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标题: 节选Inside Rubik's Cube and Beyond中的一点内容 [打印本页]

作者: Cielo 时间: 2008-7-3 19:17:43 标题: 节选Inside Rubik's Cube and Beyond中的一点内容

2.6 Special Subgroups
The subgroup structure of Rubik’s group G is extremely varied.
The easiest way, for the present, is to find all the cyclicsubgroups of G. A group is called cyclic,if it is generated by one single element. Since every finite cyclic group of the order n is isomorphic to C[sub]n[/sub] (Example2.2.2) and every infinite cyclic group is isomorphic to the additive group of integers (Example 2.2.1) we already know the structure of all cyclic groups. By the order of an element a of a group A we mean the order of the cyclic subgroup generated by a. In the case of a finite group this is the smallest natural number n with a[sup]n[/sup] = e (neutral element). For Rubik’s group the order of all the elements can be immediately read off the cyclic decomposition: It is the least common multiple of the cycle lengths multiplied by 3 (twisting corner cycles),or by 2 (reorienting edge cycles), or by 1 (orientation-preserving cycles).There exist precisely 73 different orders and maximum order is 2·2·3·3·5·7 = 1260. The following short maneuver for an operation of this order has been found by J. B. Butler:
RU2D’BD’ (5) ->(-ufl, lbu, rfu)(+ubr,fdl,dfr,rbd,ldb)
 (+uf,lb, dr, fr, ul, ur, bu)(+dl, rb)(df, db)
By the way, 1260 is also the maximum orderin the group G\bar, and here a maneuver with one single layer move is already sufficient:
RCu (1) ->(+ufl, ulb,ubr, rdf)(+urf)(+dlf, dbl, drb)
 (+uf,ul, ub, ur, rf)(+df, fl, fb, dr, lf, bl, rb)
 (f,l, b, r)
In general, we are particularly interested in subgroups defined by either the requirement not to move certain cubies, or to move them only in a restricted way, or by a restriction to certain moves or maneuvers. It follows from the second law of cubology (Theorem 2.4.3) that the structure of the subgroup of all possible operations which leave a certain subset C of the set of all corner cubies and acertain subset E of the set of alledge cubies untouched (elementwise fixed), does not depend on the location but only on the number of the corner and edge cubies remaining untouched. With c := 8 - |C| and e := 12 - |E|, such a subgroup has the order (c!e!3[sup]c[/sup]2[sup]e[/sup])/12. As an example of asubgroup defined by a restriction to certain moves, we look at the “squaregroup” <<R2, L2, F2, B2,U2, D2>> generated by the operations of the six squaremoves R2, L2, F2, B2,U2, D2. (The inner brackets are supposed to indicate thetransition from the maneuvers to the operations, i.e. the homomorphism π, while the outer brackets indicate the transition to the generatedsubgroup). As already frequently done, we identify every operation g with the position I[sub]p[/sub]g, which is obtained by applying g to the start position I[sub]p[/sub].We call a cubie red or blue etc., if one of its color tiles is red or blue etc.Colors sitting opposite each other in the start position are called “countercolors”.

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-4-14 20:04 编辑 ]

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-7-3 19:42:37

不好意思,我认不得啊,怎么办

作者: yzl-34 时间: 2008-7-3 19:47:36

全是英文！！！！看不懂

作者: Cielo 时间: 2008-7-3 19:48:05

我这里暂时只翻译了前面一点内容：
2.6 特殊子群
三阶魔方群G的子群的结构是多种多样的。
现在看来，研究G的子群的最简单方法，就是去寻找所有的G的循环子群。一个群，如果是由单独一个元素生成的，就称它为循环的。任意一个n阶有限循环群都同构于C[sub]n[/sub]（见例2.2.2），任意一个无限循环群都同构于整数的加法群（例2.2.1），这样我们已经知道了所有循环群的结构。而群A中的一个元素a的阶，定义为这个元素a生成的子群的阶。在有限群的情况下，a的阶n是满足下面这个式子的最小的自然数：a[sup]n[/sup] = e（这里e是群的单位元）。对于三阶魔方群，其任意一个元素的阶可以方便地通过分解为若干循环而看出来：它就是下面这些数的最小公倍数，即循环的长度乘以3（如果该循环整体效果包含了角块的扭转）、或者乘以2（如果该循环整体效果包含了棱块的翻转）、或者乘以1（如果该循环保持色向）。一共有73种不同的阶，而其中最大的阶是2•2•3•3•5•7 = 1260。下面这个1260阶的操作是J. B. Butler发现的：
RU2D’BD’ (5) -> (-ufl, lbu, rfu)(+ubr,fdl,dfr,rbd,ldb)
 (+uf, lb, dr, fr, ul, ur, bu)(+dl, rb)(df, db)
顺便说一句，1260也是群G\bar（原书中是G上方加一个横线，但我不会用word打出那个符号）的元素的最大阶，而且这里有个策略只动了一层就足够使阶为1260了：
RCu (1) -> (+ufl, ulb, ubr, rdf)(+urf)(+dlf, dbl, drb)
 (+uf, ul, ub, ur, rf)(+df, fl, fb, dr, lf, bl, rb)
 (f, l, b, r)
总体说来，我们特别感兴趣的是有下面若干限制的子群，比如规定了不能动哪些块或者只能动哪些块。

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感谢楼下乌木先生指出了我打错的地方，已改正！

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-4-14 20:11 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-3 20:21:54

这个循环(+df, fl, fb, dr, lf, bl, rb）打字打错否？fl就是lf，重复了，应该是棱块ld；还有，没有fb这种棱块的，应是db棱块。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-7-3 20:22:49

太专业了

作者: Cielo 时间: 2008-7-3 20:24:44

Theorem 3 (“second law of cubology”). An operation is possible, if and only if the following three conditions are fulfilled:
(a) The total number of cycles of even length (corner and edge cycles) is even.
(b) The number of right-twisting corner cycles is equal to the number of letf-twisting corner cycles modulo 3.
(c) The number of reorienting edge cycles is even.
定理3（“魔方学第二定律”）一个操作①是可能的，当且仅当下面三条同时满足：
一、所有的长度为偶数的环（包括偶数角块环和偶数棱块环）的个数是偶数，
二、效果为顺时针扭转的角块环的个数与效果为逆时针扭转的角块环的个数相等，
三、被翻转了的棱块的个数是偶数。
<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: Calibri; mso-hansi-font-family: Calibri; mso-bidi-font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">注①：这里的“操作”不是我们常说的某个公式，而是指某个公式所引起的块的位置和方向的变化。原书中代表“公式”是这个词“<SPAN lang=EN-US style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: Calibri; mso-bidi-font-size: 11.0pt; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">maneuver<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: Calibri; mso-hansi-font-family: Calibri; mso-bidi-font-size: 11.0pt; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA">”。
 
忍大师的N阶定律说的也是同一个意思。

作者: Cielo 时间: 2008-7-3 20:36:00

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原帖由 kexin_xiao 于 2008-7-3 20:22 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=175044&ptid=10779" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 太专业了<IMG alt= src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17"> <IMG alt= src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10">

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>有时间的话我会再多翻译一点内容，尽管翻译得不好，肯定有很多不准确的地方……
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>我觉得这本书里写这些数学中群论中的术语其实没必要，我最近在看这本书，但到现在也没看多少，看里面定理的证明也没有用到很多数学的东西，毕竟是二十多年前的书了<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10"> 
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作者: 乌木 时间: 2008-7-3 20:57:24

太谢谢了，我们这些半吊子受益匪浅啊！

作者: pengw 时间: 2008-7-3 20:57:45

没有见到什么新东西，关于变换方面的表达，甚至可以用小学生都会的方法和证明去做。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-7-3 20:59 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-7-3 21:01:47

更没有看到超越1980的循环，也许老外的方法根本不能预言这个值，我只是用很简单的方法就找出了1980这个循环周期，甚至可以预言任何周期是否可能存在，老外的方法行吗？不怕术语惊人，要看到底能发挥多大的作用，是驴是马还要靠溜。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-7-3 21:06 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-3 21:14:11

1楼中的公式R Cu就是R CU，周期为1260（纯色、全色都是1260）；（R CU）4 ＝ R B L F，而 R B L F 的周期为315（纯色）或1260（全色）。
 
可见，中心块簇动与不动，有时既有区别，又有及其精准简单的联系！

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-3 21:21 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-7-3 21:19:27

不用迷信高深的群论，没有理由不信任我们自已的更为简单更为有效的判断方法，老外没有找出的，我们也找出来了，外国的月亮不见得更亮

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-7-3 21:26 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-7-3 21:24:18

12楼的问题很好解释，1260即是纯色（15，9，7，4，2，2）也是全色15，9，7，4，2，2，4，4）的最小公倍数。不清楚老外是如何面对这样的问题，可能没有想到。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-7-3 21:25 编辑 ]

作者: 大烟头 时间: 2008-7-3 22:54:39

多了解点知识也不错，魔方就那一点规律，有能力的人研究出来的应该是差不多，希望楼主能多翻译点内容出来交流下。

作者: Cielo 时间: 2008-7-3 23:01:10

呵呵，这本来就是二十几年前的书，当然没有我们所期望的新东西啦。或者甚至可以这样说，我们现在所知道的与这二十几年前的相比，只怕也没多出什么新东西吧。
 
此外当然也不能保证这书上写的就都对，所以不存在外国的月亮圆的问题。
 
我个人的感觉也是根本不用扯上那么多群论的术语，基本原理只是一些排列组合而已。
 
我还是再多看看这书，看它到底讲清楚了什么吧。

作者: pengw 时间: 2008-7-4 07:51:39

我们自搞出来的理论N阶通用，适用于N阶一切状态相关的问题，老外的东西可能仅限于三阶纯色的不完全理论，所以就连三阶的最大周期也不能正确预言，小瞧自已的人永远也长不大。

作者: pengw 时间: 2008-7-4 07:55:07

现在唯一的问题就是最没有实用价值的最小步问题，即是搞清楚了，又有什么手玩的意义？而状态理论能全方位地指导你的操作过程。谁不信，就找出几个（当然不是最小步）状态理论无法处理的问题。

作者: pengw 时间: 2008-7-4 07:59:03

N阶定律不仅可以正确预言三阶最大公式循周期，还能预言N阶最大公式循环周期，有谁不相信吗？摆在眼前的东西，N年前就自已搞出来了，现在才有人意识到须要这些东西，看来，仅仅去练习指关节的灵活度是不能增加多少见识的。

作者: pengw 时间: 2008-7-4 08:04:19

魔方变换规律显然也不是那些搞结构的人理解的那样初浅，要不然早就有人成套成系统出台了，其中的原理又有多少人深究过，动不动就拿着群论压死自已的想像力，主动将自已沦落成一个技巧性杂技演员，魔方的内含仅仅是这样？这就是玩魔方的目标？可悲

作者: pengw 时间: 2008-7-4 08:08:08

老是将搞理论的人想象成闭门造车，他们跟你们走过所有同样的阶段，只是动脱离得很早，因为没有总结的简单重复一般适用于机械去完成。

作者: pengw 时间: 2008-7-4 08:14:52

不是谁愿意跟谁争吵，在铁的事实面前，有些人还要睁眼说瞎说，胡言乱语，这种人有什么资格玩魔方，完全就是自已讨骂。

什么整体转动改变魔方状态，相信这一点的人，如同相信自已一转身就不是人了，傻子都懂的常识，竞然被一些玩魔方的人接受，完全没有语言评价了。

作者: pengw 时间: 2008-7-4 08:27:41

吧里又不止一个魔方理论，建议有异议的人，去细读GGGLGQ关于最小步的循环变换理论，读完全后再细述自已的感受，再找一个魔方去验证其中每一句高论，我可以预言：你读懂了什么也做不了，你没读懂，大师会说你的水平太次，总之一切问题都是你的，哈哈哈。。。
 
我为什么要说这么多？看着别人跳坑，有时也很有趣嘛，真是多事。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-7-4 08:30 编辑 ]

作者: ocp 时间: 2008-7-4 08:36:00

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: bbshanwei 时间: 2008-7-4 18:53:12

还是翻译过来的好，英文原文的看不懂啊。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-7-4 20:00:48

期待LZ更多的翻译,大家一起研究

作者: hqjer 时间: 2008-7-5 18:58:16

好高深啊要怎么学习魔方理论呢？

作者: Cielo 时间: 2008-7-6 16:52:38

原帖由 hqjer 于 2008-7-5 18:58 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=176535&ptid=10779" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 好高深啊要怎么学习魔方理论呢？

我觉得你可以先看看理论区早些时候的帖子，就从理论区最后几页开始看吧<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
推荐其中pengw、邱志红、rongduo等人的帖子，当然其他作者的帖子也值得一看。

作者: 黑白子 时间: 2013-9-3 09:26:55

Cielo 发表于 2008-7-3 20:24
Theorem 3 (“second law of cubology”). An operation is possible, if and only if the following three ...

由于某种原因，有点乱了，能否在整理一下。另外，原书的名字叫什么？有中文版的吗？

作者: 黑白子 时间: 2016-1-8 13:54:20

Cielo 发表于 2008-7-3 19:48
我这里暂时只翻译了前面一点内容：
2.6 特殊子群
三阶魔方群G的子群的结构是多种多样的。

73种不同的阶都是哪些？

作者: 黑白子 时间: 2016-1-8 13:57:28

Cielo 发表于 2008-7-3 20:24
Theorem 3 (“second law of cubology”). An operation is possible, if and only if the following three ...

魔方学第二定律是什么？魔方学第一定律又是什么内容？这里的帖子乱码了。另外，什么时间把全书翻译成中文？我很是期待。

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