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标题: 如何给定一个魔方，不复原而判定是否处于可恢复的状态？ [打印本页]

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 15:36:00 标题: 如何给定一个魔方，不复原而判定是否处于可恢复的状态？

我刚来这个坛。其实各位前辈提出的扰动概念并不新鲜，我也看过类似结论。 不过一个难题是：如何证明绝对不可能将单独一个棱翻转，或诸如此类的转动？ 为了证明绝对不可能，当面对魔方巨大的状态数时很明显穷举是没前途的。数学上一般采用的是”不变量“，证明每次进行旋转的时候，总有一些东西是不会改变的，而这些东西在某个扰乱状态下有不同的值。 这个“值”是广义的，可能是一个数字，也可能是一个抽象群（例如3阶对称群）的一个元素。 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=592&extra=page%3D1 这篇文章里面的分析，我就不再重复，但是那里面的结论多数没有证明。那里面关于角块和棱块位置变换的部分基本上是置换群理论的应用，没什么好说的。对它们的证明只有一句话： 因为每次旋转魔方，角块和棱块发生4轮换，在置换群里面属于“奇”变换，而2个奇变换合成一个偶的，因此每次旋转，整体变换必然是偶变换。 关于中心块色向，由于3阶的中心块是独立的，因此证明也没有困难：每次旋转都将一个中心块转90度，但是你要让其它东西不动的话，你得消除角块和棱块的奇变换，因此在其它块不动情况下，总的中心旋转角度只能有偶数个90度和若干个180度。 对于棱块定向，所引的文章里面的分析简略，没有提到当棱块位置变动时，该如何确定正确的棱块定向。这样，给定一个魔方，难以根据该文所述理论判定它是否扰动态，除非先将它尽量复原。 我提出的解决方法是：为每一个可能的位置，决定一个”正确的“定向。 当棱块在原始位置，定向当然是原始方向。如果它与原始位置相邻（只要一次90度转动即可到达），那么它的定向为与该次转动后到达的方向相反。这样，只要一点功夫，就可以整理好所有位置的定向。在这样的定义下，任何90度转动会把参与转动的4个棱块全部翻转。从而，我们找到了不变量：每次转动总的翻转数目总是偶数。 角块是一个大难题，要按如上方案找到角块的定向是不可能的。对于每个角块8个可能位置中的4个（原始位置和3个转动18度后所达位置）这样做是可能的，方法就是把两个相对的面颜色看作是相同的，然后如果角块和中心块颜色一致则为正确方向。而对于另外4个，就没有那么容易了，我尝试了很久，都没能找到合适的定义方法。似乎要考虑角块的话，角块在其中4个位置有3种定向，而在另外4个位置有另外3种，总共有6种不同的定向。 这6种定向还不是简单的数字，似乎是一个3阶对称群的6个元素。这样我们才可以说，每次90度旋转，所有涉及的角块全部乘以了该群的一个“对换”元素。 如果我们没有对称性的要求（即要求所有旋转都有同样的地位）那么还是可以找出一个定义的。比方说，我们指定2个相对的面（比如底面和顶面），只要这2个面上的角块和2个中心块之一颜色一致，则判断为正确，否则错误。 在这样的定义下，旋转指定两个面对角块方向的效应为无作用，而其他面的旋转导致2个角块正转120度，另2个反转120度。 但是没有了对称性的要求，会造成 总结： 如何给定一个魔方，判定是否处于可恢复的状态？对于角块、棱块的位置变化，我们有了答案，对于中心块和棱块的方向，我们也有了答案。但是对于角块的方向，我们还没有符合对称性的简单答案。

作者: Xiao_Jin 时间: 2008-8-17 15:39:19

其实挺简单的，如果你会盲拧你就能很容易的判断了。

作者: yzfa9860 时间: 2008-8-17 15:44:56

任何一种状态都可以复原，除了装错块之外

作者: QNE1410 时间: 2008-8-17 15:52:27

太深奥了，我看不懂。

作者: 三叶虫 时间: 2008-8-17 16:09:17 标题: 回复 2# 的帖子

楼主的意思的要探讨原理

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-8-17 16:22:34

楼主辛苦了，呵呵，顶一下，明天再细看

作者: wangziju 时间: 2008-8-17 16:30:42

我觉的都可以

作者: junior_sky 时间: 2008-8-17 16:41:00

好深奥.看不懂

作者: sl888000 时间: 2008-8-17 16:49:18

真的看不懂。。。。。。。。。。

作者: chuan1392010 时间: 2008-8-17 16:54:15

看了，不太明白，呵呵，

作者: kexin_xiao 时间: 2008-8-17 17:03:12

我也没太看明白,要仔细研究.

作者: 乌木 时间: 2008-8-17 17:03:27

面对三阶（包括纯色和全色）的任何一种打乱态（包括错装态），完全可以不转任何层判断它可否复原。如果在此处哪位给出若干个态，谁知道我转没转过魔方？那就只要我列举理由就是了，否则，真得请公证人啦。

作者: Xiao_Jin 时间: 2008-8-17 17:10:26 标题: 回复 5# 的帖子

哦,那是我理解错了.

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 17:13:29

乌木先生，判断的话我们都容易做。关键是证明，OK？

作者: 会跳的龙虾 时间: 2008-8-17 17:15:16

又来一个高人～～看不懂～顶一个～

作者: 乌木 时间: 2008-8-17 17:20:24 标题: 回复 14# 的帖子

对。我上面主要是据你的题目（“如何给定一个魔方，不复原而判定是否处于可恢复的状态？”）而跟帖的。原来你主要是探究证明，这我就不懂了。（你的题目最好改一下。）看得出，你对如何证明是懂的，期待你在1楼的基础上整出一片文章啊。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-17 17:23 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 17:59:44

顺便问你一句，当存在角块位置错乱，你用什么准则判断方向的正确与否？举例说：有2棱块调换，2角块调换，你如何判断角块的位置正确与否。

补充：假定调换的角块是相邻的。

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-17 18:00 编辑 ]

作者: nhlijiaming 时间: 2008-8-17 18:03:54

能 , 这个问题貌似我说过了
直接用五步法盲拧的编码验证就可以了, 很简单~

作者: nhlijiaming 时间: 2008-8-17 18:05:48

不过在盲拧中被忽视的奇偶校验在这里很重要，不然出现两棱两角换的情况也会当成错态

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 18:07:06

所以我的要求就是完全不拧，能通过计算来确定吗？这就是一个很好的问题。

作者: Atato 时间: 2008-8-17 18:12:35

一句话.判断色向和是否为零即可....

作者: Atato 时间: 2008-8-17 18:23:37

原帖由 earthengine 于 2008-8-17 18:07 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=215926&ptid=12723" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 所以我的要求就是完全不拧，能通过计算来确定吗？这就是一个很好的问题。

LZ应该不会盲拧吧.
可以看看吧里的教程.盲拧区
其实要判断不是什么难事.
用句忍大师的话说:"魔方是限制在魔方的变换规律之内的."
 
证明是否错装是无法证明的..
就像证明1+1=2那样.
我认为我们只能在认识的基础上发现新现象并加以解释而已..

作者: lqp18_31 时间: 2008-8-17 18:29:08

的确要思考思考～凑字凑字

作者: sing2 时间: 2008-8-17 18:33:03

2个字:复杂

如果会盲拧就很容易的了啊

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 18:38:29

我知道那些方法。我自己也用过。问题是，角块的定义不是对称的，从而造成不变量难以构造。

需要的是一个具备对称性的定义！

作者: 乌木 时间: 2008-8-17 19:20:38

原帖由 earthengine 于 2008-8-17 17:59 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=215921&ptid=12723" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 顺便问你一句，当存在角块位置错乱，你用什么准则判断方向的正确与否？举例说：有2棱块调换，2角块调换，你如何判断角块的位置正确与否。补充：假定调换的角块是相邻的。

是否可以这样判断三阶纯色的位置复原问题：和复原态相比，角块或棱块各自含有多少个奇循环不必管（总能在角块内部或棱块内部用三置换纠正奇循环的），只要盯住偶循环数目m，m为偶数，可以；m为奇数的话，则必须角块和棱块都有奇数个偶循环，才可位置复原。如果角块的m为奇数，棱块的m为偶数（包括0），或反过来，一为偶数，另一为奇数，都属于位置错装态。你的例子属于角块、棱块各有1个二置换（无论邻角不邻角，任何两个块的二置换都一样），位置是可以复原的。
 
上面只讲了位置问题，至于各块的色向问题，任何混乱态只要符合角块的色向和为零，棱块的色向和也是零，就可以色向复原，否则属于错装态。
 
这些佬什子的证明，我不会了。很想知道如何证明，且但愿我能看懂。好像邱志红有过证明的帖子，可惜我看不大懂。

作者: williamxiaolu 时间: 2008-8-17 19:22:19

深奥～～～～～～～～～～～

作者: 乌木 时间: 2008-8-17 19:30:18

原帖由 earthengine 于 2008-8-17 18:07 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=215926&ptid=12723" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 所以我的要求就是完全不拧，能通过计算来确定吗？这就是一个很好的问题。

不用拧，不用拧，就像盲拧之前的观察一样，然后还是不拧，只加以判断即可。一般，解魔方的软件就是先对用户输入的状态判断，对于错态不会傻乎乎地去计算的，有的还对错态提出改正建议呢。

作者: pengw 时间: 2008-8-17 19:42:41

这一切都是可以证明的，不过能不能请楼主先证明一个问题：为何任意三个棱块或角块可以单独三置换。另外，我想请楼主说说你对扰动的理解，即扰动的概念和扰动的本质，感觉楼主将扰动和色向二个概念混为一谈。
 
楼主引用的<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=592&extra=page%3D1">http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=592&extra=page%3D1</A>的内容，结论没有问题，由于是首次针对N阶进行分析，很多证明没有贴出来，后来该贴又被一个疯子搞坏了，成了现在这个模样。更新版已经基本完成，由于工作忙，有机会再贴出来。
 
如果楼主有什么疑问，尽管表述，大家可以一起讨论。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-17 20:01 编辑 ]

作者: 小魔人 时间: 2008-8-17 19:51:51

不知道怎么判断～～～～～～～～学学

作者: pengw 时间: 2008-8-17 20:15:42

楼主关于块运动对色向影响的确定问题，你可能忽略了我贴子中的一些内容，我们是依据色向参照系来度量任意角块或棱块在任意位置的色向认定。这些都是状态理论必须解决的基本问题，楼主提出的一些问题还不是最基本的问题，例如：
 
1。三置换的成因，为何任意三个角块或棱块可以三置换？如何证明？ 2。为何角块或棱块可以单独三置换？在其它阶同样总是可行吗？如何证明？ 3。为什么除了棱块和角块，四阶及四阶以上的其它块没有色向？
4。魔方的簇结构总是遵循同一规律？如果何证明不同的簇不能交换块？
 
 
以上问题的任何一个反证足以证伪当前所谓的状态理论，不妨试试

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-17 20:43 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-17 20:21:58

至于不去转动，就确定魔方状态是否合法，这已经是早已被广为应用的一个基本操作。我想说的是，从组装角度去研究魔方性质是一个陷井，永远没有一个固定的结论，如同使用代理上网，被看到的只是一个假地址。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-17 20:23 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-17 20:34:29

初充说一点，只要魔方的置换满足扰动约束，棱块和角块色向和为零，这就是一个合法状态。“非转动判断魔方状态合法性”这说法，不够严格，转动得来的任何一个状态都是合法，何须证明？如果想从组装的角度去分析，无疑是将魔方理论绑在生产工艺上，这还有完吗？

正确的说法应该是：魔方状态的构成满足什么样的规律，由此预言状态的可能形态，这对于编图的人来说有很实际的意义。

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 20:57:18

1、为什么可以三置换，如何证明
解答：非常简单。因为有公式。只要有一个三置换公式F，依据相似变换的原理就可以实现任何同类节点的三置换。方法是：首先随便找一种公式把需要置换的三个节点（角块、边块、棱块等）移动到所需公式的三个节点（具体方法在不同的阶别不同，需要具体地找，但从2阶起，原理都是相同的），设这个公式为f，它的逆为f'，那么fFf'就能实现所需的三置换。
而角块的三置换公式从2阶起已经存在，边块的三置换从3阶起已经存在。更高阶的我暂时没有研究。

2、单独三置换在交换群理论上是最小的“偶"置换。因为魔方的任何一次转动，若同时考虑角块和棱块时总是偶变换，因此角块和棱块的单独对换是不可以实现的。而它们的“可以”是因为存在公式（这就是证明！）。

高阶情况下，在1中已经证明：对于同类节点只要存在一个三置换则存在所有可能的三置换。现在需要证明的是三置换的存在性。这个要针对各阶魔方的各类节点，分别找出一个三置换即可。由于节点类别只有7种，因此只要找到了相应的7个三置换公式，也就完成了证明。

3、对于任何一种块，我们考虑它有没有色向时首先考虑它在魔方变换下可能到达的位置。由于除了位于中心的哪一块之外，我们发现所有其他块在每一个可能到达的位置上只能有一个方向，因此它就没有色向。至于中心块，我不好说，目前还不能证明。我甚至怀疑它的正确性？直觉觉得奇数阶的中央块应该是有色向的。

作者: pengw 时间: 2008-8-17 20:57:27

引用楼主： 。。。但是对于角块的方向，我们还没有符合对称性的简单答案。。。
 
pengw答复： 这个问题的证明可以说出奇地简单，甚至算不上一个基本问题，容我卖一个关子，你再仔细想想。
其实我更有兴趣知道你对扰动产生原理的理解及扰动关系在解释魔方状态方面扮演角色的分析，目前这里只有一面之词。

作者: pengw 时间: 2008-8-17 21:01:12

回34楼：你的回答并没有证明三置换的成因，另外相似变换总是可以达到目的吗？你又如何证明？其实理论区早有答案，魔方上须要证明的问题还很多。
 
请不要动用高深的数学概念，如群论之类。你懂我懂，不一起大家都懂，况且魔方问题的解释并非一定要群论之类的术语，我认为初中知识就足够了，为了照顾大家，能不能将问题表达得更简单一点。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-17 21:07 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-17 21:09:33

回34楼：你对四阶以上魔方，“无色向块”的无色向成因的解释或证明是不能令人满意的,“发现一些块在在一个位子只有一种色向”这不是一般性证明，更不是原理性描述。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-17 21:16 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-17 21:20:22

回34楼：你的回答不能证明角块三置换在任何阶都可以独立进行。这些都是须要证明的最最基本的问题

作者: pengw 时间: 2008-8-17 21:23:25

还有一个问题，色向变换与扰动是一个什么样的关系？这也是一个决定当前状态理论命运的关键问题

作者: pengw 时间: 2008-8-17 21:26:03

以上所有问题都可以证明，用非常非常简单的方法，我不想用群论之类的“大款”吓跑完全有能力搞懂这些问题的魔友。

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 21:46:59

相似变换要能达到目的，前提条件是确保能把3个任意同族节点移动到指定位置（其他节点乱了也不要紧）。这一点的证明一般来说可以如此进行：

首先将第一个节点归位。对于任何魔方，要是有一个节点不能移动到某个位置，则说明节点和该位置属于不同的类型，正如角块不能移动到棱的位置那样。因此这一点应该是没有问题。

对于此后的归位，对于正六面体魔方，有一个事实是除了不能动的中央色块，每一种类别的色块族在每个面上至少有4个。因此我们可以尝试把3个要移动的节点都归位到同一面。如果这能证明成立，则反向操作即可随意把3个节点定位到任何合法位置。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于无色向块的成因，有一个根本的原因跟24态有关。

如果我们认为每个块其实都是有6个面的，只不过有些面我们看不到，那么其实每个块都有24种取向。对于角块，它有8种可能的位置，因此每个位置就有24/8＝3种定向。对于中央边块，它有12种可能的位置，因此每个位置有24/12=2种定向。对于无定向块（包括高阶魔方的非中央边块），它会有所有24种可能的位置。所以每个位置就不能再有定向。至于中央心块，它的定向是出于不同的原因，因为它是用作坐标參考的。如果换一个坐标，选取一个角块作为參考，则很明显，中央心块能有6个不同的位置，因此可能的定向数目就是24/6=4。

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 21:54:44

为了证明角块替换在任何阶都能独立进行，我们把高阶魔方两个相邻角块之间的那串棱块绑在一起不让动，这同时也限制了所有同一面的心块不能互相脱离，只能容许整体移动。这时候魔方就彻底降阶成了3阶魔方。如果3阶能做到角块独立进行，则任何高阶也都可以。

为了证明边块及其它种种块的独立进行，我现在还没有思路，因为我现在还不知道具体的3置换公式在初次出现该类别块的时候是怎样的。

作者: pengw 时间: 2008-8-17 21:56:05

1。关于相似变换，只能算得上是描述不是证明 
 
2。关于无色向块，也只是数字上的猜想，这种现象在很早以前的贴子中早有描述，不算是证明

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-17 21:59 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-17 21:57:50

回42楼：如果是中间任意几个块，你又如何去绑？

作者: pengw 时间: 2008-8-17 22:02:18

我真的很希望能发现真正可以挑战当今魔方理论的实例，虽然目前没有反证，这并不说明就永远没有。

作者: pengw 时间: 2008-8-17 22:15:49

真希望能有一些有份量的问题，要不然，总感觉越来越没有精神，哈哈哈

作者: 乌木 时间: 2008-8-17 23:25:46

42楼的意思是否需要一个高阶棱块三轮换的公式，用来证明一些事，论坛内有好些，比如：TR D M1B D' B2 D M1B' D' B2 TR'。
 五阶的三棱轮换例子.JPG

附件: 五阶的三棱轮换例子.JPG (2008-8-17 23:25:46, 78.06 KB) / 下载次数 73
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjM1MTV8NTY5YmUxYzF8MTczMjMwOTkxNHwwfDA%3D

作者: pengw 时间: 2008-8-18 08:15:58

并不是找到几个高阶的三置换公式就可以证明什么，这样的公式可以随便找出很多，更一般地讲，是要一般性证明高阶中心心簇以外的每一个簇都可独立以进行任意三置换，如果这条不成立，当前关于N阶魔方的理论就破产了

作者: cj503 时间: 2008-8-19 09:11:40

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: qq171614899 时间: 2008-8-19 10:09:34

写的挺好的，其实用盲拧判断方向那步，就可以得知是否是可还原的了

作者: pengw 时间: 2008-8-19 11:25:12

这是一个早已解决的问题，只是再次被重复提出来

作者: Atato 时间: 2008-8-19 17:52:54

我同意楼上的说法..

作者: 咖啡味的茶 时间: 2008-8-20 15:38:42

学了盲拧你就知道是为什么了

作者: Lonely_7X 时间: 2008-8-20 16:46:36

有意思。。。以後速度練不上去了我也跟風研究研究理論哈

作者: sam168_ 时间: 2008-8-21 21:56:19

好深奥的理论啊~我还是菜鸟..算啦.看不懂...

作者: 知Shmily足 时间: 2008-8-21 21:57:50

可以通过盲拧来看啊

作者: zeyu690380 时间: 2008-8-21 23:06:47

不明白。。

作者: yzfa9860 时间: 2008-8-23 19:47:36

呵呵这个帖子真热啊，我也不大明白

作者: 独树 时间: 2008-8-23 23:13:36

新一轮的理论狂潮出来了我依然是旁观者......

作者: vnzuo 时间: 2008-8-24 00:57:47

光看标题感觉用盲拧的基本知识就能判断

作者: 乌木 时间: 2008-8-24 02:52:53 标题: 回复 60# 的帖子

对，差不多够可用于判断了。

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