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标题: 需要小心求解的概率问题 [打印本页]

作者: tiawing 时间: 2008-8-2 11:31:54 标题: 需要小心求解的概率问题

在半径为1的圆里任意做一根弦,求弦长大于 未命名.JPG

的概率.

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作者: 宇枫幽蓝 时间: 2008-8-2 11:38:45

沙发，先坐下，再解！

作者: gozichen 时间: 2008-8-2 11:43:44

好久没见这种玩意了<img smilieid="1" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border="0">

[ 本帖最后由 gozichen 于 2008-8-2 11:51 编辑 ]

作者: whoosah! 时间: 2008-8-2 11:45:01

超级简单的说。。。。楼主高二？

作者: whoosah! 时间: 2008-8-2 11:46:10

就是用几何概型，可行域是一个环形。求出环形面积和原来的圆面积之比。。。。

作者: whoosah! 时间: 2008-8-2 11:47:45

我的答案是四分之三。。。

作者: gozichen 时间: 2008-8-2 11:49:22

错了，我算的是小于是sq3跟大于sq3的比值了

应该是(2*pi+6*sq3)/(9*sq3)

作者: 123wyx 时间: 2008-8-2 12:55:31

这题几个几何概型计算结果好像不一样，到现在我也不知正解是什么。

作者: 金眼睛 时间: 2008-8-2 13:19:31

圆内任意弦都与该弦的中点一一对应，可以看做是大于sqrt(3)的弦的中点构成的集合与圆面积的比值。
 
大于sqrt(3)的弦的中点构成的集合应该也是一个圆吧？算了一下，小圆面积与大圆面积比为1：4
 
我认为答案是：1/4

作者: 123wyx 时间: 2008-8-2 13:26:37

还有一种解法：不妨把线段的一端点定下来，另一端点按角度计算概率，又得到另一个解

作者: 123wyx 时间: 2008-8-2 13:33:49

按10楼算法，60度范围内的弦大于sqrt(3)，得结果为1/3，与其它解法不同 不知哪种解法正确 看来仅仅从直观上理解什么是概率是不够的。

作者: vincentlamar 时间: 2008-8-2 13:35:39

想起了某年高考作文题:答案是丰富多彩的!! 这道题我好像在哪见过,就是好几个答案...

作者: kexin_xiao 时间: 2008-8-2 13:36:25

不懂,早忘了,等详细的解答了.

作者: Atato 时间: 2008-8-2 14:23:40

不是几何概型吗?我觉得是额金眼睛说的很对啊. 中间一个圆.外面一个圆.

作者: 清衫小白 时间: 2008-8-3 15:10:35

我看怎么是0.5？弦的长度取决于它对圆心的距离x，显然x=0.5时弦长为1.732/2。那么所求不等于0.5吗？哪位指出我的错误？

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作者: noski 时间: 2008-8-3 21:39:17

原帖由 金眼睛 于 2008-8-2 13:19 发表圆内任意弦都与该弦的中点一一对应，可以看做是大于sqrt(3)的弦的中点构成的集合与圆面积的比值。   大于sqrt(3)的弦的中点构成的集合应该也是一个圆吧？算了一下，小圆面积与大圆面积比为1：4   我认 ...

圆心处一个点对应无穷多条弦，所以这个比例不是1：4，要比1：4大一些。至于大多少，应该是1：3这个结果是对的。

作者: cs_the_final 时间: 2008-8-3 22:41:56

请楼主具体说明任意是什么意思

作者: cs_the_final 时间: 2008-8-3 22:43:45

这道题貌似做过N次了，竞赛书上一次，老师布置的作业上一次。……答案都是：由于题目中“任意”可以有多种理解，比如在圆周上任意取两点，比如在圆内任意取一点作为圆心到弦的垂足等等，所以答案也会有不一样。所以这道题是不能做的

作者: yjw44 时间: 2008-8-3 22:54:19

嘿嘿.....考试题目来的?

作者: 金眼睛 时间: 2008-8-4 06:58:09

呵呵，看来由于这道题的已知条件比较模糊，答案并不唯一。
 
如果认为弦是均匀分布，需要对“均匀”进行定义，可以是弦中点在直径方向均匀(1/2)，弦端点圆周上均匀(1/3)或者弦中点在圆面上均匀(1/4)，这样才能得到唯一答案。
 
我觉得，任做一弦有些蒙特卡洛随机试验的味道，也就是大量试验条件下的统计概率。
 虽然通过圆心的点可以做无数条弦，但是随机试验点落在圆心的概率为零。举个例子，弦长为sqrt(3)的弦有无穷多条，但如果我说弦长大于sqrt(3)的概率和弦长大于等于sqrt(3)的概率相等，应该没人反对吧？呵呵，这是因为随机试验点落在半径为1/2的圆上的概率同样为零。在大量试验条件下，即便有落在圆心上的弦，它也仅代表那一次随机试验，而不能影响整个概率的计算结果。
 
总之，如果认为弦中点在圆面上均匀分布，概率是1/4，其他答案也必须在对应的均匀定义下才有意义。

作者: luckyman0000 时间: 2008-8-4 19:00:36

题目并不模糊,只是理解的角度可能多样..学过概率学的基本上都有这一题..答案有三个还是四个...都是正确的...

作者: flwb 时间: 2008-8-4 21:34:35

长为根下3的弦距圆心的垂直距离是0.5,也就是说只有中点位于r为0.5的圆内的弦的长才大于或等于根下3,这个圆的面积是大圆的1/4,符合题意的概率是25%。

作者: Cielo 时间: 2008-8-5 14:55:01

跟这个帖子一样吧：《圆上作弦的概率问题》
 <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7719&page=1" target=_blank>http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7719&page=1</A>

作者: flwb 时间: 2008-8-5 16:53:08

 未命名.JPG

这是所有弦长小于根下3的弦所占的面积,剩余部分就是大于根下3的弦所占的面积,不管你用什么起点画弦,最终都是这样,所以,只有1/4是正解。

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作者: 方块 时间: 2008-8-5 16:57:00

我初三但不知可否用面积比做？

作者: kexin_xiao 时间: 2008-8-5 19:21:24

9楼+24楼=正解，还是图形比较直观！

作者: cs_the_final 时间: 2008-8-5 21:34:19 标题: 回复 26# 的帖子

不对。。。9楼和24楼都给题目多加了条件：就是对随机的定义——圆心到弦的垂线的垂足相对面积是随机分布的。。。所以会有这一结论。如果我另外定义随机：在圆周上随机取两个点构成弦的话答案就是1/3了。。。

作者: cs_the_final 时间: 2008-8-5 21:35:53 标题: 回复 24# 的帖子

概率之比等于面积之比的条件是每一个点的概率都一样。但是如果是按照“在圆周上随机取两个点构成弦”的话在圆内不同点出现的概率是不同的。所以不能轻易的得出1/4的结论

作者: flwb 时间: 2008-8-5 22:12:43

原帖由 cs_the_final 于 2008-8-5 21:34 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=203510&ptid=12017" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 不对。。。9楼和24楼都给题目多加了条件：就是对随机的定义——圆心到弦的垂线的垂足相对面积是随机分布的。。。所以会有这一结论。如果我另外定义随机：在圆周上随机取两个点构成弦的话答案就是1/3了。。。

"在圆周上随机取两个点构成弦",这个弦的中点也必定在如图范围内。好好想想吧，有多少点是无法计量的，面积是此题的要素。

作者: flwb 时间: 2008-8-5 22:18:11

如果不以弦的中点，而是以任意两点作为弦的代表，那这两点可以遍布整个大圆，岂不应该是100%？

作者: flwb 时间: 2008-8-5 22:35:01

你如果选择两点来做一条弦，实际上第一点的选择已经部分决定了此弦的命运，这个因素你们计算进去了吗？

作者: bbshanwei 时间: 2008-8-6 22:29:28

我的计算机数学是考了两次才考过的，第一次就死在这概率学上了。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-8-7 16:35:32 标题: 回复 31# 的帖子

由对称性，第一点是任意得。对任何一个地方得选取对答案不会有影响。本来这道题就是有问题得么。。。说答案是1/3也行，1/4也有道理。之前我说过了，题意对“随机”不清楚么。。

作者: 方块 时间: 2008-8-7 17:51:24

不会　　我还没学到，与魔方有关吗？没吧...........那为何.......

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-8-7 18:20:03 标题: 回复 30# 的帖子

先随机取一个点，分析另一个点得概率是1/3，然后由于第一个点的任意性和对称性，所以总的概率也是1/3。还有，你没有注意到图中越接近圆心的地方线分布的越密吗？说明在圆心附近和在远离圆心的地方弦出现的概率并不一样，就不能用面积的方法来处理概率

作者: flwb 时间: 2008-8-8 01:47:21

虽然本题没有说明如何取弦,但无非只有两种方法:
第一种方法,随机取一点,作过此点的最短弦,弦长大于根下3 的概率为25%;
第二种方法,随机取两点作弦,第一点,如果取在r=0.5的圆内,则第二点无论怎样取,该弦都必定大于根下3,第一点如取在r=0.5的圆外,(这种情况占75%)那么满足能够与第一点构成长度小于根下3的弦的第二点的可取面积是1.1973(此数值由金眼睛提供的公式得出,详情请看"与tiawing的概率题有关的问题"一贴),与大圆面积Π的比值约为38%,这样两次取点做弦,弦长小于根下3的概率约为75%*38%=28.5%,弦长大于根下3的概率为71.5%。
 

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-8-8 01:48 编辑 ]

作者: 失群孤雁 时间: 2008-8-8 09:48:42

我算了个1/3的结果...
            先定一个任意的点a ....
            然后取点b...若角aob (o是圆心)  > 120 度.. ab的长度就大于根号3..
.....答案是 (180 - 120 ) / 180 = 1 / 3
                        个人观点,不足之处.恳请指正

作者: flwb 时间: 2008-8-8 10:04:23

回复楼上的,你随便画一个圆,闭上眼用铅笔随便点两下,然后画弦,你就会知道弦长大于根下3 的概率绝不会是1/3。

作者: ggglgq 时间: 2008-8-8 11:25:41

            这个问题最早由贝特朗提出，故叫做贝特朗悖论。请大家参考           <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7719">圆上作弦的概率问题 </A>       

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-8 11:27 编辑 ]

作者: flwb 时间: 2008-8-8 11:38:09

这个所谓的贝特朗悖论就不可以推翻吗?解法一中的"先固定其中一点"就与题目的"随机地取一条弦"矛盾。
而且这个解法，要求两点都在圆周上，这还是在圆内随机取一条弦吗？

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-8-8 11:45 编辑 ]

作者: Riku.H 时间: 2008-8-8 15:12:19 标题: 咳，乱死了！乱死了！

答案真是五花八门！
当然有不少是荒谬的！！！
怎么可能一个固定的条件求出来的解同时是1/2，1/3，1/4？？？
这就好比说，有个人它既是男的，又是女的，同时是变态？搞笑啊~

回到正题，各位现在应该注意到了，标题上为什么写着【小心求解】
我在《数学演义》上看到过这道题，很经典的。它引发了依靠直觉建立的经典几何概率的悖论。
书上也是给了三个解法：内接三角形，平行所截线段和射线；得到的答案分别是1/4，2/1，3/1

书上只讲到了这个问题使得几何概率的定义更完备了，没写怎么解

但根据作者（王树禾，好像是中科院的）在上下文的口气判断，答案是唯一的

希望有兴趣的去看看那本书，指导下思路，也许能解出来

我认为，解决这道题应该是回归定义；像第二次数学危机不就是微积分的一些定义不完备造成的吗？

ls说的好像不大对，第一点虽然是固定的，但是是随机选取的！而且根据直觉，这样选取的线段的集合应该包括了圆内的所有弦了

不管怎么说，真理是越辩越明的，希望大家的数学水平由此进一步提高！

作者: 123wyx 时间: 2008-8-8 16:40:35

查阅了一下《数学演义》，我的理解是：《数学演义》作者的意思是，建立完善的概率论公理体系，在这个问题上的分歧就能消除。如果没有完善的公理系统和概念，就会在这个问题上产生歧义。

作者: william_khs 时间: 2008-8-8 18:20:43

是否

作者: Riku.H 时间: 2008-8-18 20:23:44

google了一下【贝特朗悖论】，有一篇介绍的结尾是这样写的：而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题

继续搜索【概率公理化】，找到了一个高数教学的幻灯片，结果——看不懂

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