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标题: 一道题求助 [打印本页]

作者: TZC 时间: 2022-5-10 15:32:35 标题: 一道题求助

求一个多面体（无通孔）面、棱、角的数量关系，并证明

作者: Dan2010 时间: 2022-5-10 23:50:09

百度搜索欧拉公式能找到证明，关系是面数加顶点数减棱数等于二

作者: 假木瓜 时间: 2022-5-11 15:00:02

本帖最后由假木瓜于 2022-5-11 17:21 编辑

印象中高中课本里是把这个问题转化成球面三角的问题来证的。

先把不是三角形的面划分成三角形，由于每增加一条边就增加一个面，所以V-E+F不变。

放一个光源在凸多面体内的一点，再放一个球心在光源处的球面幕布在凸多面体的外面。凸多面体的棱的影子投到幕布上构成这个球面的一个三角剖分。

每条边都在两个三角形上，每个三角形有3条边。
3F=2E

单位球的表面积是4π，任意通过球上的大圆弧定义的球面三角形的三个角的和等于π+球面三角形的面积

计算全部三角形的角的和

(4 + F)π = 2Vπ

后面的你自己算一下就行了。

有些符号打了会消失，头疼。

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