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标题: 科普：公理不是真理 [打印本页]

作者: earthengine 时间: 2008-8-19 19:16:44 标题: 科普：公理不是真理

看来这里很多人都习惯把数学公理当作真理一样的东西到处挥舞。在此稍微科普一下。

数学里面的公理只不过是用作推理的基础。它本身不代表正确或错误。只有定理的证明能说得上正确或错误。但是多年以来人们一直有种误解，以为公理就是放诸四海而皆准的真理。其实大谬不然。

在非欧几何出现以前，人们认为几何公理“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行”是放诸四海而皆准的。但是数学家**了这个定论，认为别的命题选作公理代替它也是可以的。这个可以的标准是不会出现矛盾。

人们还曾以为，即使不会出现矛盾，那些非欧几何与我们生活的世界也没有关系。但是爱因斯坦**了这个定论。

随后，对于公理的系统研究开始出现，数学家开始研究为了证明一个定理，到底需要哪些公理。这个研究方向彻底颠覆了人们从公理到定理的思维定势（详细情况，可查阅维基百科的“逆科学”这个条目。维基百科在奥运期间没有被封锁，但之后难说，请抓紧时间）。现在，在数学基础领域，数学家已经提出了无数种内容基本等价，但稍有区别，而表述大相径庭的公理系统。

所以，请不要动不动就拿出“公理”的字样。公理本身也是我们研究的对象之一，选择哪些东西作为公理，是理论建构者的自由，只要它不导致自相矛盾，就能言之成理。我们关注的焦点，应该是证明本身是否正确，而不是他有没有采用和我相同的公理。

作者: 知Shmily足 时间: 2008-8-19 19:20:35

公理就是公众承认的道理吧
o(∩_∩)o...

作者: mahome 时间: 2009-1-1 20:29:26

真理往往掌握在少数人的手里嘛................

作者: robester 时间: 2009-1-1 20:44:39

公理，公认的道理，在一个系统中，它是理论的基础，在这个特定的系统中，它就是真理，就是上帝。

公理的证明都是例证的（或者说是想当然），一个公理的一亿次的例证成功，也不能说明下一次例证一定会成功
所以公理不是真理，但是公理是最接近真理的道理。科学家的目的就是让这个接近变成再接近一点，再接近一点点……

作者: Xwam 时间: 2009-1-2 16:51:21

公理,公认道理,就如平行公理

作者: haohejiao 时间: 2009-1-2 17:26:02

学习了给我们上了很重要的一课

作者: smok 时间: 2009-1-3 10:41:30

吹纯理论在这里没有什么意义,很想知道,一楼的内容放在魔方上之后,楼主到底搞出了什么震世骸俗的结论可以贡献给大家而自已又说得清楚,还举得出实例,记住,魔方问题是很好实证,以前拜读过你的大作"三置换故事序列",与其说是讲给别人的人的陈词滥调,不如说是忽悠自已的儿童故事,完全看不出理论的影子,楼主真是现实无关的纯理论家?还是幻想家?

[ 本帖最后由 smok 于 2009-1-3 10:53 编辑 ]

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-1-3 10:57:41

好东西,公理是社会和人性,真理是科学和精神.

作者: carloshn123 时间: 2009-1-3 10:59:12

真理要证明……公理不用证明……好像初中数学书上是这样说的

作者: Atato 时间: 2009-1-3 17:45:41

呵呵.哲学是所有学科都适用的学科.但只有指导作用啊.公理应该选择切合实际的.魔方的理论也一样.

作者: yq_118 时间: 2009-5-17 21:18:50

这个要运用歌哥德尔不完全性定理去证明。
歌德尔第一不完全定理:设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论,如果S是一致的,则下文的T与非T在S中均不可证.设下述公式的编码为q，
　　歌德尔第二不完全定理:如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
　　（第一不完备性定理：任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
　　第二不完备性定理：任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。）

作者: dyer 时间: 2009-5-19 12:41:22

突然发现在讨论这个问题，我学过科学哲学，简单解释一下。
公理这个概念主要出现在数学中。首先要明确的一点就是，数学不是科学。所谓科学指的是物理、化学、天文学这种建立在观察和实验基础上的学问。而数学的基础是公设。比如对于欧氏几何的几条公设，（两点连一直线，所有的直角都相等等等，记不清楚了）在欧氏几何范围内对它们的对错本身是不予讨论的。就相当于你参加一项比赛，可能这项比赛的规则本身有问题，但你既然参赛就必须遵守规则。比赛中你可以对裁判的判罚提出异议，却不能对规则本身提出异议。
后来有人就通过修改第五公设（同位角相等）建立了非欧几何，欧氏几何成为非欧几何的一个特例，这并不是说欧氏几何第五公理本身是错误的，而是说还有不同于欧氏空间之外的其它空间存在。
所谓的公理，就是由能够由公设直接推倒出的定理。由于公设是不可讨论的，因此一个公理一旦被证明是正确的，那么它就将永远正确。这一点也是数学和科学的区别。数学的所有定理只需要一次证明是正确就足够了，而科学（物理、化学）定理来源于对自然界的观察和实验的总结，却是永远不能证明是正确的。对于一条科学定理（例如万有引力定律），无论你做多少次实验证明它是正确的，也不能保证你下一次再做还能的到同样的结果。而且，由于人们对一个定理所做的实验数量总是有限的（n），而理论上可作的实验数量是无穷大（oo），n/oo的结果就是0。

再说个笑话，从前哥德巴赫猜想通常被形象地称为1+1=2，还真有人就认为哥德巴赫猜想就是要证明1+1为什么等于2，本人高中时的数学老师就是如此。还曾在上课时大言不惭地跟我们说他看过陈景润的论文。其实1+1=2（十进制下）是不需要证明的，因为就是这么规定的！

[ 本帖最后由 dyer 于 2009-5-19 13:06 编辑 ]

作者: FairyTale_WL 时间: 2009-5-19 12:51:45 标题: 回复 12# 的帖子

差不多看明白了,

作者: yq_118 时间: 2009-5-20 19:16:25

公理系统都是人为规定的，但其完备性不能在内部得到证明

作者: splendidrex 时间: 2009-5-25 11:54:50

真是太理论太脱离实际的论述了，我觉得没有任何意义。

作者: Cielo 时间: 2009-5-26 01:55:24

原帖由 dyer 于 2009-5-19 12:41 发表 ……
科学（物理、化学）定理来源于对自然界的观察和实验的总结，却是永远不能证明是正确的。
……
再说个笑话，从前哥德巴赫猜想通常被形象地称为1+1=2，还真有人就认为哥德巴赫猜想就是要证明1+1为什么等于2，本人高中时的数学老师就是如此。还曾在上课时大言不惭地跟我们说他看过陈景润的论文。

好像听说过这种说法：物理等科学里面的理论是不能被证明，但可以被证伪的，所以这些理论在没有被证伪之前就可以暂时认为是“对”的，因为它是目前最能解释实际情况的理论！

关于哥德巴赫猜想，我觉得应该是被形象地称为“1+1”而没有后面的“=2”吧？
陈景润证到了“1+2”确实了不起啊！

作者: 貔貅 时间: 2009-5-26 02:01:41

科学不是普通人能明白的，简称科普

我就是普通银~

作者: yq_118 时间: 2009-5-26 02:11:32

原帖由 Cielo 于 2009-5-26 01:55 发表

好像听说过这种说法：物理等科学里面的理论是不能被证明，但可以被证伪的，所以这些理论在没有被证伪之前就可以暂时认为是“对”的，因为它是目前最能解释实际情况的理论！

关于哥德巴赫猜想，我觉得应该是被形 ...

物理只是用数学对现实世界的近似描述，如果和实验符合，就被认为是对的，但也是在一定范围内。

例如经典力学，在通常情况下是正确的，但到了微观世界或高速运动就不适用了。

作者: dyer 时间: 2009-5-26 11:02:17

原帖由 Cielo 于 2009-5-26 01:55 发表

好像听说过这种说法：物理等科学里面的理论是不能被证明，但可以被证伪的，所以这些理论在没有被证伪之前就可以暂时认为是“对”的，因为它是目前最能解释实际情况的理论！

关于哥德巴赫猜想，我觉得应该是被形 ...

证伪理论只是科学哲学的基础，关于如何证伪还有很复杂的理论，就不是几句话能解释清楚的了。详细的内容有兴趣的话可以在网上找四巨头（波普尔、拉卡托斯、库恩和费耶阿本德）的理论看。不过这些人的理论按顺序看一遍之后基本上对科学的崇敬心理也就荡然无存了

1+1=2中那个2可以理解为偶数

作者: splendidrex 时间: 2009-5-27 00:25:56

我有时候也觉得，科学这个东西，越到后面越讲不清楚，所谓的道理应用的范围越窄，至少在我从事的生物领域是这样，处处有例外。

作者: r_517 时间: 2009-5-27 10:41:23

数学目前主要体现于应用在计算机上。
当几百年前有人想出来因数分解这个无聊的问题的时候，又有谁能想到现在它是RSA算法的根本中的根本呢

所以一切研究，存在即有其必要性。只不过这个必要性可能不是当前能显示出来的。也许是几十年以后，也许是几百年以后，也许是几十个几百个世纪后。

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-6-3 13:57:21

永恒不变的道理是公理

作者: 715469945 时间: 2009-6-13 13:28:50

随便转转~~

作者: 未来生活 时间: 2009-6-14 08:42:53

学习后得出的结论：公理是人类社会的实际，真理是物质世界的实际。

作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-20 18:07:41

没有绝对的东西

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