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标题: 广义魔方存在3置换的一个充分条件 [打印本页]

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 11:49:51 标题: 广义魔方存在3置换的一个充分条件

因为pengw追问这个证明，我想我能给出一个充分条件，而这个充分条件在高阶魔方上应该是普遍成立的。
 

首先明确定义。 
广义魔方：它包括一些节点，一些位置，以及允许的基本动作。它有一种以上的状态，在每个状态下，每个节点占据一个位置，但不会有两个节点占据同一位置，也不会有一些位置空着。每个基本动作将开始状态下一些位置上的节点移动到别的位置，从而形成新的状态。

一个公式是基本动作的序列，又可称为派生动作。如果两个公式总是把同样的开始状态变为同样的结束状态，则这两个公式叫做全等公式。一个公式能影响0个或多个位置上的节点，这些位置称为公式的相关位置。

由于节点数目有限，因此状态数目有限。从而任何公式重复若干遍之后必然回到之前出现过的状态，最小的这个遍数叫做周期。由于周期的存在，对于每个公式f，必然存在另一个公式f'能把f造成的影响复原。这个f'叫做f的逆。

如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，其中f1'是f1的逆。这时我们称f2和f3是相似公式。

如果两个公式有部分相关位置重叠，那么两个公式相交，否则平行。重叠的位置叫做交点。

如果存在一个公式能把一个位置上的节点移动到另一个，则这两个位置是同类的。所有同类位置叫做族。

在这些准备工作之后，我们来看看什么情况下能存在使三个节点的位置轮换的公式。

 
引理：如果存在公式f1，f2（简化了条件表述），其中f2跟f1产生的实际效果完全一样，除了其中一个相关位置被偷换到其它地方之外，那么存在一个三轮换公式。

证明：
 
举一个直观的例子：如果用(123456)表示一个7轮换公式f1的变换结果(意思是位置1上的节点移到位置2，等等），f2的变换结果是(123457)，是把f1中6这个位置偷换到7所得到的。
现在我们来看公式(f1)(f2')的变换结果是什么。123456789经过f1变为612345789，再经过f2'(175432)变为123475689，正好是一个(567)，完成了一个三轮换，而所有其它元素不变。(不熟悉这种表示的人可能不理解，其实是(123456)将1变成2，(175432)则把2变成1，因此(f1)(f2')下1可以变回原位。而f1把5变成6，它不被f2影响，因此这就是最终结果。其余可以类推。为什么f2的逆不是(754321)呢？其实这样写也可以，但我习惯把最小的数放在最前面，反正循环的方向是固定从左到右，两种写法是等价的)
如果f1是四轮换，那么f2因为和它相似从而也是。这时pengw从四轮换生成三轮换的方法就是以上的另一个特例。为什么(f1)(f2')刚好是一个三轮换呢？其实很简单：对于f1中的元素，要是f1不把它变到1（会被f2'把它变成7）或者6（f2'不能把她复原），那么它会被f2复原。从而123456这些点中只有2个会变化，加上f2中多出来的7这点，一共3个点要变化。由于两个相似变换的奇偶性相同，因此它们的组合必然是偶的，3个点之间能发生的偶变化必然是三轮换。这一论证是普遍的，因而定理被证明。

 
定理：对于一个位置族如果存在公式f1，f2和f3满足（之前要求f1周期为2的要求取消了）：
<ul type="1">f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行</ul>
<ul type="1">f1和f2的交点在经过f2移动之后，和f2与f3的交点只有一个位置重叠。</ul>
那么在这个位置族上存在一个三置换。

证明：
在这些条件下，(f2)(f3)(f2')将把f2的相关节点中的一个换成f3的某个相关节点。从而(f2)(f3)(f2')(f1)(f2)(f3)(f2')和f1将能符合上面引理的条件。
 
推论：
高阶魔方的任意族存在独立三轮换。
证明：高阶魔方的任意两个平行层的层转平行。任意一个面转动180度的周期为2。任意一个族有一个层转，它把某个面上这个族所在的行转动到侧面，而另一个平行的层转与它只有一个交点。从而，若选取一个面转为f1，相应的层转为f2，与它平行的层转为f3，则符合了上面定理要求的条件，证毕。

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-18 21:12 编辑 ]

作者: junior_sky 时间: 2008-8-18 12:01:15

不懂

.......

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-8-18 12:04:05

楼主说的太专业,看不大懂.

作者: 乌木 时间: 2008-8-18 12:05:27

1楼说：“f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行”，是不是f1和f2先是相交，后来变为平行了？

作者: bbshanwei 时间: 2008-8-18 12:09:57

太专业了。理论性太轻。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-8-18 12:11:51

又要开始研究了，坐地上看！

作者: pengw 时间: 2008-8-18 12:19:44

这里是去年在ronduo追击下，从一堆草稿中整理简化出来发表的一个旧贴，用来证明三置换之类的基本操作，没有用到群论概念，我想也没有必要，为了照顾多数人 <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3418&extra=page%3D1" target=_blank>http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=3418&extra=page%3D1</A>
 
一楼的证明太复杂，也许可以更简单一点。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 12:27 编辑 ]

作者: 刘超 时间: 2008-8-18 12:52:40

通俗点的话我可能还会看的懂的，不过现在……

作者: sing2 时间: 2008-8-18 13:55:41

希望各位以后发帖要尽量简单,不要总是很很很很...多字,我没耐心

作者: 乌木 时间: 2008-8-18 17:04:18

1楼说：“如果存在一个公式f1，能把另一个公式f2的相关节点变成第三个公式f3的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，……”，这里的“公式f2的相关节点”和“公式f3的相关节点”都是指“公式f2的全部相关节点”和“公式f3的全部相关节点”，对吗？还是全部、部分都可以？
 
此外，是否应该说成“如果存在一个公式f1，能把另一个公式f3的相关节点变成第二个公式f2的相关节点，则有f3=(f1)(f2)(f1')，……”？因为我们通常应用相似变换时总是这样的思路嘛，即总是把不符合公式f2的初态改造为可以运用f2的临时态，做好f2后再做f1' 恢复别的块。
 
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-18 17:24 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 17:14:59

这是我故意留在正文中的一个bug，结果没人能指出来。这里面的表述刚好相反了。 应该是

对于两个公式f2和f3，如果存在公式f1，满足f3=(f1)(f2)(f1')，那么公式f1将把f2的全部相关节点变成f3的相关节点。但是，反之则不然。此时两个公式称为相似公式。

作者: 乌木 时间: 2008-8-18 17:31:58

原帖由 earthengine 于 2008-8-18 17:14 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216750&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>
这是我故意留在正文中的一个bug，结果没人能指出来。这里面的表述刚好相反了。
应该是对于两个公式f2和f3，如果存在公式f1，满足f3=(f1)(f2)(f1')，那么公式f1将把f2的全部相关节点变成f3的相关节点。 ...

这里的“公式f1将把f2的全部相关节点变成f3的相关节点”是否要解读为“公式f1将把f2的全部相关节点用f3的相关节点来代替。”？我觉得这样说较通顺，具体操作时也不易出错。也就是说，f2只是一种变化模式，别的态的有关节点要经受f2的变化模式的话，只能老老实实调动到f2所要求的位置上来接受f2模式的变化。对吧？

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-18 17:40 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 17:39:48

严谨的说法是

f1将把f3的所有相关位置上的节点移动到f2的相关位置上

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-18 17:41 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-18 18:50:20

楼主的贴子我没有细看过，我认为如此复杂非规范性证明是不必要的，很简单的证明早已存在，所以没有发现设套的问题，但要小心，这里的很多问题都可能成套，一不小心就会跌入，哈哈哈。
 
其实总结一下，就三句话：
 
1。相似变换 
2。公理性四轮换 
3。簇的所有块平等，也就是所谓的对称
 
这几点，让一个簇可以三置换，这些都是讨论过多次的老生常谈话题，当本人首次将相似变换用来解释三置换时，ronduo还对此深表怀疑，时过境迁，没有想到大家都接受了这个观点。
 
但是楼主对一个关键问题没有说清楚，即为什么所有簇的三置换都可以独立进行，楼主显然是一个追求数学精巧的玩家，这个问题显然是不能放过的。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 19:13 编辑 ]

作者: 汕头=老沙 时间: 2008-8-18 18:56:20

难以消化的东西====

作者: pengw 时间: 2008-8-18 19:06:44

楼主的思路仍然是从一个已知的三置换公式用相似变换推导其它三置换公式，仍然没有说清楚三置换公式的成因。

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 19:18:11

我不是说得很清楚吗？关键的一点就是要把任意一个非0公式的单独一个相关位置挪到别的地方，只要能得到这个相似公式，则三置换就不在话下。

作者: pengw 时间: 2008-8-18 19:21:03

回上楼，我真不知道你在说什么，你能不能用一点图来说明你的意图，现在这种证明方式和个性术语使用，真让人不知所云，你明白不等于大家都明白，你要找出一种方式让大家都看明白

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 19:21:30

但是楼主对一个关键问题没有说清楚，即为什么所有簇的三置换都可以独立进行，楼主显然是一个追求数学精巧的玩家，这个问题显然是不能放过的。

请留意我证明的正是三置换可以独立进行。我找到的那个公式适合于各种魔方的任何族，只要能找到符合条件的三个公式即可。

作者: pengw 时间: 2008-8-18 19:22:31

再重复一次，我的问题是，魔方上只有四轮换，随便一转都是如此，怎么就变出了三置换？你可以推导给大家看看吗？你不用四轮换去推导三置换，你的结论会让人信服吗？这样的推导我去年就发布了，可能你没有注意。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 19:31 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-18 19:28:09

不要急，想清楚了再发表，理论区确实须要楼主这样善于思考的玩家，请不要计较讨论中的用语

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 19:32:14

我的证明不依赖于任何四轮换或者类似的东西。你可以在一个具有五轮换特性的魔方上实践出三轮换。基本要求是存在两个相似公式，它们的相关位置除了一个之外完全相同，然后另有一个公式能把多出来那个位置移到第三个地方，但不会动其它的相关位置。如果能这样，那么三轮换存在。

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-18 19:33 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-18 19:34:17

关于三置换的独立行为以及色向变换的证明，也已完成，只是没有发表

作者: pengw 时间: 2008-8-18 19:37:47

回22楼，你不从“公理性”四轮换去推导三置换，你的证明没有说服力，也没有抓住问题的本质。五轮也好、三轮换也好都是四轮换工作的结果，这是一个不能否认的事实，四轮换才是魔方结构定义的最基本变换，没有人会认为四轮换是须要证明的，你首先应该证明三置换是如何来自四轮换，之后才能去证明三置换的一般性，这才是正确的思路，一定要尊重魔方上的基本变换特征。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 19:55 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-18 20:43:03

1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说（U R）104是UR的逆。（还有数不清的符合你说法的 f' 。）

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-18 20:50 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 21:16:28

原帖由 乌木 于 2008-8-18 20:43 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216965&ptid=12745" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
1楼说：“对于每个公式f，必然存在另一个公式f' 能把f 造成的影响复原。这个f' 叫做f 的逆。”那么，如果f＝UR的话，f' 是R'U' 呢，还是（U R）104 呢？按照你的说法，都是；但是通常总是说f' 是R'U' ，很少人愿意说 ...

按照我的定义，(UR)104和R'U'是全等公式。因此，它们可以互相代替。我前面的提法逆只是让逆公式的存在性变得明显而已。

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 21:18:01

原帖由 pengw 于 2008-8-18 19:37 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=216896&ptid=12745" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
回22楼，你不从“公理性”四轮换去推导三置换，你的证明没有说服力，也没有抓住问题的本质。五轮也好、三轮换也好都是四轮换工作的结果，这是一个不能否认的事实，四轮换才是魔方结构定义的最基本变换，没有人会认为 ...

我现在的版本是从任意轮换或者公式出发推导三轮换，更有一般性，顶楼已经更新。

作者: pengw 时间: 2008-8-18 21:31:13

一切置换都源于四轮换，只有从纯四轮换推导出三置换才能令人信服，希望你理解我的说法并抓住问题的实质，不要迫于别人的追问而急于想去证明而失去冷静的分析而跌入圈套（看来会下套的人还不止一人嘛，哈哈哈），你一楼的证明显然不能令人信服，我想没有几个人能看明白你在说什么，你最好用图来表达你的意图，也不要轻易定义什么定理,要明白，三元置换，五元置换及所有可能的置换都是四元置换的派生置换，派生置换是不能自已证明自已的。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 21:50 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-18 22:01:36

我又看了一遍你的证明，从数学规范角度，不算是证明，过于武断，为了交卷。搞得这么复杂，显然没有打算让别人看懂，看懂了可能不是好事？哈哈哈

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 22:03 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-18 22:04:53

原帖由 pengw 于 2008-8-18 22:01 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217077&ptid=12745" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
我又看了一遍你的证明，从数学规范角度，不算是证明，过于武断，为了交卷。搞得这么复杂，显然没有打算让别人看懂，看懂了可能不是好事？哈哈哈

我是怕太规范了更看不懂了……

作者: pengw 时间: 2008-8-18 22:07:11

也许是说不明白才弄得别人看不懂，这种事情吧中还有一些高手更擅长，你不妨画图说明，这应该不难吧。一个几句话就能证明的小事，干吗要在转这么多圈圈，没有证明什么，就发布一个定理，不服都不行啊。此前我真认为遇到了一个严谨的数学爱好者，结果连证明所须的基本要素都把握不住，就宣称证明了什么什么，有点不对哦。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-18 22:14 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-18 22:21:06

原帖由 earthengine 于 2008-8-18 21:16 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=217007&ptid=12745" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 按照我的定义，(UR)104和R'U'是全等公式。因此，它们可以互相代替。我前面的提法逆只是让逆公式的存在性变得明显而已。

但大家对“逆公式”的含义已经约定俗成了呀。是否此处你得换个说法？一个打乱态的获得步骤很多很多，该乱态的复原步骤也很多很多，这两大帮步骤串之间，任一个步骤串的逆步骤串只有一个，别的等价物不等于逆步骤串，逆过程还得讲究一步步具体的“脚印”的重现，不仅仅初态终态之重现。

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-19 08:52 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-18 22:29:38

遇到高手了，哈哈哈

作者: ocp 时间: 2008-8-18 22:41:08

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 08:58:30

更新后的一楼仍说：“ f1和f2相交，f2和f3相交，f1和f2平行”，f1和f2究竟相交还是平行？还是由相交变为平行？还是什么地方有笔误？

作者: qq171614899 时间: 2008-8-19 10:00:36

又是一位专业人士！！！！！！

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 10:51:31

1楼说：“……如果用(123456)表示一个7轮换公式f1的变换结果(意思是位置1上的节点移到位置2，等等），……”，
 
且不管六个对象怎么会有“7轮换”的；你的“(123456)”既代表“结果”，又代表“移动过程”，不好理解嘛。你的意思是否为：初态为123456，经过你说的轮换，终态为612345 了？还是别的模样？
 
接着你说：“f2的变换结果是(123457)，是把f1中6这个位置偷换到7所得到的”。
 
f2把什么样的初态变为(123457)的呢？又何必“偷换”呢？全部地、原原本本地、公开地（即不必“偷换”的）给出变化过程做不到吗？

[ 本帖最后由乌木于 2008-8-19 11:03 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-19 11:15:32

想清楚再表达，急于想证明什么，又证明得不知所云，这不是应有的数学风格，这里有的是头脑冷静善于分析的高人，看看，这不又找出问题了，哈哈

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-19 11:23 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-19 14:26:10

如果楼主不是GGGLGQ的马甲，真是来自奥大利亚，那么楼主千万要小心，什么事情让GGGLGQ插一手，不是屎也变成屎了，楼主应该离那个植物人远一点，一只屎克郎全部努力就造一个粪球，除此以外还能是什么？哈哈哈

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-8-19 14:29 编辑 ]

作者: 独树 时间: 2008-8-23 23:12:20

又来了... ... 又是天书帖

看不明白啊...

作者: 黑白子 时间: 2013-9-3 12:30:30

pengw 发表于 2008-8-18 19:34
关于三置换的独立行为以及色向变换的证明，也已完成，只是没有发表

什么时候发表？

作者: 黑白子 时间: 2013-9-3 12:31:34

pengw 发表于 2008-8-18 19:22
再重复一次，我的问题是，魔方上只有四轮换，随便一转都是如此，怎么就变出了三置换？你可以推导给大家看看 ...

那篇帖子发布的？

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