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标题: 不等阶魔方的状态数 [打印本页]
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-24 19:13:14     标题: 不等阶魔方的状态数

已知的不等阶有很多种类，且玩法各不相同，这里面又有一个数学问题——状态数。
有些不等阶能够变形，我一直不知道状态数是怎么算的，所以发个帖子请教。
首先说说3x3x5的状态数，它在解法上就是3阶魔方加了两层，具体算法见下图，有什么问题欢迎提出。
335.png
这张图来自中文维基百科。https://zh.wikipedia.org/wiki/3x3x5魔術方塊
我看了一下，图中第三行不太明白，所谓“剩下的边块”是哪个？为什么要这样算？

附件: 335.png (2016-8-24 19:08:32, 32.95 KB) / 下载次数 81
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDE4fGI5MjRkZWQwfDE3MzI5NTg5ODh8MHww
作者: 乌木    时间: 2016-8-24 19:36:33

本帖最后由 乌木 于 2016-8-27 17:14 编辑

其中的“剩下的边块”是否指第二、第四层的八个心块？
它把第二、第四层的、在长方体棱上的块叫作（第二、第四层的）“角块”，因而就把“剩下的”叫作（第二、第四层的）“边块”了。
同色的两个交换不交换一个样，合并统计为一个态。
有四对同色的这种块，所以，这八个块的变化数就是
8！/（2x2x2x2）＝ 8！/ (2^4)

此外，非全功能的335，八个角块好像只有位置变化，没有色向变化，所以1楼的计算中，八个角块的色向变化数3^8/3就有问题了。对吗？
作者: mofang0    时间: 2016-8-24 19:37:31

顶！好贴！            
作者: redcarrot    时间: 2016-8-24 22:55:33

本帖最后由 redcarrot 于 2016-8-24 23:00 编辑

其实很多魔方的状态数都能在Jaap's puzzle page 上面找到。
335倒是没看到，看到了334的http://www.jaapsch.net/puzzles/cube334.htm，更复杂的345和446也有分析。
支持乌木老师的解释~

自己考虑这个问题的时候疏忽了没有意识到中层的棱块有一样的。。。

形状变化可以理解为正常打乱之后叠加上能变化色向的块的色向变化，直接乘上就好了。楼主给出的这种先把能当做一个整体的部分解决掉的方法也是非常不错的。
作者: qinyaoxi    时间: 2016-8-25 09:56:41

我连三阶魔方的都不懂……
作者: 黑白子    时间: 2016-8-25 11:05:37

没看到图片，链接也打不开。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-25 19:15:31

角块和棱块有色向变化吗?
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-25 19:55:57

乌木 发表于 2016-8-24 19:36
其中的“剩下的边块”是否指第二、第四层的八个心块？
它把第二、第四层的、在长方体棱上的块叫作（第二、 ...

明白了，谢谢，那么3x4x5有什么办法算呢？
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-25 20:04:35

本帖最后由 至尊达哥 于 2016-8-25 20:17 编辑
redcarrot 发表于 2016-8-24 22:55
其实很多魔方的状态数都能在Jaap's puzzle page 上面找到。
335倒是没看到，看到了334的http://www.jaapsc ...


看了一下网站，才感到自己英语根本不过关，生词太多了......不知道能不能介绍一下内容..
形状变化可以理解为正常打乱之后叠加上能变化色向的块的色向变化，直接乘上就好了。

如果有些是发生交换的块该如何计算？
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-25 20:05:57

黑白子 发表于 2016-8-25 11:05
没看到图片，链接也打不开。

图片是正常的，你再看看。链接要翻墙上去。
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-25 20:08:43

黑白子 发表于 2016-8-25 19:15
角块和棱块有色向变化吗?

335都有，所以可以以3阶状态数为基础来计算335的。
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-25 20:20:24

本帖最后由 至尊达哥 于 2016-8-25 20:22 编辑
qinyaoxi 发表于 2016-8-25 09:56
我连三阶魔方的都不懂……


关于这个在百度百科上有介绍，你可以看看。
但是中文维基百科更详细，不过要翻墙......
作者: 乌木    时间: 2016-8-26 05:33:49

至尊达哥 发表于 2016-8-25 19:55
明白了，谢谢，那么3x4x5有什么办法算呢？

其实我不会算这些，那个335的还是看了1楼你的介绍才明白。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-26 08:47:57

至尊达哥 发表于 2016-8-25 20:05
图片是正常的，你再看看。链接要翻墙上去。


我一开始以为是335魔方的图片，后来才知道你说的图片是下面的计算公式。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-26 09:04:11

本帖最后由 黑白子 于 2016-8-26 09:09 编辑
至尊达哥 发表于 2016-8-25 20:08
335都有，所以可以以3阶状态数为基础来计算335的。


335.webp.jpg

335.4.jpg

335.2.webp.jpg

这三种形式的335魔方状态数相同吗？角块和棱块都有色向变化吗？为什么？计算原理是什么

问一下，翻墙用软件吗？


附件: 335.2.webp.jpg (2016-8-26 08:59:45, 6.83 KB) / 下载次数 36
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDIzfGE2YWE4MDE2fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 335.webp.jpg (2016-8-26 08:59:21, 11.14 KB) / 下载次数 38
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDIyfGRmNDNiNGYyfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 335.4.jpg (2016-8-26 09:09:03, 56.66 KB) / 下载次数 38
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDI1fGU3NjU5Yjc3fDE3MzI5NTg5ODh8MHww
作者: redcarrot    时间: 2016-8-26 12:09:32

至尊达哥 发表于 2016-8-25 20:04
看了一下网站，才感到自己英语根本不过关，生词太多了......不知道能不能介绍一下内容..

如果有些是 ...

那个网站上的内容很多。
主页是http://www.jaapsch.net/puzzles/，下面三列中左列上方、中间一列和右列下方都是不同的魔方或者其他的puzzle的介绍页面，点进去之后有简介，状态数计算和魔方的解法。主页左下是一些魔方的程序，右上是魔方理论文章。

另一个问题，色向和位置本身是独立不相关的，可以理解成先交换位置后再单独地考虑色向变化。
作者: L08    时间: 2016-8-26 12:21:51

不懂!以不变应万变!能还原就好!
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-26 14:18:31

本帖最后由 至尊达哥 于 2016-8-26 14:25 编辑
黑白子 发表于 2016-8-26 09:04
这三种形式的335魔方状态数相同吗？角块和棱块都有色向变化吗？为什么？计算原理是什么

...


相同，也有色向变化，因为它们都是等价的，1楼的计算原理就是以三阶的状态数为基础，再加上多出来的两层的状态数，就是335的状态数。
翻墙软件见附件（要全部下载到同一目录下并解压）。

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part28.rar (2016-8-26 14:24:48, 280.73 KB) / 下载次数 5
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDU2fDQxOTYxM2NifDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part27.rar (2016-8-26 14:24:47, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDU1fDU4MDAzOTc1fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part26.rar (2016-8-26 14:24:45, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDU0fDkwMmEyNmJjfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part25.rar (2016-8-26 14:24:44, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDUzfGI4NzAzN2M4fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part24.rar (2016-8-26 14:24:43, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDUyfDVlZTc2ZjkxfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part23.rar (2016-8-26 14:24:42, 374 KB) / 下载次数 2
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附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part22.rar (2016-8-26 14:24:40, 374 KB) / 下载次数 2
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附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part20.rar (2016-8-26 14:24:38, 374 KB) / 下载次数 2
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附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part18.rar (2016-8-26 14:24:35, 374 KB) / 下载次数 3
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http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDQyfDJlYWM0MmQyfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part13.rar (2016-8-26 14:24:29, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDQxfGY3YzgwZmMzfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

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http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDQwfGZkYTdjMWM1fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

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http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDM5fDkwYWRhOGYwfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part10.rar (2016-8-26 14:24:24, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDM4fDc0ZTIxZTA3fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part09.rar (2016-8-26 14:24:23, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDM3fDlhNmY0MTFkfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part08.rar (2016-8-26 14:24:21, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDM2fGI2Zjc3M2YzfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part07.rar (2016-8-26 14:24:20, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDM1fDMyZjQzMDdmfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part06.rar (2016-8-26 14:24:19, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDM0fDZhMWVkMjA1fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part05.rar (2016-8-26 14:24:18, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDMzfDI2Nzk2ZWEwfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part04.rar (2016-8-26 14:24:16, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDMyfDY1NjZhNDg5fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part03.rar (2016-8-26 14:24:15, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDMxfGJmODMzZTk4fDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part02.rar (2016-8-26 14:24:14, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDMwfDYzMmM5YWQxfDE3MzI5NTg5ODh8MHww

附件: 最新(电脑版和安卓手机版).part01.rar (2016-8-26 14:24:12, 374 KB) / 下载次数 2
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU4MDI5fDc3NDBlOTU4fDE3MzI5NTg5ODh8MHww
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-26 14:19:44

redcarrot 发表于 2016-8-26 12:09
那个网站上的内容很多。
主页是http://www.jaapsch.net/puzzles/，下面三列中左列上方、中间一列和右列下 ...

其实我发现了另一种方法，网址最后面是不等阶魔方的数字，把数字改一下就是要看的魔方了。。。
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-26 14:20:16

L08 发表于 2016-8-26 12:21
不懂!以不变应万变!能还原就好!

我也不懂，但我喜欢研究难题。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-26 16:21:35

本帖最后由 黑白子 于 2016-8-26 16:36 编辑

前两种我今天买到了，最后一种我没买到。感觉还是有区别的。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-26 16:39:59

至尊达哥 发表于 2016-8-26 14:18
相同，也有色向变化，因为它们都是等价的，1楼的计算原理就是以三阶的状态数为基础，再加上多出来的两层 ...

我多次试验，也无法使角块旋转而不影响其它块。
作者: 至尊达哥    时间: 2016-8-26 20:06:07

黑白子 发表于 2016-8-26 16:39
我多次试验，也无法使角块旋转而不影响其它块。


就做个三阶魔方两角单翻的公式就可以了。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-26 20:17:46

至尊达哥 发表于 2016-8-26 20:06
就做个三阶魔方两角单翻的公式就可以了。

你给出公式吧。动画演示也行。
作者: redcarrot    时间: 2016-8-27 15:46:00

黑白子 发表于 2016-8-26 20:17
你给出公式吧。动画演示也行。

[FMNjava=450,400]
[param=bgcolor]f3a0e2[/param]
[param=butbgcolor]99d658[/param]
[param=Speed]10[/param]
[param=MFfengex]1,1,1,1,1;[/param]
[param=MFfengey]1,1,1;[/param]
[param=MFfengez]1,1,1;[/param]
[param=bianshuxing]N[/param]
[param=script]D';R';D;R';D';R2;D;U;R;U';R;U;R2;U';[/param]
[/FMNjava]
作者: 乌木    时间: 2016-8-27 16:18:51

如果335的角块无法就地翻转，则1楼的计算就不对了（1楼计算中1、3、5层当作一个三阶，八个角块的色向变化数为3^8/3 ），显然有问题。
作者: 乌木    时间: 2016-8-27 16:30:25

黑白子 发表于 2016-8-26 16:39
我多次试验，也无法使角块旋转而不影响其它块。

如果335的角块无法就地翻转，则1楼的计算就不对了（1楼计算中1、3、5层当作一个三阶，八个角块的色向变化数为3^8/3 ），显然有问题。
此外，我在非全功能的335的胡波java助手上初步试试，多次随机打乱的结果，八个角块都是只有位置变化，没有色向变化的，这同样表明1楼的角块色向数的计算有问题。
对吗？
作者: redcarrot    时间: 2016-8-27 17:42:57

本帖最后由 redcarrot 于 2016-8-27 17:46 编辑
乌木 发表于 2016-8-27 16:30
如果335的角块无法就地翻转，则1楼的计算就不对了（1楼计算中1、3、5层当作一个三阶，八个角块的色向变化 ...


乌木老师，那个计算里面所谓的角块色向翻转是我在25楼中java演示的两层整体翻转。1楼给出的计算确实是算的全功能的。

如果是非全功能的话，那外层的三阶和<R2,L2,F2,B2,U,D>生成的三是一样的，角块色向不会变化。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-27 19:33:10

redcarrot 发表于 2016-8-27 15:46
[FMNjava=450,400]
f3a0e2[/param]
99d658[/param]

四个块发生翻转,与3阶的2个角块独立翻转不一样。即角块的翻转不得不影响其它块。同理，外层3×3面的棱块也是4个一起翻转。和3阶的2棱块独立翻转也不同。  中层3×3棱块可2个同时翻转不影响其它块。
作者: 黑白子    时间: 2016-8-27 19:35:46

角块、棱块可原地翻转，但不是独立的，这样对上面的计算方法算有没有影响？
作者: 黑白子    时间: 2016-8-27 20:03:46

redcarrot 发表于 2016-8-27 17:42
乌木老师，那个计算里面所谓的角块色向翻转是我在25楼中java演示的两层整体翻转。1楼给出的计算确实是算 ...

既然是整体翻转，那么，计算状态数时，位置是否重复计算了？
作者: 乌木    时间: 2016-8-27 20:46:45

本帖最后由 乌木 于 2016-8-27 20:55 编辑
redcarrot 发表于 2016-8-27 17:42
乌木老师，那个计算里面所谓的角块色向翻转是我在25楼中java演示的两层整体翻转。1楼给出的计算确实是算 ...


哦。
那么，1楼对第二、第四层的“角块”仅计算位置变化（8！），没计算其翻转。而你的java图中它有这种特殊的“翻转”（比如第二层的红白“角块”就地180°翻转后再来一次90°翻转），应该也是状态变化，1楼却没有考虑。

第二层的“角块”一会儿算一个块（1楼说其位置变化数为8！），一会儿又算第一层角块的附属块整体一起翻转。

这样，1楼的计算还对不对？

还有，如果说1楼计算的是全功能335，那么，25楼java图第一步D'后的状态（即3x5面转一个90°），有关各块的位置变化和色向变化，1楼是否计算进去了呢？
作者: 乌木    时间: 2016-8-27 21:32:06

本帖最后由 乌木 于 2016-8-28 08:57 编辑

此外，25楼公式的结果，就是五阶魔方去掉顶底前后四个表层后做类似公式的结果：
[FMNjava=450,400]
[param=MFfengez]1,1,1;[/param]
[param=MFfengey]1,1,1;[/param]
[param=MFfengex]1,1,1,1,1;[/param]
[param=bianshuxing]N[/param]
[param=Speed]10[/param]
[param=Script]D';R';D;R';D';R2;D;U;R;U';R;U;R2;U';[/param]
[param=butbgcolor]99d658[/param]
[param=bgcolor]f3a0e2[/param]
[/FMNjava] [KBMFjava=450,400]
[param=MFlength]5[/param]
[param=MFwidth]5[/param]
[param=MFheight]5[/param]
[param=Speed]10[/param]
[param=Script]12D';12R';12D;12R';12D';12R2;12D;12U;12R;12U';12R;12U;12R2;12U';[/param]
[param=bgcolor]f3a0e2[/param]
[param=butbgcolor]99d658[/param]
[param=FaceU]ccccc111111111111111ccccc[/param]
[param=FaceF]ccccc222222222222222ccccc[/param]
[param=FaceL]cccccc333cc333cc333cccccc[/param]
[param=FaceB]ccccc444444444444444ccccc[/param]
[param=FaceR]cccccc555cc555cc555cccccc[/param]
[param=FaceD]ccccc666666666666666ccccc[/param]
[/KBMFjava]
右图顶底前后的表面颜色以及终态右面的白黄色都退入内层（但终态顶面的绿色不下退），就和左图一样了。
或许，左图的“两个块整体一起翻转”原因就如右图所示，左图的“整体两块”就是右图那“2x2x2”大角块的1/4部分。
还有，右图结果就是五阶魔方的另一种三阶模式的两个（2x2x2）“大角块”一顺一逆翻转，有关公式不少，应该都可以套用到335上去。
作者: yeah    时间: 2016-8-27 22:34:09

变化其实很好懂



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