V

四维空间的台胞体就是截锥胞体，体积就是
V(x)dx的从h1到h2的定积分，就是1/4kh2^4-1/4kh1^4=1/4k(h2-h1)(h2^3+h2^2*h1+h2*h1^2+h1^3)
h2-h1=h,是截锥的高
k*h2^3是下底的体积
k*h1^3是上底的体积
k*h2^2*h1是（下底体积平方乘以上底体积）的立方根
k*h2*h1^2是（下底体积乘以上底体积平方）的立方根
就得出四维空间的台胞体积：

1/4h（V1+V2+（V1平方*V2）的立方根+（V1*V2的平方）的立方根）

而三维空间的台体体积是
1/3h（S1+S2+（S1*S2）的平方根）

作者: hubo5563 时间: 2016-4-30 21:31:54

乌木发表于 2016-4-26 08:51
这和四维正方体有类似之处，平面三角形——三维四面体——四维锥胞体；平面正方形——三维正方体——四 ...

是的，这个图是投影图，实际上每个点都有4个棱，这4个棱是两两相互垂直的。这在三维空间是不可能的，在四维空间确实是这样。

作者: 至尊达哥 时间: 2016-5-1 10:11:01

hubo5563 发表于 2016-4-30 20:35
我们知道三维中的锥体，设从锥体顶点到任意一个平行底面的截面距离为x，锥体高度为h，底面为S，
截面和 ...

数学真奇妙，只是没学过定积分好像不是很理解......
请教个问题，一维度量是什么？

作者: 至尊达哥 时间: 2016-5-1 10:12:27

乌木发表于 2016-4-29 19:24
我的思路是，
一维中，只能给出一根长度为a的线段；
二维中，线段两端同向垂直“生长”两根长度为a的线 ...

看明白了，是这样的。

作者: hubo5563 时间: 2016-5-1 11:41:37

本帖最后由 hubo5563 于 2016-5-1 11:43 编辑

至尊达哥发表于 2016-5-1 10:11
数学真奇妙，只是没学过定积分好像不是很理解......
请教个问题，一维度量是什么？

曲面包围的体积、曲线包围的面积等都可以用定积分求。
可量长度的，三角形的高、底边长度、周长等，三维物体的棱，等都是一维度量

作者: 至尊达哥 时间: 2016-5-1 19:07:05

hubo5563 发表于 2016-4-30 20:35
我们知道三维中的锥体，设从锥体顶点到任意一个平行底面的截面距离为x，锥体高度为h，底面为S，
截面和 ...

S(x)/S=（x/h)^2 其中S(x)是距离顶点为x的截面积。
S(x)=S/h^2*x^2=k*x^2;

S(x)=S/h^2*x^2=k*x^2;这个好像有点问题，里面的"/"应该为"*"，因为它是由S(x)/S=（x/h)^2通过移项得到的。
后面的V(x)=V/h^3*x^3也是的。
另外建议一下，把四维体积的表示符号改为A，免得和三维体积V混淆

作者: hubo5563 时间: 2016-5-1 20:59:52

至尊达哥发表于 2016-5-1 19:07
S(x)=S/h^2*x^2=k*x^2;这个好像有点问题，里面的"/"应该为"*"，因为它是由S(x)/S=（x/h)^2通过移项得到 ...

没错呀，S(x)/S=（x/h)^2 两边同乘以常数S，化简就是
S(x)=S/h^2*x^2

作者: 至尊达哥 时间: 2016-5-1 21:12:01

hubo5563 发表于 2016-5-1 20:59
没错呀，S(x)/S=（x/h)^2 两边同乘以常数S，化简就是
S(x)=S/h^2*x^2

S(x)/S=（x/h)^2
S(x)/S*S=（x/h)^2 *S（左边式子中的S可以约分）
S(x)=（x/h)^2 *S
S(x)=S*h^2*x^2

作者: honglei 时间: 2016-5-1 22:13:52

schuma对这个东西好像挺有研究，看他有没有时间来看一下。

作者: 乌木 时间: 2016-5-2 07:20:32

至尊达哥发表于 2016-5-1 21:12
S(x)/S=（x/h)^2
S(x)/S*S=（x/h)^2 *S（左边式子中的S可以约分）
S(x)=（x/h)^2 *S

胡老师没错，你算错了。
从S(x)=（x/h)^2 *S，应该得到S(x)=S/h^2*x^2，而不是你的S(x)=S*h^2*x^2 。

作者: 乌木 时间: 2016-5-2 07:22:33

hubo5563 发表于 2016-4-30 20:35
我们知道三维中的锥体，设从锥体顶点到任意一个平行底面的截面距离为x，锥体高度为h，底面为S，
截面和 ...

谢谢胡老师的详细解答。

作者: 至尊达哥 时间: 2016-5-2 15:41:17

乌木发表于 2016-5-2 07:20
胡老师没错，你算错了。
从S(x)=（x/h)^2 *S，应该得到S(x)=S/h^2*x^2，而不是你的S(x)=S*h^2*x^2 。

在纸上用笔写了一遍，才发现我是真算错了......
电脑上的符号表示不习惯。

作者: 至尊达哥 时间: 2016-5-2 15:42:19

honglei 发表于 2016-5-1 22:13
schuma对这个东西好像挺有研究，看他有没有时间来看一下。

期待schuma大神回归。

作者: 双子流星 时间: 2016-5-2 19:20:14

hubo5563 发表于 2016-5-1 11:41
曲面包围的体积、曲线包围的面积等都可以用定积分求。
可量长度的，三角形的高、底边长度、周长等，三 ...

体积如何用定积分来求？？？

作者: hubo5563 时间: 2016-5-3 17:02:35

体积.JPG

附件: 体积.JPG (2016-5-3 17:02:10, 46.82 KB) / 下载次数 68
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作者: hubo5563 时间: 2016-5-3 17:03:47

双子流星发表于 2016-5-2 19:20
体积如何用定积分来求？？？

回复不能添加图片，请看上楼。

作者: TCBiang 时间: 2016-9-11 14:06:45

这题目可能是无解的，因为一个四面体四个面的面积比加上四面体的体积无法确定这个四面体的形状，内切球的半径也就无法确定，后面的也就没法算了。

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