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标题: 与魔方有关的问题 [打印本页]

作者: Cielo 时间: 2008-7-18 22:29:32 标题: 与魔方有关的问题

一个三阶魔方，如果只允许转动U面和R面，问一共能产生多少种不同的角块位置的状态（就是说不考虑角块色向，只考虑位置，有多少种不同的状态）？
 
摘自《Handbook of CUBIK MATH》（作者A.H.Frey, D.Singmaster）习题7.5-1

作者: 乌木 时间: 2008-7-18 23:13:30

如果再加不考虑棱块变化，答案是不是6！＝720 ？如果棱块不许移动，则答案是不是6！/ 2＝360 ？

问题是，我的考虑中没有用到只转U和R这条件，只考虑了5号角和6号角最后不动等，而中间过程是允许动的，也就是不限于转U和R，不知答案是否一样？

那只许转U和R的条件是否属于“捆绑”魔方了？是否影响答案？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

下面g老师的java图失效了，我代为补充于此。

4楼的：
[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=beta]29[/param]
  [param=stickersFront]4,6,6,0,0,6,0,0,6[/param]
  [param=stickersRight]6,6,6,6,6,6,6,6,6[/param]
  [param=stickersDown]0,0,6,0,0,6,0,0,6[/param]
  [param=stickersBack]6,6,4,6,0,0,6,0,0[/param]
  [param=stickersLeft]4,6,4,0,0,0,0,0,0[/param]
  [param=stickersUp]4,6,6,6,6,6,4,6,6[/param]
[/java3]

5楼的：
[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=scrpt]U2 R' U' R' U' R U R U R U[/param]
  [param=beta]29[/param]
[/java3]

6楼的：
[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=beta]29[/param]
  [param=stickersFront]4,3,4,0,0,6,0,0,4[/param]
  [param=stickersRight]4,3,4,6,6,6,4,6,4[/param]
  [param=stickersDown]0,0,4,0,0,6,0,0,4[/param]
  [param=stickersBack]4,3,4,6,0,0,4,0,0[/param]
  [param=stickersLeft]4,3,4,0,0,0,0,0,0[/param]
  [param=stickersUp]4,3,4,3,6,3,4,3,4[/param]
[/java3]

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:44 编辑 ]

作者: bbshanwei 时间: 2008-7-19 00:10:03

一直以来关于魔方的纯理论东西我知道的就是少。

作者: ggglgq 时间: 2008-7-19 05:32:17

         一、单考虑正六面体三阶魔方“角块”的位置状态（不考虑“棱块”）。            此时，除了两个固定的“白角块”不能动外，其他六个自由“角块”   任选两个“排”到两个“蓝角块”的位置，共有 6 × 5 ＝ 30 种排列方法。   令人无奈的是，剩下可怜的四个“角块”只能在右边乖乖地原地“兜圈子”。             

<applet code="ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class" codebase="http://bbs.mf100.org" archive="rubikplayer.jar" width="300" height="300">
<param name="ColorTable" value="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585">
 <param name="scrgptLanguage" value="SupersetENG">
 <param name="stickersFront" value="4,6,6,0,0,6,0,0,6">
 <param name="stickersRight" value="6,6,6,6,6,6,6,6,6">
 <param name="stickersDown" value="0,0,6,0,0,6,0,0,6">
 <param name="stickersBack" value="6,6,4,6,0,0,6,0,0">
 <param name="stickersLeft" value="4,6,4,0,0,0,0,0,0">
 <param name="stickersUp" value="4,6,6,6,6,6,4,6,6">
</applet>

             因此，这种情况 6 个自由“角块”只能产生相对与固定“角块” 的    6 × 5 × 4 ＝ 120 种不同的位置状态。

作者: ggglgq 时间: 2008-7-19 05:33:36

         二、给大家一个正六面体三阶魔方“棱块” 的只允许转动 U 面和 R 面   的“三置换”公式：                 U2R'U'R'U'RURURU     <APPLET codeBase=http://bbs.mf100.org height=300 archive=rubikplayer.jar width=300 code=ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class><PARAM NAME="scrgpt" VALUE="U2R'U'R'U'RURURU"><PARAM NAME="scrgptlanguage" VALUE="SupersetENG"><PARAM NAME="colortable" VALUE="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585"></APPLET>                这种“三置换”公式，可以不破坏正六面体三阶魔方的其他各块，独立   进行正六面体三阶魔方“棱块” 的“三置换”。         其他只允许转动 U 面和 R 面的不同“棱块” 的“三置换”公式，大家   自己可以通过上面的公式进行相似变换（或共轭变换）即可。       

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-7-19 05:35 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-7-19 05:36:25

               三、同时考虑“棱块”的正六面体三阶魔方“角块”的位置状态。               类似上面的“三置换”公式，可以把除了固定的“白块”及“蓝角块”   以外，其他七个自由“棱块”任选四个“排”到四个“黄棱块”的位置，共有    7 × 6 × 5 × 4 ＝ 840 种排列方法。这时，剩下的三个“棱块”也只能做   “三置换”了。        

<applet code="ch.randelshofer.rubik.RubikPlayerApp.class" codebase="http://bbs.mf100.org" archive="rubikplayer.jar" width="300" height="300">
<param name="ColorTable" value="0xf8f8f8,0x00732f,0xff4400,0xffd200,0x003373,0x8c000f,0x858585">
 <param name="scrgptLanguage" value="SupersetENG">
 <param name="stickersFront" value="4,3,4,0,0,6,0,0,4">
 <param name="stickersRight" value="4,3,4,6,6,6,4,6,4">
 <param name="stickersDown" value="0,0,4,0,0,6,0,0,4">
 <param name="stickersBack" value="4,3,4,6,0,0,4,0,0">
 <param name="stickersLeft" value="4,3,4,0,0,0,0,0,0">
 <param name="stickersUp" value="4,3,4,3,6,3,4,3,4">
</applet>
                  从而，相对于某一种正六面体三阶魔方“角块”的位置状态，其他七个   自由“棱块”有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 ＝ 2520 种不同的位置状态。                   因此，同时考虑“棱块”的正六面体三阶魔方“角块”的位置状态有    120 × 2520 ＝ 302400  种不同的方法。              注：以上方法均按题意，不考虑角块色向、棱块色向，只考虑它们的位置。

作者: Cielo 时间: 2008-7-20 09:50:20

这题我也不会做，但根据书最后附的答案，120是正确的！
 
但感觉4楼的理由还不够充分啊！就是说如何证明：当两个蓝角块位是我们已经取定的两块时，余下的4个角块一共只有4种不同的位置状态。

作者: Cielo 时间: 2008-7-20 09:56:29

原帖由 乌木 于 2008-7-18 23:13 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=187267&ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 如果再加不考虑棱块变化，答案是不是6！＝720 ？如果棱块不许移动，则答案是不是6！/ 2＝360 ？   问题是，我的考虑中没有用到只转U和R这条件，只考虑了5号角和6号角最后不动等，而中间过程是允许动的，也就是 ...

原题是不考虑棱块的，但只允许转动U和R确实相当于一个捆绑魔方，所以答案不是720.
 
现在这题就变成证明题了，证明答案是120<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
那本书后面关于这题的答案很详细，我觉得很巧妙。希望大家能找到自己的证明方法！

作者: kexin_xiao 时间: 2008-7-21 12:49:39

这样的问题，我只能说——学习！

作者: ggglgq 时间: 2008-7-23 09:08:08

            楼主的题目，不单单“角块位置”的规律有趣，“棱块位置”的规律也很有趣。         大家可以试着论证。（方法不限，提倡越多越好）

作者: Cielo 时间: 2008-7-25 09:38:32

呵呵我也再考虑一下棱位置的问题。

作者: Cielo 时间: 2008-7-29 23:38:02

因为角块只有120种位置，所以不可能出现两角交换，否则角块有6！= 720种位置。
由于棱块交换与角块交换一定同时发生，所以不会出现两棱交换的情况，所以至多有7！/ 2 = 2520种。
 
另一方面，只用U、R两个面，可以从7个棱块中任选一个放到ul位，
此时，余下的6个棱块中可任选一个放到uf位，
此时，余下的5个棱块中可任选一个放到ub位，
此时，余下的4个棱块中可任选一个放到ur位，
此时，余下的3个棱块只能进行三循环，
所以至少有7*6*5*4*3=2520种。

作者: 乌木 时间: 2008-7-30 11:58:52

但是，下图表明仅仅转U和R完全可以有两棱互换的情况嘛？角块和棱块各有一个偶轮换，没问题。

[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=scrpt]U R U R' U R U2 R' [/param]
  [param=beta]29[/param]
[/java3]

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:13 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-30 15:19:21

类似的如：R' U' R U' R' U2 R U' ；R U R' U R U2 R' U ；R U R U' R U R2 U' ，等。可见，如果说那6个角块不会有两角互换的话，那么还是会转而允许有一个四角轮换，这么一来，棱块就必然随着也有奇数个偶轮换－－实际试试，已经看到棱块有一个二置换，还不止一例。所以，那7！大概不必除以2的吧？

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-30 19:12 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-30 20:09:30

其实，仅仅做了U R U 之后，角块发生了一个6置换，棱块发生了一个5置换和一个2置换－－已经有棱块二置换（2号棱和4号棱互换）了。

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-30 20:35 编辑 ]

作者: chuan1392010 时间: 2008-7-30 20:14:53

只有看的份，一点都不懂！

作者: Cielo 时间: 2008-7-30 22:32:43

原帖由 乌木 于 2008-7-30 15:19 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=197385&ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 类似的如：R' U' R U' R' U2 R U' ；R U R' U R U2 R' U ；R U R U' R U R2 U' ，等。可见，如果说那6个角块不会有两角互换的话，那么还是会转而允许有一个四角轮换，这么一来，棱块就必然随着也有奇数个偶轮换－－实 ...

确实如此，既然可以有对换出现那么就不用除以2了！

作者: 乌木 时间: 2008-7-31 10:03:23

原帖由 Cielo于 2008-7-30 22:32 发表确实如此，既然可以有对换出现那么就不用除以2了！

那么，g老师在6楼说的2520和你说的7!＝5040，哪个对呢？这问题蛮有意思啊。

此外，既然由于限于转U和R，使得6个角块的转出态数从6！＝720降为120，那么，为何同样的限转，7个棱块的转出态数不减少，仍为7！呢？

看看g老师那计算（ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 ＝ 2520 ）还是蛮有道理，如果从7！＝5040出发，再如此这般地去修正；发现问题后又取消修正，但结果5040好像仍有什么问题。是否不要从7！出发计算？

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:18 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-31 12:13:09 标题: 回复 4# 的帖子

4楼g老师说“…………令人无奈的是，剩下可怜的四个‘角块’只能在右边乖乖地原地“兜圈子”。”

不知该如何证明这句话。（我初步搜索了一下“顶层一步式1211”，未见反例，但这决不是证明。）

本来，四个角块在四个位置上的排列数为4！＝24，为什么本题限于转U和R之后，这四个角块就没有了别的位置变化，只余留四个角块整体“兜圈子”的四种位置态了？

魔方局部捆绑之后的有关问题确实蛮有趣啊。

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:20 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-31 15:11:05

再说明一下21楼我的问题。1号角位和2号角位上的实际角块给定之后，并非不能做U动作（否则，只能做R层的动作的话，当然只有R层的四个角块整体“兜圈子”了），而是尽管可以动U和R层，但终态要保持1、2号位上的为给定的角块。那么，为什么终态时R层的四个角块的位置状态还是只有那整体“兜圈子”的四种位置态之一呢？

在题目的条件下，可供调动的角块有6个，棱块有7个。好像只转U和R时，同一层内的棱块可以两棱互换（并另两棱位置不变），同一层内的角块却不能两角互换（并另两角位置不变）。两者的变化性质怎么会如此不同呢？

如果不限转，要让同一层内的角块发生两角互换（并另两角位置不变）是不是非得至少有三个表层转动才行？也就是说，在限转U和R的条件下，是否无法实现同一层内的两角互换（并另两角位置不变）？

不知我说清楚了吗？

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:22 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-31 17:38:36 标题: 回复 23# 的帖子

谢谢。23楼的6个角块的位置态我也做出过。

我的问题是，限用U和R之后，先求得1号角位和2号角位上的角块变化数为 6×5＝30种，接下来，对于1、2号角位上的角块确定为某两个角块（即30种情况的任一种）之后，其余四个在R层的角块，在允许并只许转U和R时，为什么不是4！＝24种位置态，而只有4种位置态？这一点有所证明的话，答案120就得到证明了。

-----------------------------------------------

咦，发表后发现23楼的跟帖没了？！
-----------------------------------------------

我的想法是，如果能证明下图状态在只许转U、R时无法得到的话，那答案120也就得到证明了。

只许转U、R的话可以得到下面的态吗？

[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=beta]29[/param]
  [param=stickersFront]4,6,0,0,0,6,0,0,0[/param]
  [param=stickersRight]1,6,1,6,1,6,1,6,1[/param]
  [param=stickersDown]2,2,2,2,2,6,2,2,2[/param]
  [param=stickersBack]3,6,4,6,3,3,3,3,3[/param]
  [param=stickersLeft]0,6,3,4,4,4,4,4,4[/param]
  [param=stickersUp]5,6,5,6,5,6,5,6,5[/param]
[/java3]

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:54 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-31 18:26:55

换言之，如果能证明在只许转U、R时23楼java 图示态可以得到（或者给出仅仅一个实例）的话，那就表明答案120是错的。

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-31 18:28 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2008-7-31 23:38:07 标题: 回乌木先生

回20楼：注意到lgq老师所说的2520是在角位置固定的条件下来考虑的，也就是说对120种不同的角位置状态中的每一种，都有2520种棱位置状态。
而5040是不考虑角位置的。
 
回21楼：我也不了解“…………令人无奈的是，剩下可怜的四个‘角块’只能在右边乖乖地原地‘兜圈子’”这句话的原因
 
回22楼：变化性质不同的原因，我猜是因为U层与R层虽然各含4个棱块和4个角块，但是两层相交处有2个角块，却只有1个棱块！
 
回23、24楼：不知为什么我看得见第一页中ggglgq的java图，但看不见第三页乌木先生的<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/mad.gif" border=0 smilieid="11"> 
不过那本书上有证明过程，巧妙地证明了确实只有120种。如果大家需要的话，我可以把答案发上来的<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1">

作者: 乌木 时间: 2008-8-1 00:55:46

那么，我把java图重新贴一下，不知你能看到否。图题为“限转U、R的话可以得到此态吗？”

[java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=beta]29[/param]
  [param=stickersFront]4,6,0,0,0,6,0,0,0[/param]
  [param=stickersRight]1,6,1,6,1,6,1,6,1[/param]
  [param=stickersDown]2,2,2,2,2,6,2,2,2[/param]
  [param=stickersBack]3,6,4,6,3,3,3,3,3[/param]
  [param=stickersLeft]0,6,3,4,4,4,4,4,4[/param]
  [param=stickersUp]5,6,5,6,5,6,5,6,5[/param]
[/java3]

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-14 17:58 编辑 ]

作者: popopopolo 时间: 2008-8-1 01:05:23

我用Cube Explorer算到深度25步还算不出来.....期待老师们用理论解决

作者: Cielo 时间: 2008-8-1 10:11:17

看到乌木先生26楼的图了
 
我一开始也是这样想的，但没有证明出来<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10">

作者: wxl5188 时间: 2008-8-1 10:25:00

太难了,但我知道大学时候教我概率的老师肯定能算明白.他实在太牛了!

作者: Cielo 时间: 2008-8-1 10:48:27

原帖由 wxl5188 于 2008-8-1 10:25 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=198881&ptid=11384" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 太难了,但我知道大学时候教我概率的老师肯定能算明白.他实在太牛了!

<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1"> 是啊，这本来就只是一个数学题而已：
 
六个数排成这样236
                         145
左边的23可以顺时针转，右边的36也可以顺时针转，就可以得到126、243之类的排列。
           14                                   45                                             435    156
 
问一共能得到多少种不同的排列？

[ 本帖最后由 Cielo 于 2008-8-1 10:51 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-1 16:51:44

补充一下，照1楼的题意，左边的左边的2314.GIF

等等和右边的

等等都还可以逆时针转90°及转180°。如果不做这补充也可，但要补充说明可以一次连续转任意个90°，再转另一边四个新的数。总之，还是1楼的魔方题目的条件表达得最清楚。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-1 16:57 编辑 ]

附件: 左边的2314.GIF (2008-8-1 16:51:44, 972 Bytes) / 下载次数 45
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjIxODd8YjkwMGVjOWR8MTc0MzcxNDE2MHwwfDA%3D

附件: 右边的3645.GIF (2008-8-1 16:51:44, 970 Bytes) / 下载次数 41
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjIxODh8MGY2N2ZjOTl8MTc0MzcxNDE2MHwwfDA%3D

作者: Cielo 时间: 2008-8-22 11:26:40

原帖由 earthengine 于 2008-8-20 14:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=218718&ptid=12859" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 现在我们来应用这个方法解决乌木提出的问题：LU魔方角块的自由度问题。 LU只不过是两个四轮换而已。但是它们有两个相连的交点。在交点处L和U的转动方向是相反的。所以我们可以据此进行编号L=[1234]，U=[3564]。 第一个节点的固定永远不是问题。因此我们只要关心如何将节点移动到2这个位置。我们能不能找到一个保持1不变的公式，能把3456中的某一个移动到2呢？让我们祭出法宝——相似变换来解决这个问题。因为我们想保持L不变，因此希望寻求U的相似变换。其中最简单的候选也许是(L)(U)(L')了。我们看看它的循环式：
<BLOCKQUOTE>[1234][3564][1432]</BLOCKQUOTE>化简后得到[2563]。成功了！356等位置现在可以都到达位置2了，而1保持不动。还有一个4无法达到。根据相似变换原理，U能把4变走，所以我们再来看看
<BLOCKQUOTE>(U)(L)(U)(L')(U')=[3564][1234][3564][1432][3465]</BLOCKQUOTE>
这个循环式很长，不过化简后就是[2354]。这样2就可以到达位置4了。 ...

也许earthengine 说的是这个问题吧，但我还是不太了解你所说的“自由度”的具体定义。

作者: earthengine 时间: 2008-8-23 19:39:34

原帖由 Cielo 于 2008-8-22 11:26 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=219941&ptid=11384" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

 
也许earthengine 说的是这个问题吧，但我还是不太了解你所说的“自由度”的具体定义。

我说的就是这个没错。基本上，自由度就是说，你能随意确定多少个节点的位置。对于LU来说，我们只能确定其中２个，然后只能剩下一个４轮换。所以它的自由度是３。

作者: Cielo 时间: 2008-9-8 21:42:42

等了这么久也没人给出证明
发一部分书上的答案吧：
与28楼的想法类似，用数字来代表可以动的6个角块，ufl=1，ulb=2，ubr=3，urf=4，dfr=5，drb=6
那么U的效果是（1，2，3，4）（也就是说块1到了位置2，2到了3，3到了4，4到了1），
R的效果是（6，5，4，3）

下面是比较巧妙的一步：我们不只是考虑一个角块，而是考虑由两个角块组成的“角块对”。由于我们已经用数字表示了，所以也就是考虑“数对”：ｉｊ（ｉｊ和ｊｉ表示同一个“角块对”，所以不妨设ｉ<ｊ）

这样一共有6C2=15个“数对”，我们将它们分为5组，每组3个。

但具体怎么分呢？未完待续，这也算是个提示吧，希望大家能继续思考）
——————————————————————————————————————————
论坛改版，已重新编辑格式。

[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:04 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2008-9-13 18:12:36

接着发答案吧：

15个数对分为5组，分别是
A={12，35，46}
B={16，23，45}
C={15，26，34}
D={14，25，36}
E={13，24，56}

现在U使12->23，35->45，46->16，也就是A->B，于此类似可以发现，U实际效果是形成了轮换（A，B，C，D）
而R形成了轮换（B，C，D，E）

也就是说，对于任何一个由U、R形成的公式，它的效果是形成了ABCDE的一个排列。
下面要证明：两个公式X和Y，如果它们形成的两个关于ABCDE的排列相同，那么它们在魔方上产生的效果也是一样的。
（未完待续）
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论坛改版，已重新编辑格式。

[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:05 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2008-9-19 13:40:37

要证明：两个公式X和Y，如果它们形成的两个关于ABCDE的排列相同，那么它们在魔方上产生的效果也是一样的。
实际上就是要证明：如果公式Z将ABCDE的某一个排列仍变回那个排列本身，那么Z实际上没有改变原来所有角块的位置。…………①

下面用反证法，
假设Z将 i 号角块移到 j 号角位，由于ｉｊ下标对（不考虑顺序）必然在ABCDE的某一个中，不妨设为A，
由于Z仍将集合A变为A自身，而ｉ变为ｊ，所以ｉｊ变为ｊｉ；

然后考虑另一个集合B，则B中有ｉｋ和ｊｍ；一定可以找到一个集合，不妨设为C，其中有ｊｋ和ｉｎ，ｎ≠ｍ，这是因为ABCDE的取法决定的。

由于Z仍将集合B变为B自身，而ｉ与ｊ互换，所以ｉｋ与ｊｍ互换，即ｋ与ｍ互换；
类似的，Z仍将集合C变为C自身，而ｉ与ｊ互换，所以ｉn与ｊk互换，即ｎ与ｋ互换；这样得出ｍ＝ｎ，矛盾！则①得证。

这样由于ABCDE这5个集合的排列只有5！=120种，所以至多只有120种状态。

而很早就有回帖说至少120种，所以就正好是120种了。
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[ 本帖最后由 Cielo 于 2011-8-28 22:08 编辑 ]

作者: 焚寂 时间: 2011-8-27 23:39:36

围观一下吧！！！看的一头雾水！！！

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