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标题: [请教]去掉棱块的3阶，角块还原后的状态…… [打印本页]

作者: 大头 时间: 2008-7-31 16:01:40 标题: [请教]去掉棱块的3阶，角块还原后的状态……

去掉棱块的3阶，先不管中心块的状态，把角块用2阶方法还原后，离初始状态的最远状态是几步呢……
换种说法，保持角块的位置和色相不变，只转动3个中间层，最远状态是什么呢……
 
 
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下午突然在想，如果把轴看作一个坐标系而固定不动，让角块运动，那么这个问题我有一些理解了，如果转180度算作2步，那么最远状态是三步么。X+ Y+ Z+ 移动到X- Y- Z- ，1卦限运动到7卦限，这么理解对不对呢
 
那么，另一个问题，这样运动的状态数？

[ 本帖最后由大头于 2008-7-31 17:36 编辑 ]

附件: 3x3.jpg (2008-7-31 16:08:00, 9.05 KB) / 下载次数 157
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjIxMjN8NDRiNDg4YzN8MTc2MjI5MTc0NXwwfDA%3D

作者: kexin_xiao 时间: 2008-7-31 16:24:59

我是学习来的，沙发留给楼下的高手。

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-7-31 16:38:57

还有这样的玩法，晕，第一次听说，让乌木老师来回答吧

作者: Atato 时间: 2008-7-31 17:46:11

为什么不管棱块呢?LZ的意思是中心块运动的最远状态吗?如果是中心块.那么算方向吗?
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我来试着解决最后一个问题.
这样运动的状态数.
我觉得LZ所说的运动只是中心块的运动.
根据P3定律的中棱角推论1: 一个中心块独立转90度,最少导至二个棱块位置互换,二个角块位置互换
那么我们可以使任意一个中心块独立转90度
因为忽略了棱块.
那么这样运动的状态数就是中心块能达到的所有状态数.
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即使算上了中心块的方向.这样运动的状态数还是比中心块的状态数多啊..
 

[ 本帖最后由 Atato 于 2008-8-1 10:34 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-7-31 18:48:36

只看8个角块，不管棱块和中心块的话，不就是二阶吗。二阶的总态数是3674160，到最远态的步数是11步：<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1850&extra=page%3D1" target=_blank>http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1850&extra=page%3D1</A> 。楼主是问的这个吗？
 
至于两个态的“距离”应指两态之间最简捷的转动步数，不是指哪两个魔方块在魔方立方体内最大空间距离吧？
 
此外，我认为，参照系建在魔方上的话，就不应该再旋转参照坐标系。

[ 本帖最后由乌木于 2008-7-31 19:14 编辑 ]

作者: bbshanwei 时间: 2008-7-31 21:15:56

去掉楞快不就是2阶加上中块吗？再说中块纯色的话可以不考虑的。

作者: Atato 时间: 2008-7-31 21:46:54

第二行LZ说的:换种说法，保持角块的位置和色相不变，只转动3个中间层，最远状态是什么呢……
乌木老师和红舞怎么说成了是二阶?
莫非是我理解错了?
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如果是如楼下所说.我同意6#的说法.

[ 本帖最后由 Atato 于 2008-8-1 10:27 编辑 ]

作者: 大头 时间: 2008-8-1 00:53:30

回 Atato 我的意思是，如果把3阶的棱贴纸撕掉。另外我的意思的是一个复原的2阶和中心块的相对位置，不管中心块的方向。呵呵 回乌木老师，我的意思，是把一个复原的2阶加上了6个中心块，然后找这个已经复原的2阶的整体，和这6个中心块之间的相对位置的各种状态，各种状态中，这个“2阶”的8个角块的相对位置始终不变。如果假设图中是初始状态，那么我猜想最远状态是3步，而这个经复原好的2阶和中心轴6块的相对位置的状态数并不大，应该为8，如果要计算中心块旋转可能带来的影响，那又是多少呢……

作者: 大头 时间: 2008-8-1 01:05:38

原帖由 乌木 于 2008-7-31 18:48 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=198397&ptid=11935" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 只看8个角块，不管棱块和中心块的话，不就是二阶吗。二阶的总态数是3674160，到最远态的步数是11步：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1850&extra=page%3D1 。楼主是问的这个吗？   至于两个态的“距 ...

我理解了一点您的意思，我所说距离，的确是指恢复初始状态需要的步数，我觉得应该和您说的相符。
这个命题，是想看看那八个角块，不再作相互之间的位置变化，也就是说，这个“2阶”始终保持“还原”的状态，而研究他们和中心轴上的6块之间的相对位置。
只是我在尝试的这个过程中发现，最远距离恰好可以和空间中的位置相符。大约是3步吧，而总状态数，也大约应该是8吧？
我的确把坐标系建立在了魔方本身，把中心6轴作为坐标系，让8个角块在空间转动，我也并没有旋转这个坐标系。
 
也许一开始我没有理解运动之间的相对性，把问题想的复杂，另外的确学识有限，有的问题，表达不清楚，还请各位谅解。

作者: 大头 时间: 2008-8-1 01:07:43

这样的魔方，或者再引申，去掉角块的3阶，又是一个怎么样的情况呢

作者: 乌木 时间: 2008-8-1 11:21:10

如果不计棱块颜色，中心块组和任一角块组（以复原态的角块组为例子）的相对运动引起的状态数是有24个：
 
 中心块簇运动的情况－3.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-5 11:50 编辑 ]

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作者: 乌木 时间: 2008-8-1 12:53:45

不计角块情况，棱块和中心块的相对运动也是24种状态吧？
 中心块簇运动的情况－4.GIF

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这情况我说也有24态，看来有误，g老师说最远6步，共12态。（<A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?tid=12152&goto=lastpost#lastpost">http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?tid=12152&goto=lastpost#lastpost</A>）  
 
为何不是24而是12，我的初步认识见下面32楼。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-5 17:29 编辑 ]

附件: 中心块簇运动的情况－4.GIF (2008-8-1 12:53:45, 54.63 KB) / 下载次数 86
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作者: 宇枫幽蓝 时间: 2008-8-1 12:57:49

理论！！！！我还是搬椅子坐吧

作者: 乌木 时间: 2008-8-1 13:08:15

不过，角块、棱块都不弄瞎的话，中心块和“角棱框架”的相对运动只有12种状态：
 中心块簇运动的情况－2.GIF

啊，难怪人们老是嚷嚷透明……，公开……，反对暗箱操作……，看来Rubik先生也蛮自律。你们看，11楼把棱块弄瞎了，其中6个“最远态”在本楼中却都是非法态！11楼另有6个一步态，在本楼中也都是非法态！12楼把角块弄灭了，也是这样，6个三步态和6个一步态在本楼中都显原形啦，都是非法态了。（它们在11楼和12楼并不是非法态，因为“暗箱”内有“猫腻”，你看不出而已。）<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> <IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
嗯，本帖话题很有意思，很有意义啊。
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-1 15:02 编辑 ]

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作者: 乌木 时间: 2008-8-2 10:30:05

再来画蛇添足一下，把上面两个图中第二行第一图拉出来分析一下：
 中心块簇运动的情况－5.GIF

右上方的态是转得出的，您可以试试，能否做出。凡一个正确魔方转得出的态，都是合法态。
 
至于下方那态，角块的4个二置换在角块簇内部可以完成复原的；棱块的5个二置换在棱块簇内部可以弄成只剩1个二置换。整个魔方可以变成单单两个棱块要求互换，也可以变成单单两个角块要求互换，您说可能吗？
 
如果哪位舍不得老是拆装自己的宝贝魔方，我可以贴个虚拟错态魔方上来供你折腾，看看能否复原。哪位跟帖要的话，我再贴出。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-2 11:09 编辑 ]

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作者: shifujun 时间: 2008-8-2 12:33:30

疯啦疯啦……看得晕了……

作者: 大头 时间: 2008-8-2 15:53:04

乌木先生的分析非常详细，我也明白了我的想法错误在哪里。

作者: 乌木 时间: 2008-8-2 16:54:26 标题: 回复 17# 的帖子

“大头”不必这么说，我倒觉得你的帖子、你的想法并没错。所谓不计棱块颜色或“撕去”棱块贴纸或在图上涂以灰色，就是随它们发生任何合理的变化，那24个态当然就个个都是可能态。当我把角块、棱块都涂好颜色，就意味着要求终态保持它们为原状，只让中心块有整体变化，这样，就不得不排除一半非法态了。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-2 17:05 编辑 ]

作者: 大头 时间: 2008-8-4 23:03:05

谢谢乌木先生的详细分析。我说“错了”是在思考为什么我只得到了“8”这个错误答案，和您的分析究竟差在哪里。 这种对于处于特殊情况的魔方的分析，我觉得还是很有意思的。

作者: 方块 时间: 2008-8-4 23:08:26 标题: 回复 5# 的帖子

哎..............还是乌木老师专业呀....................多向乌木老师学习.............

作者: 乌木 时间: 2008-8-5 00:52:01 标题: 回复 19# 的帖子

噢，你是说1楼原题的态数，原来你认为是8，而g老师说是24，我具体画画图也是24个。
 
得出8，大概与8个象限的思路有关吧？
 
我上面的图则不考虑8个象限，只是固定8个角块，让三个中层转－－这相当于设想中的中心块组整体旋滚，棱块反正涂灰了，其变化不计，中心块组整体运动的态数应该是24。
 
如果固定中心块组，设想让8个角块（连同棱块一起）整体旋滚，态数也是24，只要把刚才的24个态重新画一下即可。
 
固定中心块组，8个角块整体运动起来，倒确实是在8个象限中布排。运动方式有几种，其中绕三根中心块－－对面中心块轴（所谓X、Y、Z轴）的运动方式的组合数还是24。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-5 01:03 编辑 ]

作者: 大头 时间: 2008-8-5 01:01:40

回乌木先生，我拿组合的这种魔方的实物试验了很多次，并且仔细看了您发的图，发现我的想法问题在哪里。我从初始状态开始，固定坐标系，每一个角块，在它自己的卦限，可以做3种色向的翻转，也就是8x3=24，而我却忽略了这样的色向翻转，于是就得到了8 

[ 本帖最后由大头于 2008-8-5 01:06 编辑 ]

作者: 溪风 时间: 2008-8-5 01:04:53

看着就迷糊，呵呵，观察中。

作者: 大头 时间: 2008-8-5 01:06:20

假设红白绿是三个矢量，之间的角块初始状态如上右，上左和下右都可以把坐标系翻转，可以看到这个块还在原来的卦限，只是翻转了色向。

[ 本帖最后由大头于 2008-8-5 01:07 编辑 ]

附件: la.JPG (2008-8-5 01:06:20, 26.7 KB) / 下载次数 71
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作者: 乌木 时间: 2008-8-5 01:33:02

原帖由 大头 于 2008-8-5 01:01 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=202720&ptid=11935" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 回乌木先生，我拿组合的这种魔方的实物试验了很多次，并且仔细看了您发的图，发现我的想法问题在哪里。我从初始状态开始，固定坐标系，每一个角块，在它自己的卦限，可以做3种色相的翻转，也就是8x3=24，而我却忽略了 ...

这么说法恐怕和1楼的条件不同了，1楼说“保持角块的位置和色向不变”。何况，目前结构的魔方单独翻一个角块的色向是不可能的，8个角块的任何合法状态确定后，为了凑出“24态”，8个角块各自分别再要变色向，是不对的吧？如果改变魔方的机械结构，角块可以独自就地变色向，那就是“8×3＝24”了。但是现有的魔方不行。
 
确定8个角块初态后（包括复原态），只有它们整体旋滚（这也是经过转魔方层而得出的效果，为了方便，也可按照你的方法－－角块不动，只转中层，效果一样），才有24种方位。这24种态是否都合法，取决于棱块是否有相应的合理变化。
 
这种思路下，24的由来应该是：6×4＝24。6是魔方有6个表面，确定某一表面为顶面后，前后左右四个侧面可以依次转到前面，即有四种方位；6个面依次转为顶面，共有6×4＝24个态。

作者: 乌木 时间: 2008-8-5 01:46:29

原帖由 大头 于 2008-8-5 01:06 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=202728&ptid=11935" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 假设红白绿是三个矢量，之间的角块初始状态如上右，上左和下右都可以把坐标系翻转，可以看到这个块还在原来的卦限，只是翻转了色向。 22473

我想，你说的这种运动变掉了，你这是让8个角块整体绕着立方体的“体对角线”的轴的旋转，而此轴是“三次轴”（每次120°），这样，那个角块确实在同一象限内，也确实有三种色向，但是立方体这种轴只有4根，4×3＝12，而且12种角块状态之中还有不少重复状态啊。这种运动引起的态数和8×3无关的。比如某个角块在同一象限内呈现三种色向，它的对面（体对角线的另一端）的角块和它发生同样的变化，两个角块同步的。每两个角块发生三种变化，故得到4×3＝12，其中还有重复态。
 
我上面说的绕三根“X、Y、Z”轴（立方体的“四次轴”，每次90°）的转动的组合才能得到6×4＝24种不同方位引起的状态。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-5 02:05 编辑 ]

作者: 大头 时间: 2008-8-5 01:55:34

大约是，我的表述有问题。不够严密。 初始状态，以1个角块作为基准，其余7个角块的位置色相相对这个参照的块不变。这样的话在坐标轴不动的情况下研究这个参照块的变化。

作者: 乌木 时间: 2008-8-5 02:14:09

原帖由 大头 于 2008-8-5 01:55 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=202733&ptid=11935" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 大约是，我的表述有问题。不够严密。初始状态，以1个角块作为基准，其余7个角块的位置色相相对这个参照的块不变。这样的话在坐标轴不动的情况下研究这个参照块的变化。

恐怕不能随意改变参照吧？一个角块为基准，可以，有人探讨魔方问题时是有这种思路的。这时就不能再引入别的坐标了吧？我的理解是，基准就是坐标轴，固定着，别的块相对于它变化。

作者: 乌木 时间: 2008-8-5 03:57:11

啊呀，睡下后想想，自己刚才说了一大通，还是有误，思路太死。
 
“大头”的“8×3”的说法完全对的：角块组整体绕某一体对角线转得到三种角块态，再让角块组整体绕某些四次轴转，只要依次让另7个角块处于同一象限，每次也同样绕同一体对角线转，得到三种态，总的态数就是8×3＝24 了。
 
“大头”没错，并没有让一个角块单独变色向什么的。
 
看来，此例中角块组整体可以作各种可能的转动，得到24态，哪怕包括绕棱块－－棱块（例如UB棱块－－FD棱块）的二次轴转180°的运动在内。“6×4”也好，“8×3”也罢，都讲得通。
 
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-5 04:13 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-5 10:12:59

按照“大头”的“8×3”思路，1楼题目的24个态规律如下，和“6×4”等价的。
 中心块簇运动的情况－6.JPG

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作者: 大头 时间: 2008-8-5 12:15:17

乌木先生，您的解释我理解了大部分，您解释得很详细。

作者: 乌木 时间: 2008-8-5 17:44:15

上面12楼为何24个态中要砍去一半，我的初步认识是，楼主的题目条件是不管角块（涂灰了，即允许角块簇有合理的相应的置换），只转中层。而中层转动相当于两个表层转动，故只转中层总是相当于表层转动偶数个90°。这样，就不会改变角块、棱块的扰动情况，也就是说，12楼24个态中，那些灰色的角块簇都处于非扰动态。但是棱块簇被人为固定后就不对了，以下面两个态为例，不难看出，左态棱块发生了3个四置换，棱块为扰动态，不可能和非扰动态的角块簇共处于一个魔方中；右态棱块则发生了6个二置换，棱块簇处于非扰动态，可以和非扰动态的角块搭配共处。
 中心块簇运动的情况－7.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-5 18:02 编辑 ]

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作者: 乌木 时间: 2008-8-5 19:22:13

那么，为何11楼所示的24种态（棱块涂灰，角块簇固定，只转中层，即1楼的条件）就不要砍去一半呢？
 
仍取两个典型态为例，下图左态角块簇有2个四置换，角块簇为非扰动态，和非扰动态的棱块簇可以共存；右态角块簇有4个二置换，角块簇还是非扰动态。那24态中有些态角块簇有两个三置换，更是非扰动态了。所以11楼24态不需删去一半。
 
 
 中心块簇运动的情况－8.JPG

很有趣，角块、棱块如此不同！怎么会的？
 
原因是否这样：只许转中层，那么，8个角块整体始终保持原状，连8个角块的整体方位也不变，角块簇的扰动情况也不变，所以固定不固定角块簇无所谓的。只转中层的话，棱块会打乱，但是再怎么乱也不会改变棱块簇的原扰动情况（因为转中层相当于转两个表层）。这样，楼主的第一题就有24个态了。
 
后来的第二题，固定棱块簇后，相当于中层转引起的棱块打乱问题（虽然它们的扰动情况不变但）要求只许转中层来恢复棱块簇的初态，这样，当发生矛盾时即为不可能态，没矛盾时就是可能态。具体分析时可以不给出中层转的步骤，只要先画出24个设想的结果，再判断、取舍。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-6 00:35 编辑 ]

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作者: 大头 时间: 2008-8-6 02:02:59

哦，我没有看到您在这里的回帖。

作者: 方块 时间: 2008-8-6 02:31:53

我觉的去完之后就差不多是二阶了吧............

作者: 乌木 时间: 2008-8-6 08:18:18 标题: 回复 35# 的帖子

我起初也是这样理解，经交流才知道不是成为二阶，还是三阶，但是不计棱块的变化，只固定角块，且只允许转中层，问状态数和各态的步数。

作者: 乌木 时间: 2008-8-6 09:23:08 标题: 回复 32# 的帖子

为什么要把12楼的24个态中去掉12个，还有一个推论思路是，只转中层的话，角块不变，涂黑不涂黑一样，都是固定了的。楼主的第二题是“固定棱块，不计角块，只转中层”，那么就等于是固定角块和棱块，只让中心块组（经过也只经过转中层来）完成变化，这就是14楼的24个态，而14楼只有12个合法。
 
至于14楼的合法的12态就是“换心”图案的全部可能态，而“换心”图案的做法之一就是只转中层。
 
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-6 09:46 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-7 00:27:53

楼主第二题的12个态就是14楼去掉不可能态后的12个态，其中只有三个为（中层转的）6步态，一个为0步态，其余都是4步态。6步态为“四心换”花样，4步态为“六心换”花样。
 中心块簇运动的情况－9.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-7 08:47 编辑 ]

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作者: 会跳的龙虾 时间: 2008-8-7 00:31:51

我头看得颠倒了~~~~~~~~~~~~~

作者: 大头 时间: 2008-8-7 01:58:29

回38楼，您这么说我就很容易理解了这样的过程。

作者: 乌木 时间: 2008-8-7 09:03:22 标题: 回复 38# 的帖子

此处用复原态为0步态，只是为了直观、方便，其实，4.3×10^19个态的任一态都有其11个这样的伙伴，它们共处于一个小组中。也就是说，4.3×10^19可以分为3.6×10^18个小组，每小组12态，每小组内部的变化规律都和38楼所示的一样。
 
不知道该为这种小组起个什么名字？好像既不是同态，又不是同构（？）。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-7 09:07 编辑 ]

作者: yzfa9860 时间: 2008-8-7 14:23:30

不懂不懂，顶一个了

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