魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 《魅力魔方》中的魔方原理 [打印本页]

作者: 连云港魔友 时间: 3 天前 标题: 《魅力魔方》中的魔方原理

《魅力魔方》是吴鹤龄所著、科学出版社于2009年9月出版的科普图书，属趣味数学丛书。本人认真阅读并总结了书中比较实用的内容，可能有助于理解魔方、理解公式。

1、倒转原理、恒等过程：任何操作序列都可以被撤销，过程X的逆用X'表示。例如过程X=BDRD'的逆X'=DR'D'B'。也就是现在常说的逆序。X和X'是逆序关系，如果先做X再做X'（XX'），对魔方是没有影响的，这种过程称为恒等过程，用I表示（XX'=I）

2、部分倒转原理、共轭过程：在过程X和X'中间插入其他序列Y，那么XYX'过程序列就是共轭过程。这个过程和单纯XX'不同，由于插入了Y，对魔方的块会造成影响，称为部分倒转。这种序列很常见，例如DR'D'、R'FR、RUR'、RU2R'等等。可以用来复原第一层棱块和角块。也就是转换机公式中的交换步骤。

3、等效过程：如果两个过程在魔方上产生的效果一样，那么它们就是等效过程。例如U'=U3；U2LD2L'U2LD2L'=B'D'BU2B'DBU2；同一个pll的不同公式，等等。等效过程的意义在于，某些比较长的公式可以用更短的公式代替，例如用（URU'R'）2代替（RUR'U'）4

4、循环的性质：如果一个过程X是n循环，那么重复做n次X就是恒等过程，对魔方没有影响，Xn=I。n称为循环的长度，也叫过程的阶。例如三循环公式做3次，RUR'U'做6次。任何过程X都有一个固定的n，也就是说任何过程重复若干次一定会变成恒等过程，只是不同过程的n会有不同，例如前面说的3和6。对于FR'这个过程，n=63，而FR的n=105。最大的n=1260，例如RF2B'UB'，这个过程做1260次才能回到初始状态。
关于RF2B'UB'这个过程n=1260的证明：借鉴盲拧读码的方式进行编码，角是EI TO L和AW YB，一个5角循环和一个3角循环，并且这两个循环色相在一次循环中都没有归位。所以这两个循环分别需要做15和9次才能恢复原样。同样的原理，棱是QS OY DJ B、GX H、EM E这三个循环，前两个色相没有归位，第三个归位了，所以它们的阶分别是14、4、2。每个循环是相互独立的，问题转化成求（15,9,14,4,2）的最小公倍数。计算可得这个值为1260。

某些过程在n循环的中间会产生特定的效果，可以利用这种性质复原魔方。例如过程R2U2，在做3次的时候会形成两组棱对换，这可以用来处理第二层棱块。又例如过程URU'R'，在做3次的时候会形成两组角的互换，这是一个常用的f2l公式，或者可以用来改变角位置

5、交换过程：形如XYX'Y'的过程称为交换过程，例如URU'R'，可以简写成[X,Y]。盲拧的很多公式现在也这样表示。URU'R'的交换部分是Z形，称为Z型交换过程；UR'U'R、R'FRF'的交换部分是Y形，称为Y型交换过程。广义上说，任何过程都是交换过程，只是XYX'Y'这种过程影响的块少，实用性更强

6、利用共轭过程由老过程建立新过程：其实就是通过公式变形得到新公式。用这个思路可以推出很多新公式

例1 L'D2LUL'D2LU'是一个8步三循环公式，交换的是（ULB，UFL，FRD）这3个角；而在公式前后加上R'/R，就变成了R'L'D2LUL'D2LU'R，交换的是（ULB，UFL，URF）这3个角，也就是一个顶层三角换公式。这其实就是盲拧里setup和reverse的思路。

例2 M'U2MU2是一个中层三棱换公式；如果在前后加上R2D'/DR2，变成R2D'M'U2MU2DR2，就变成了一个顶层三棱换公式。

例3 （RUR'U'）3是一个分别交换两组角块的公式（ULB和BRU，URF和DFR）；如果在前后加上F/F'，变成F（RUR'U'）3F'，就变成了一个常用的oll/coll公式

例4 FRUR'F'是一个vhf2l的公式；如果在前后加上R'/R，变成R'FRUR'F'R，就变成了另一个vhf2l的公式

7、翻角公式：由于（RUR'U'）2只影响底层的DFR角块色相，因此结合D/D'操作就可以实现两角翻或者三角翻，例如（RUR'U'）2 D（URU'R'）2 D'

8、二生成元群：就是2-gen（two-generator group）转动形成的所有状态，只用RU的公式，例如常用的小鱼、三棱换公式等就属于二生成元群。类似的还有3-gen、4gen等。而5-gen是等价于整个魔方的打乱状态的，或者说只转动魔方的5个面就能形成所有打乱状态，例如用URLFB的转动代替D：RL'F2B2RL'ULR'B2F2LR'=D，R2F2B2L2U2R2F2B2L2=D2

9、置换的奇偶性：对魔方的任何操作过程都产生偶置换，例如三棱换是2次二棱交换；T-perm是一组角对换和一组棱对换（1+1=2）。因此单独二棱换只有可能是装错了，正常复原不会出现这种情况，也不能解决这种情况。另外还有色相的问题，如果棱块有色相错误，那么错误的棱一定是偶数个，不会有单独翻棱的情况；角块的色相一定是一顺一逆，或者三顺/三逆，或者这些情况的叠加，总之扭转的角度之和一定是0°或者360°。说到这可能有人会想到空心、移棱、粽子这些会出现特殊情况的三阶异形，这是因为它们的结构或者形状和普通三阶不一样，因此可能会不符合置换奇偶性的规律。15puzzle也是类似的，如果最后剩下14和15需要单独交换，也是实现不了的。

10、魔方总状态数的计算：(8!*12!)/2*(3^8/3)*(2^12/2)≈4.3*10^19。这个计算公式很经典，就不赘述了，公式里的/2和/3是考虑到排除上面一条说到的不存在的情况。

作者：gczc_04 https://www.bilibili.com/read/cv23507500 出处：bilibili

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)