魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 看上去很难的几何题 [打印本页]

作者: ares_g 时间: 2008-9-3 13:04:57 标题: 看上去很难的几何题

一个凸6面体，用尺规画图的方法（如果另有其他方法更好）找到它背面那个顶点的位置。
参考图见附件

此题已分别被金眼睛和noski在55楼和69楼解出。想迎接新挑战的直接到70楼。

[ 本帖最后由 ares_g 于 2008-9-7 09:17 编辑 ]

附件: [参考图（不是随意画的）] question.gif (2008-9-3 13:04:57, 9.03 KB) / 下载次数 102
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ2NTd8OGRjYmExZTV8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-3 13:19:27

凸6面体是关键。

作者: Bayernea 时间: 2008-9-3 13:23:11

翻过来看看

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-9-3 13:38:12

嗯，这个图是对称的吗？

作者: 刚吃完 时间: 2008-9-3 14:42:25

用不着尺子，圆规就行了。

作者: lxing 时间: 2008-9-3 14:46:36

如果按上图这样的不规则立体图，背面的顶点是无数个答案，规则的只有一个答案！

作者: rubik-fan 时间: 2008-9-3 15:16:25

对，不规则的凸六面体，那个顶点不确定。出这个题的一点立体几何的常识都没有。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-3 16:04:45

我等LZ的答案了

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-3 16:14:52 标题: 机械制图

 
这道题如果理解成轴测图，可以利用机械制图的方法做出来。
 
首先建立一个轴测的坐标系，原点任意，然后可以将立体上的可见的三个点投影到轴测坐标系中，得到三视图。
 
注：这一点能做到吧？我有点开始不确定了，如果不能做到，就算我的方法不成立，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
对于如附图所示的两个三角形的投影图，做出它们所代表的面的交线的投影，再通过投影就可以确定交线的空间位置。
 
画出两条这样的交线，就可以得到这个交点了。
 

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-9-3 21:21 编辑 ]

附件: [交线的做法] 面与面的交线.JPG (2008-9-3 21:21:39, 33.67 KB) / 下载次数 112
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ2NzB8ODYwMjA1MWR8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: 乌木 时间: 2008-9-3 16:39:17

这个凸六面体的看不到的三个面的局部应该是下图的黄色部分，但我不会找那三个平面交于何处。是否题目的条件不够？
 凸六面体的反面问题.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-3 16:47 编辑 ]

附件: 凸六面体的反面问题.JPG (2008-9-3 16:42:23, 32.94 KB) / 下载次数 69
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ2NTl8N2FhNWM2Yzh8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: ares_g 时间: 2008-9-3 16:59:29

稍微总结一下。1、认为有无数顶点的，是没有资格谈常识问题的。2、不要把图翻过来，这不是脑筋急转弯。3、尺规做图是一种说法，就是不允许使用度量衡具。4，乌木在朝着终点走，祝你成功！

作者: noski 时间: 2008-9-3 17:11:01

虽然11楼说不让翻过来，我还是把它翻过来了。。大不了实线变虚线，呵呵。
先发一图，再琢磨。。
问题就是怎么求出那三个平面的交点。。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-9-4 15:43 编辑 ]

作者: jerold 时间: 2008-9-3 17:37:35

点在背部和前面，平面位置看不是一样的么？就把看到相交的三条线是当背部，叫你画出前面的线也画不出吧。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-3 17:46:18

我也觉得LZ的题好象缺少条件，可能是我水平不行，等着看结果了。

作者: noski 时间: 2008-9-3 17:51:31 标题: 回复 13# 的帖子

你说的没错。。做了个答案放在35楼。。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-9-5 04:26 编辑 ]

作者: hzhenr 时间: 2008-9-3 19:26:05 标题: 这样吗?

附件: 2008-09-03_192154.png (2008-9-3 19:26:05, 72.22 KB) / 下载次数 42
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ2NjJ8NTNkZDk4ZjN8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: ares_g 时间: 2008-9-3 19:43:37

楼上的线是怎么画的，位置看上去差不多。有画法或证明么？哪条在前哪条在后？

[ 本帖最后由 ares_g 于 2008-9-3 19:54 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-9-3 19:52:11

定性说说尚可－－10楼的三个不同方向的黄色平面之一和另两个黄色平面分别相交，得到两根交线a和b，a和b的交点即为所求的六面体的顶点。问题是定量算算不出啊。

作者: bbshanwei 时间: 2008-9-3 20:01:07

金眼睛，你的投影图呢？我想看看。16楼的投影规律太乱，看不明白。

作者: 乌木 时间: 2008-9-3 20:17:23

是否这样，用三角尺大概允许吧？让黄色面放在平面c上，用三角尺分别靠在蓝色面和绿色面上，三角尺的一条边落实在平面c上，画出蓝面和平面c的交线a，再画出绿面和平面c的交线b，a和b的交点D即为六面体第八个顶点。（图没画好，平面c太小了，应大一些才直观。）
 
 凸六面体的反面问题－2.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-3 20:46 编辑 ]

附件: 凸六面体的反面问题－2.JPG (2008-9-3 20:17:23, 49.08 KB) / 下载次数 48
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ2NjV8MmZiYWJiODV8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: ares_g 时间: 2008-9-3 20:24:39

理论上是是这样的乌木，继续加油啊。

作者: hzhenr 时间: 2008-9-3 22:15:35 标题: 回复 20# 的帖子

题目是二维的，我们是不知道什么时候尺子会靠到C面上的 
 
尺规作图的原则是只运用直线和弧线，没有其他参与的

作者: 乌木 时间: 2008-9-3 22:42:59 标题: 回复 22# 的帖子

是吗？我还以为有个（比如）损毁了一个角的、实际的六面体东西呢，要像修复“文物”一般地找出第八个顶点呢。题目是要求就在平面图上找第八个顶点吗？那我说的方法不管用了。

作者: 乌木 时间: 2008-9-3 22:52:11

1楼的图表示每个面是任意四边形，对吧？这样的话，第八顶点蛮难找啊。

作者: 乌木 时间: 2008-9-4 14:36:09

想到一个不准确的办法，把三个已经肯定的三角形a、b、c暂时扩大为平行四边形，看看它们的相交情况。为此作1’//1，2’//2，3’//3，4’//4，看到1’和2’还未相交，继续扩大a和b的话，交线应在1’和2’之间，大致如红线那样。类似地，3’和4’已经过了相交线，交线大致如蓝线。红蓝线的交点D就是第八顶点的大致位置。
 
不知准确求解如何做，即如何准确确定红、蓝线？
 凸六面体的反面问题－3.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-4 14:38 编辑 ]

附件: 凸六面体的反面问题－3.JPG (2008-9-4 14:36:09, 41.4 KB) / 下载次数 50
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ2NzZ8ZjkxYmY2MGJ8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: 独树 时间: 2008-9-4 16:10:57

好晕...这个吧里的高手各个都是数学老师...敬仰

作者: 舒學 时间: 2008-9-4 20:27:02

先问问lz这题有答案吗？

作者: flwb 时间: 2008-9-4 20:41:53

乌木老师的是7面体吧?

作者: ares_g 时间: 2008-9-4 21:00:30

这题是我出的，所以我知道答案。不过如果把答案太早写出来，可能就没意思了。完全是按照版块要求的“巧而不难”发布的。谢谢大家捧场。

作者: 乌木 时间: 2008-9-4 21:51:31 标题: 回复 28# 的帖子

不是，D是第八个顶点，图中D和最左边的顶点联结线没画而已，整个是六面体。那一大块白色部分只是分析问题之初，那区域情况如何还不清楚，并非砍去了一个角看起来好像7面体了，不是的。

作者: yzl-34 时间: 2008-9-4 22:24:25

仔细研究了16#和25#的解法，按lz说的16#的位置看上去差不多，如果是对的话，那些新增上去的线应该就是如乌木所说的一样——是平行得出来的线，而那些线的交点有三个，形成了一个三角形，那第八个顶点就应该是在三角形的重心上了！
这纯属推测，不知道对不对？

作者: 檰誮餹 时间: 2008-9-4 22:33:54

同意有无数个解

作者: 乌木 时间: 2008-9-4 23:29:17 标题: 回复 32# 的帖子

不会多解吧？7个顶点已知，故看不到的三个面是确定的，那样的三面只有一个、确定的公共点嘛。比如削土豆，土豆端部削那样的、确定的三大刀，只有一个确定位置的公共点。
 
要在题目给出的平面上只用尺规求解我不会，如果给出一个实物，损坏了一个角，我上面说了用三角板或有一边为直线的任何形状的平板，靠住两个残面可以在第三个残面所在的平面上分别画出两条原物的棱，两棱的交点即为所求。此交点可是确定的，决非多解。
 
我没弄错吧？这套东西平时不用，生疏了。

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-4 23:43 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-9-4 23:33:28

此题有趣，把这个图看成顶视图的话，被挡住的顶点的（x，y）坐标值只与其它七个点的（x，y）值有关，与这七个点的z值无关。因此答案的确只有一个。很神奇。另外，有一点要说的是：如果在空间中求解，只要知道1楼图形边缘的六个顶点坐标就足够了；但是在平面上求解，就不行，必须用上全部七个（x，y）值，包括正对着我们、在1楼图形中间的顶点。因此作图求解被隐藏的顶点时，不用上正中间那个顶点是求不出来的。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-9-4 23:46 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-9-5 04:31:57

金眼睛说工程制图，我就制了一下。。做一个辅助平面和那些面交与abcdef，进而求出几个面的公共线，圈中就是那个隐藏的顶点。
我投机取巧了一点点，反正各个点的高度无关紧要，就取了特殊值。
半夜画了个图如下：

附件: question3.gif (2008-9-5 04:31:57, 50.03 KB) / 下载次数 55
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ3NTZ8MDU4NzRkMWF8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: 乌木 时间: 2008-9-5 08:32:23

看上去“左侧面”接近于平行四边形，“底面”和“后面”为任意四边形：
     凸六面体的反面问题－5.JPG

附件: 凸六面体的反面问题－5.JPG (2008-9-5 08:32:23, 31.64 KB) / 下载次数 40
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ3NjB8MWMxOWFhM2N8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: 乌木 时间: 2008-9-5 10:16:09

那辅助平面和六面体相交得到的六边形abefdc可用下面的类比理解之：
 凸六面体的反面问题－6.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-5 12:43 编辑 ]

附件: 凸六面体的反面问题－6.JPG (2008-9-5 10:16:09, 62.7 KB) / 下载次数 50
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ3NjF8MDJlYjdkOGZ8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: sl888000 时间: 2008-9-5 13:53:11

请求几何老师。。。。。。。。。。。。

作者: ggglgq 时间: 2008-9-5 13:58:11

          题目比较新颖别致，好题！加精了！         这两天比较郁闷，本不想上网，但楼主的题目太好了，为楼主助助兴！         本人给出一个思路，算是“抛砖引玉”，希望能引来更好的“玉”，呵呵！         如图，两“红线”为“中位线”的延长线，交于 B ，于是得到 “蓝线” AB 就是   六面体背面的一条棱线。

按此方法，再来一条棱线，背面那个顶点的位置 .......... 希望有更好的方法。                  本帖只是提供一个思路，其中的“中位线”太特殊了，可以换成其他“更好的线”。   看来三维（高维）空间简单的东西，在二维（低维）空间都不太好表示<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28">  呀！        

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-9-5 17:08 编辑 ]

附件: question.gif (2008-9-5 13:58:11, 13.51 KB) / 下载次数 50
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ3Njh8NmViMWU4Nzh8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: noski 时间: 2008-9-5 14:28:35

原帖由 ggglgq 于 2008-9-5 13:58 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=232146&ptid=13382" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>           题目比较新颖别致，好题！加精了！        这两天比较郁闷，本不想上网，但楼主的题目太好了，为楼主助助兴！        ...

ggglgq你太打击我了。。我画了一大堆，都是无用功，到头来你这个图才是我真正要表达的东西。。
题目果然符合“看上去很难”这个属性。。
精简图：

不过我35楼的图就当成是这个解法的推导吧。。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
细想一下，这几条中位线并不一定共面，所以在空间中并不一定有交点.....
所以这里，还是用了特例情况，让中位线能够相交。不管用什么方法，求出一种可能情况就大功告成了。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
PPS:事实证明，这个答案还不对，此解法最终版本参照69楼。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-9-7 19:49 编辑 ]

附件: question_ans.gif (2008-9-5 14:28:35, 11.62 KB) / 下载次数 46
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ3ODl8YjQ3NTE1YjR8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: 乌木 时间: 2008-9-5 14:59:41

我昨天说因为看不到的三个面是确定了的，故第8个顶点的位置是唯一的，这是假设看得到的7个顶点的位置是确定了的。现在想想我的假定有点问题：题目只给出了平面图，没有给出7个顶点的具体坐标，也就是说题目图没有表示各点和图所在平面的距离数值，只讲了是个凸六面体。
 
有人说答案不是唯一的，我现在想想也许他们是对的。noski和g老师说的我不大懂，只想问问，题目的六面体不是“正直”的，g老师图中两根红线到了实际的不规则六面体上延长时一定有交点吗？（平面图上相交的话，立体空间不一定相交吧？）
 
还有，两位得到的解一定是凸六面体吗？（仅据平面图可以把那看不到的三个面想像为是凸的，也可以想像为凹的吧？正如noski的另一帖介绍的“摇头龙”的脸部，实际是凹的，人眼会错看成凸的。）
 
下图中随便画了三个第八顶点，看上去都行，是否错了？错在哪里？或者，除了noski和g老师说的一个解之外，下图的这类“解”都代表非凸六面体？如果是的，题目的“凸六面体”条件很重要啊。或者下图的所谓“解”，是否三个面中至少有一个面不得不“折”为两个面了，整个不是六面体了？比如下面另一图的红色虚线那样，可能这个面沿此虚线折为两个面了，“四边形”破坏成两个三角形了。
 
讨教于各位了。
 
 凸六面体的反面问题－7.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-5 16:12 编辑 ]

附件: 凸六面体的反面问题－7.JPG (2008-9-5 14:59:41, 35.6 KB) / 下载次数 54
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ3OTR8Y2FjMDU0NjB8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

附件: 凸六面体的反面问题－8.JPG (2008-9-5 15:42:44, 9.08 KB) / 下载次数 61
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ3OTd8MGY2NzNiNTZ8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: noski 时间: 2008-9-5 15:37:36 标题: 回复 41# 的帖子

正因为g老师那两根红线在空间中不一定相交，所以我说这还是一种特例法。 
我算过了，不管这些顶点在空间中高高低低如何变化，只要是六面体，是凸的，那么被隐藏的顶点都会出现在上图的同一个位置。因此特例法可行。 
41楼的红、绿、蓝三个点，粗看上去似乎也没错，但是这个顶点是三个面的交点。位置随便画的后果是，这个点只能同时处于两个面上，而不可能同时处于三个面上，导致六面体的某一面的四个点不共面，一个四边形也就变成了两个不共面三角形。 
感觉可以用立体解析几何的方法证明出来。。

作者: 乌木 时间: 2008-9-5 15:44:31 标题: 回复 42# 的帖子

noski说得有道理。41楼我补充后看到了42楼，想到一起去了。

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-5 15:47 编辑 ]

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-5 15:49:52

这个特例其实就是答案,但需要证明是唯一答案.

作者: ares_g 时间: 2008-9-5 15:54:02

太棒了！<IMG alt=

src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/smile.gif" border=0 smilieid="1"> 有人已经非常接近了。

[ 本帖最后由 ares_g 于 2008-9-5 16:03 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-9-5 16:02:22

还有，noski说的“不管这些顶点在空间中高高低低如何变化，只要是六面体，是凸的，那么被隐藏的顶点都会出现在上图的同一个位置。”大概不是说有多个解，而是指，随着有关顶点位置的“高低”变化，所求顶点的高低位置就随着变；前者确定，后者也确定。对吗？
 
所以，44楼说要证明唯一性，那么，在只有一个那样的平面图的条件下，也只能给出不同条件下一系列顶点落在同一位置上而已。对吧？

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-5 16:10 编辑 ]

作者: ares_g 时间: 2008-9-5 17:48:24

noski的意思是说，我们看到的图是一个6面体在一个平面上的正投影，无论这个6面体在投影的方向上怎么被拉长或缩短，8个顶点在这个平面上的正投影位置是不变的。

作者: fang0402 时间: 2008-9-5 19:16:31

太可怕了，最怕几何作图题

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-5 22:13:29

终于到周末了，可以透口气了，看大家画得这么起兴，我也随便画了一个，不知对不对？<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">
 
————————————————————————————————————————————————————
 
本楼的附图线较多较乱，画得匆忙，只是按着大体想法在画，确有错误，为了不搅乱大家的思维，我将其删除。
 
我的思路及新的作图方法可以参考55#。
 

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-9-6 11:43 编辑 ]

作者: ares_g 时间: 2008-9-6 08:15:33

49楼的看上去挺别扭的，不一定对吧？能证明么？<IMG alt=

src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/shocked.gif" border=0 smilieid="6">

作者: 乌木 时间: 2008-9-6 08:49:46

49楼方法用于题目的图时，结果和noski、g老师的一样吗？
 
                  凸六面体的反面问题－9.JPG

附件: 凸六面体的反面问题－9.JPG (2008-9-6 08:49:46, 20.69 KB) / 下载次数 68
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ4MTd8ODg1ZjYyYWJ8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: qq171614899 时间: 2008-9-6 09:20:06

的确有点难啊.............

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-6 10:58:14

感觉金眼睛画的有问题吧？能说说思路吗？

作者: ares_g 时间: 2008-9-6 11:10:41

我把金眼睛的图弄下载验证了，是个错图。如果那些直线是棱的话，我们三维空间是不存在这种立体图形的。

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-6 11:18:23 标题: 我的思路

昨天画得比较匆忙，下面用LZ的图，说一下思路，我之所以没有用LZ的图，是因为交点太远了。
 
1：如附图中蓝线所示，画出顶面与底面的两个交点。
2：连接两个交点，得到顶面与底面的交线Line1。
3：对于背面的两个三角形平面，首先得到其在顶面的边与Line1的交点。
4：将交点与另一个三角形顶点相连，得到三角形平面与底面的交线。
5：将这样的两条交线相交，即可得到我们要求的那个顶点。
 
注：如果有棱平行的情况发生，也不影响该方法，只不过做直线的方式从连接两点，改变为过一点做平行线等等，只能使问题变得简单。<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-9-7 10:34 编辑 ]

附件: [顶点画法] 凸六面体问题.JPG (2008-9-6 11:18:23, 40.41 KB) / 下载次数 87
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ4MjV8NTkzODc4ZjB8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: ares_g 时间: 2008-9-6 11:36:46

答案正确，建议加分。题外话，万一上下两个面平行怎么办？

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-6 11:45:04

原帖由 ares_g 于 2008-9-6 11:36 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=232838&ptid=13382" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 答案正确，建议加分。题外话，万一上下两个面平行怎么办？

直觉反应，找个不平行的当底面。别告诉我全平行，那就太简单了，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28">

作者: ggglgq 时间: 2008-9-6 13:17:29

           加分，加分！金眼睛真乃数学天才！当然楼主也是！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-6 14:42:01 标题: 回复 55# 的帖子

数学天才还总向我提问题，诚心难为我啊

以后自己来吧，呵呵

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-9-6 14:54:20

都是强人,高深莫测啊,佩服

作者: xiaoshudian 时间: 2008-9-6 15:05:02

的确有点难啊..我感觉答案无数。

作者: Atato 时间: 2008-9-6 17:52:16

用三视图做吧.理论上行的通.

作者: jerold 时间: 2008-9-6 18:10:18

原帖由 金眼睛 于 2008-9-6 11:18 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=232824&ptid=13382" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 昨天画得比较匆忙，下面用LZ的图，说一下思路，我之所以没有用LZ的图，是因为交点太远了。   1：如附图中蓝线所示，画出顶面与底面的两个交点。 2：连接两个交点，得到顶面与底面的交线Line1。 3：对于背面 ...

延长线伸得太长了吧，如果很小的角度，交点岂画到天边，
应该考虑用平行线的方法代替，在小范围内画出顶点。

作者: veteranhit 时间: 2008-9-6 18:39:42

我觉得LS多虑了，这只是个方法啊，完全可以用坐标的计算来代替做线，多远都不怕了。
 
改成平行线怎么做呢，那方法就改变了啊，或许有新的方法么？那也可以啊

作者: Atato 时间: 2008-9-6 19:24:55

原来金眼睛已经给出答案了,,,改成平行的反而简单了.因为不用考虑平行的那两个面.

作者: 乌木 时间: 2008-9-6 20:41:56

那么，两种方法的结果属于误差范围之内还是有差别？
  凸六面体的反面问题－10.JPG

附件: 凸六面体的反面问题－10.JPG (2008-9-6 20:41:56, 29.58 KB) / 下载次数 49
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ4Mzl8NzMyMzlmZDN8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: noski 时间: 2008-9-7 00:15:42 标题: 回复 66# 的帖子

我的答案不对，金眼睛的对，SO COOL!

作者: rubik-fan 时间: 2008-9-7 00:30:00 标题: 回复40楼

我来证明一下这个方法就是正确的方法.首先中位线可以用尺规作出。其次，这两条绿线（各自的中位线）分别属于两个平面，那么其交点必然同时属于这两个平面，即在两面的交线上。而露出的那个已知顶点同时也是两个平面交线上的一点。则这两个点的连线（红线）必是后面看不到的那条棱线。第三，同样办法可以作出另外任意一条隐藏的棱线。交点即所求。至于考虑能不能交于一点，那是具体的作图规则与否的问题了。总之本方法应该是“满足题意要求的正确做法”而并非是“恰好可以在原图上实际指点出来的那一点”。

作者: noski 时间: 2008-9-7 01:08:43

楼主都说金眼睛的方法是正确的，我之前那个方法的确有错误之处。
不过我又把我的方法改进了一下，我相信这回做对了。

步骤：
1。做棱的延长线（蓝线）；
2。（红线），任意做一条，根据其与蓝线的交点做另外两条，保证了它们在同一个平面上；
3。（紫线），紫线的交点必在背面的棱上；
4。（青线），得到交点。
 
先前发贴说一定要用到正中间那个已知顶点，前面没用到，这回用上了。而且这个解法没有金眼睛解法的“棱平行”的问题。
哈哈，还是辅助平面。索分。。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-9-7 01:36 编辑 ]

附件: question5.gif (2008-9-7 01:24:45, 20.2 KB) / 下载次数 39
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ4ODN8ODJmNmQ1YTZ8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: ares_g 时间: 2008-9-7 08:03:25

<UL>
<LI>69楼的与我的答案是一样的，可以在小范围内对任意凸6面体进行第8顶点的确定。NOSKI，你太帅了！我认为此帖到此可以结束（当然，如果有其他方法不妨继续往下贴），谢谢捧场。<IMG alt="<img" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/hug.gif" border=0 smilieid="13"> src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/hug.gif" border=0 smilieid="13"></LI></UL>
 
<UL>
<LI>做最后的总结：1、这里天才很多；2、解题过程是做图，所以解答即是证明，依照公理、定理解开的就一定对；3、题目的图是2维的，做三视图恐怕是解决不了问题的；4、大家不同的解题过程让我也得到了学习、拓宽了思路；5、金眼睛的答案虽然正确，但只是理论上的可行，误差太大，我认为noski的答案更实用；6、如果哪位能人有兴趣，试一下更难的吧——如何画出一个类似题目中的图，这可不是“巧而不难”的喽。</LI></UL>
 
<UL>
<LI>顺便说一下，我用电脑画图水平不行，noski你的图我收藏了，建议给noski加分。</LI></UL>

[ 本帖最后由 ares_g 于 2008-9-7 09:01 编辑 ]

作者: flwb 时间: 2008-9-7 08:58:52 标题: 回复 69# 的帖子

第二条红线的第二点也是随意的。

作者: flwb 时间: 2008-9-7 09:04:47

这个题很好，有许多人认为有无数个点，（开始我也这么想），但仔细看，后面的三个面都可以看到三个点，三点成一面，后三面是确定的，那它们的交点肯定也是唯一的。

作者: 乌木 时间: 2008-9-7 09:22:08

原帖由 rubik-fan 于 2008-9-7 00:30 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=233379&ptid=13382" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 我来证明一下这个方法就是正确的方法.首先中位线可以用尺规作出。其次，这两条绿线（各自的中位线）分别属于两个平面，那么其交点必然同时属于这两个平面，即在两面的交线上。而露出的那个已知顶点同时也是两个平面交 ...

noski对自己的这方法后来纠正说：“细想一下，这几条中位线并不一定共面，所以在空间中并不一定有交点……”。所以，68楼你说的两条中位线不一定有交点。平面图上有，立体空间中不一定有。

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-7 09:25 编辑 ]

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-7 10:23:50

看来LZ对新方法还是持怀疑态度啊，呵呵，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 。我的方法可能不是很好，但没有误差的，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28"> 
 
又想到了一种新方法，就是在凸面体上砍上几刀，做法就是做平行线，附件图中颜色相同的线代表平行线。
 
如果应用我之前的方法交点太远，也可以用这种方法先处理凸六面体，这样交点就很近了。
 
注：棱平行并不影响我之前的方法，只不过做直线的方式从连接两点，改变为过一点做平行线等等，问题变得更简单。
 

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-9-7 11:10 编辑 ]

附件: [顶点画法] 凸六面体.JPG (2008-9-7 10:23:50, 36.48 KB) / 下载次数 61
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjQ4ODZ8YzI4MjI4ZWN8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: ggglgq 时间: 2008-9-7 10:38:43

         noski 的数学能力当然是顶呱呱的啦，加分支持！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/victory.gif" border=0 smilieid="14">                还有方法吗？只要是正确的方法（与前人不一样的方法，越多越好）   统统加分！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12">

作者: ares_g 时间: 2008-9-7 17:38:06

金眼睛的第二种方法也很好哦，显然比第一种方法要好。我所说的平行棱问题，是它平行而你不知道也无法证明到底是平行还是几乎平行。就好比一个平面上两条看上去平行的“直线”，从你的观察点顺着他们走了几公里也没发现交点，“距离”看上去没有变，你会认为他们平行还是不平行？

作者: noski 时间: 2008-9-7 19:38:54

顶74楼，也是一个好方法

另外楼主说：“试一下更难的吧——如何画出一个类似题目中的图，这可不是“巧而不难”的喽。”这是什么意思呢？

作者: ares_g 时间: 2008-9-7 19:59:14

就是说有一定难度，画出一个不规则凸6面体，当然每个棱是直的。6面体是否合理从做法中即可体现，或用49楼的方法进行验证——如果背面三条棱未交于一点显然是错误的图形。不知道这次说清楚没，看来noski兄要帮我解题了（因为题是好久以前想出来的，我现在也不知道该怎么画了嘿嘿）。 看你的了！

[ 本帖最后由 ares_g 于 2008-9-7 20:03 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-9-7 20:22:06 标题: 回复 78# 的帖子

还是没有明白你要画什么啊。画一个1楼那样的图吗？
如果不包括背面的点，那么其它7个顶点爱怎么画就可以怎么画的，然后再由这七个顶点用69楼的方法或者金眼睛的方法确定最后一个顶点，一个正确的凸六面体就画出来了吧。。

作者: flwb 时间: 2008-9-7 21:06:55 标题: 回复 78# 的帖子

你这个要求不合理,除非后面那个面不是平面,未见的那条棱不是直线!

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-9-7 21:11 编辑 ]

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-7 22:58:09

ares_g，你不用担心这个问题的，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/tongue.gif" border=0 smilieid="7"> <IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
一般的矢量图形软件都可以做到判断直线平行与否，原理是通过点的坐标来判断，如果误差已经接近点坐标的舍入误差，那么做出的交点的坐标也一定满足舍入误差要求，精度已经够高了。

作者: 大大 时间: 2008-9-8 13:51:18

凸6面体，有定义吗，答案不能理解

作者: ares_g 时间: 2008-9-8 19:43:34

noski你有没有试试随便画7个点，能用69楼的方法验证么？

作者: 咖啡味的茶 时间: 2008-9-8 22:14:13

先在用手机上，不方便，周末回去再说

作者: flwb 时间: 2008-9-10 09:09:54

把69楼的图右边那个角沿兰线向外拉一点,红线保持不变(实际上红线也是随意画的,按乌木老师的观点红线还不一定在面上呢,暂且不讨论它,就算它在面上吧),但最后的结果如下:
 未命名.jpg

可能是这样的吗?是不是哪里有问题?那些紫色线是在空间相交了吗?
紫色线的交点必须在后边那条棱的延长线上,69楼的结果才成立,怎么证明它们是相交于那一点而不是视觉上的重合?
 

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-9-10 11:53 编辑 ]

附件: 未命名.jpg (2008-9-10 11:53:46, 55.65 KB) / 下载次数 40
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjUxMTZ8ZjAyMjAwM2Z8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: flwb 时间: 2008-9-10 09:53:02 标题: 回复 55# 的帖子

如果透视焦点不像你画的那样在一个方向,还能成立吗?既然是任意的凸六面体,透视焦点怎么可能一定在一个方向?
 

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-9-10 10:05 编辑 ]

作者: ares_g 时间: 2008-9-10 11:27:49

flwb，如果您没学过或刚开始学立体几何，我可以帮你证明，如果你已经学过的话，建议自己想一下，应该会对你空间领悟力有帮助。

作者: flwb 时间: 2008-9-10 11:40:00 标题: 回复 87# 的帖子

那你就证明给我看吧,首先你要证明69楼图中的三条红线分别在U F R面上,然后你再证明依据这三条红线和棱的"交点"所做的三条紫色线确实在空间相交了。就从这里开始吧，在下领教了！

作者: noski 时间: 2008-9-10 12:53:29 标题: 回复 85# 的帖子

你画的图没错，也确定了被挡住的那个顶点，只不过你的图和楼主的不一样，导致那个顶点比较偏而已。仔细看看仍然是个六面体。

作者: flwb 时间: 2008-9-10 13:11:32 标题: 回复 89# 的帖子

我只是把右边的角向外拉了那么一点点,B面的对角就差了那么大,你把1楼的图的右角改一下试试!

作者: ares_g 时间: 2008-9-10 14:56:18

差距很大对呀，就象你把课桌腿差不多平地锯一快下来和45度切下来那样。证明嘛，蓝线上的三个点确定了一个辅助面，红线是辅助面与前面可见的三个面的交线，外面6个棱和辅助面相交于6个交点。因此3条紫线也都在辅助面上，完了。是不是证明紫线相交就可以了？

作者: flwb 时间: 2008-9-10 15:01:16 标题: 回复 91# 的帖子

是,不错,继续!!!!不过你这个辅助面也可以是浮在上面的,既然是空间,你怎么确定你是把点选在兰线上了?你只能说选了投影在蓝线上的一点!
 

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-9-10 15:07 编辑 ]

作者: flwb 时间: 2008-9-10 15:14:35 标题: 回复 91# 的帖子

举个例子,你与这个六面体之间隔着一块玻璃,你完全可以在玻璃上画出那样三条蓝线,你换一个角度就没法看了!

作者: flwb 时间: 2008-9-10 18:07:57

按照69楼的方法,用CAD作了个三维图:
 未命名2.JPG

这是翻过来的图:
 未命名4.JPG

中心有偏移,放大如下:
 未命名3.JPG

如果上下面都是正方形或长方形则没有偏移!(图忘记存了)

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-9-10 18:21 编辑 ]

附件: 未命名2.JPG (2008-9-10 18:07:57, 48.4 KB) / 下载次数 60
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjUxMjV8MTE4MGQzYjN8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

附件: 未命名3.JPG (2008-9-10 18:07:57, 34.32 KB) / 下载次数 59
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjUxMjZ8MjdjNmJlZDJ8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

附件: 未命名4.JPG (2008-9-10 18:20:43, 38.19 KB) / 下载次数 51
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjUxMjd8OGRjYzJjN2F8MTc0NDQ0NDMyM3wwfDA%3D

作者: ggglgq 时间: 2008-9-10 21:59:09

            呵呵，《立体几何》知识告诉我们 69 楼的画法没有问题。       楼上 CAD 画法只能说明 CAD 算法存在问题（或者误差）！

作者: ggglgq 时间: 2008-9-10 22:00:11

            敬请 flwb 加深《立体几何》知识的造诣！当然您的平面几何很不错！这从   《铺瓷砖问题(9.10更新—超难)》可以看出，并且已经给您加分了！          金眼睛已经更新<A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=13521">《铺瓷砖问题(9.10更新—超难)》</A>内容了，感兴趣的魔友可以   去看看、试试！

作者: ares_g 时间: 2011-11-21 22:29:32 标题: 回复 2# 的帖子

其实跟凹凸没关系，只是让大家别想得多。

作者: ares_g 时间: 2011-11-30 20:27:09

一直忘记一件事，感谢斑竹的关注和眷顾

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)