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标题: 不知道，不要紧 [打印本页]

作者: rongduo 时间: 2008-9-11 08:34:18 标题: 不知道，不要紧

(-1)^2=1，(-1)^3=-1，这一类计算大家很熟悉了。但-1的根号2次方等于多少？其答案却不太简单。你愿意尝试一下求解吗？
如果没解出来，那也不要紧，重要的是，我们应该知道数学中还有着这么一个问题。

作者: sl888000 时间: 2008-9-11 08:48:09

期待答案。。解不出来。。。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-11 09:00:58

复数就是实数和虚数的统称复数的基本形式是a+bi,其中a，b是实数，a称为实部，bi称为虚部，i是虚数单位,在复平面上，a+bi是点Z(a,b)。Z与原点的距离r称为Z的模|Z|=√a方+b方 a+bi中：a=0为纯虚数，b=0为实数，b不等于0为虚数。复数的三角形式是 Z＝r[cosx+isinx] 中x，r是实数，rcosx称为实部，irsinx称为虚部，i是虚数单位。Z与原点的距离r称为Z的模，x称为辐角。

[ 本帖最后由 kexin_xiao 于 2008-9-11 09:04 编辑 ]

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-11 09:01:50

形如a＋bi的数。式中 a，b 为实数，i是一个满足i^2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以 i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a 称为复数的实部，b称为复数的虚部，复数的实部和虚部分别用Rez和Imz表示，即Rez =a,Imz=b。i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。复数的产生来自解代数方程的需要。16世纪，意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根，但公式中引用了负数开方的形式，并把 i＝sqrt(-1) 当作数，与其他数一起参与运算。由于人们无法理解 i的实质，所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数，而称之为虚数。直到19世纪，数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释，并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用，人们才认识了这种新的数。
复数的四则运算规定为：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，
（a＋bi）•（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，
（c与d不同时为零）
（a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2）i，
（c+di）不等于0
复数有多种表示形式，常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式。
此外有下列形式。
①几何形式。复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
②向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
③三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式
z＝r（cosθ＋isinθ）
式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)
复数三角形式的运算：
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。
复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。

作者: 北方闲人 时间: 2008-9-11 09:02:31

不懂，等等看高人解答吧。。。。。。。。。。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-11 09:28:18

这个好象是高中学习的。

作者: 北方闲人 时间: 2008-9-11 09:30:19

怪不得,我没上过高中,汗啊.......

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-9-11 10:48:16

欣然真是牛人啊，呵呵，搞的这么专业

作者: sl888000 时间: 2008-9-11 10:48:56

真详细，受教了。。。。。。。。。。

作者: ggglgq 时间: 2008-9-11 11:36:36

             欢迎 rongduo 先生来 ★ 数学、算术趣题 ★ 作客，希望您能经常来这里   讨论问题。更欢迎您有空到 ☆ 最少步还原问题 ☆ 作客。  您是魔方理论的   资深专家，在魔方理论上有很深的造诣，发表了很多独到的理论，令在下佩服！                您的这个主题，好象不单单是一个探究问题的主题，好象更是如何做人的   主题！使我受益匪浅、思绪万千。做人，“不知道，不要紧”，最怕什么？   最怕“不知道，装知道”，甚至是“不懂装懂、胡说八道”。         举最近的例子，正六面体 N 阶魔方“簇”的奇偶性问题，是一个非常简单   的数学问题， earthengine 、乌木先生已经非常清楚简明地给出了证明，但   却得不到所谓的“专家”的认可，所谓的“专家”在那里“不知道，装知道”地   指出别人的“问题”（有些“问题”反映出“专家”自身的问题），真是可笑 ......           同样，这个所谓的“专家”只是论证了“循环变换”是特殊的“相似变换”，   便“不懂装懂、胡说八道”地得出“循环变换与相似变换等价而不是什么最小步   理论”的荒唐论调。         这个所谓的“专家”“不知道，装知道”的例子实在太多了，有些令人作呕，   不说也罢。只是希望魔方的初学者能够“明辨是非”，不要“人云亦云”地接受   不太正确甚至是错误思想的误导。                    呵呵，感慨呀！希望不要影响大家探讨 rongduo 先生的问题。 rongduo 先生   的数学问题，我认为 kexin_xiao 回答得相对比较全面了。但如果还有其他问题，   那我就“不知道”了，但“不要紧”，大家继续探讨！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17">

作者: Pakhang 时间: 2008-9-11 12:27:21

虚数啊。。我还没学

作者: 东莞的8 时间: 2008-9-11 12:30:56

虚数。。。。一个球面由于一条二维直线组成<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/titter.gif" border=0 smilieid="9">

作者: flwb 时间: 2008-9-11 12:58:35 标题: 回复 10# 的帖子

看来版主是一个喜欢惹是生非,争强好胜的人呀,日常生活中也这样吗?呵呵!

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-11 13:11:19

G大师也回帖了。其实大家有什么问题都互相讨论、研究，是一件很好的事情。
我不知道G大师和忍大师的年纪，估计要和我差不多，相对研究学问来说，咱们大家都要和乌木老师学习，他老人家那么大年纪还能保持一份帮助别人、研究学问的心情，这是我们都应该学习的。
能在一起研究问题就是一种缘份，希望大家都珍惜这个缘份！

作者: ggglgq 时间: 2008-9-11 13:18:37

          kexin_xiao 说得不错！本人只是有感而发！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17">

原帖由 flwb 于 2008-9-11 12:58 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=236406&ptid=13610" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 
<DIV class=t_msgfont id=postmessage_236406> </DIV>
<DIV class=t_msgfont>看来版主是一个喜欢惹是生非,争强好胜的人呀,日常生活中也这样吗?呵呵!</DIV>

呵呵，谁是“喜欢惹是生非,争强好胜的人”，看看理论区的那些帖子就知道了。          本人应该是“实事求是、爱憎分明、被人误解”的人！         上回为了“实事求是”和乌木先生争论， flwb 可是大大误解本人了。希望   今后我们在数学上经常合作，那时您就理解我是什么人了！呵呵！

作者: 乌木 时间: 2008-9-11 15:56:09

看了上面那些关于复数的叙述，似曾相识，这套东西忘得差不多了，此刻还是偷偷懒，直接问问：楼主提出的“-1的根号2次方”是否就是（－1）^1.4142…………？它是个复数吗？
 
要使A＝（－1）^1.4142……成立（设1.4142……＝b）的话，必须（－1）＝A开b次方，以及b＝log（－1）A〔－－指（－1）为底的、A的对数〕。我忘了，－1可以做对数的底吗？好像这涉及负数的常用对数，而后者好像是不存在的，对吗？正数有常用对数，小到零时，常用对数为负无穷大。负数的对数好像难以想像了。

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-11 16:28 编辑 ]

作者: rongduo 时间: 2008-9-11 20:21:48 标题: 回复 16# 的帖子

很少来本吧了，先向老朋友们道一声问候。
只因为有时看见中学生脱口而出说负1的根号2次方等于1，所以我就设计了这道题供大家玩。可喜的是，有网友立刻看出了答案是复数。
这道题的背景是复变函数论，和中学所学的对数有所不同，在复数中，是可以对负数求对数的。譬如 ln(-1) 可化为 ln(i^(2))=2· ln i 。而这道题的关键在于求出 lni ，庆幸的是，lni 完全可以用中学的复数知识推导而得。具体过程仍然留给大家尝鲜，这里只给出最终的答案：负1的根号2次方的一个值为e的根号2乘以π乘以i 次方，其中e等于2.7182…。

作者: rubik-fan 时间: 2008-9-12 02:29:27

不过我觉得kexin_xiao 也真搞笑，不知道从什么地方复制粘贴了一大堆东西弄到这里来。不知道不要紧啊。另外，乌木前辈说的是“负数能不能做底数的问题” 楼下回复的是 “在复数里是可以对负数求导的”虽然这是正确的，但是在这里负数是作为“真数”存在，而不是“底数”。

[ 本帖最后由 rubik-fan 于 2008-9-12 02:32 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-9-12 08:18:46

          还是乌木先生心细。我当时也误解 rongduo 先生的意思了，真不应该。                 大学学过《复变函数》，时间长久了，基本都忘光了，现在也没时间重新   拣回来。我就不发表意见了。 不知道，不要紧 ...... 向大家学习 呵呵。             正是因为我对《复变函数》基本都忘光了，所以 rubik-fan 提的问题我也   无法回答。因为忘记了这里运用“换底公式”成立否？工作也忙，没时间去   查找相关资料核实了。<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10">                   rongduo 先生不单研究“群论”，连《复变函数》的造诣也颇深！您好象   不是数学专业的，但您的数学爱好颇广泛，实在令人敬佩！

作者: 乌木 时间: 2008-9-12 10:46:01 标题: 回复 17# 的帖子

原来此处负数也可有对数！真是学到老，学不了。那么，是否这样：
 
                     ln－1问题.JPG

顺便问一下，A是否应是周期变化的一批值，上面仅为其中之一？
 
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-15 00:39 编辑 ]

附件: ln－1问题.JPG (2008-9-15 00:39:23, 21.8 KB) / 下载次数 82
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU0Mzl8YzAxYjA1NTB8MTc2MTMxODI3M3wwfDA%3D

作者: rongduo 时间: 2008-9-12 10:51:49 标题: 回复 19# 的帖子

老友好！
对你的褒扬，我深感不安。作为语文教师，我常常涉猎数学和计算机，算是不务正业，而所得非常有限。像复变函数，我所拥有的知识连皮毛也谈不上，至多只能算星星点点。所以，“造诣颇深”无论如何也不敢当。专此布达，以免引起其他网友的误会。
多年来，你和我们共同的朋友乌木、pengw、大烟头等坚守魔方吧这块阵地，仅这一点，功劳就不小，更何况你们各自不断有新的建树！相比于你们，近年我远离了魔方，显得用情不专，非常惭愧。作为补偿，今后我将多多回来，为诸位助兴。

作者: rongduo 时间: 2008-9-12 11:00:39 标题: 回复 20# 的帖子

乌兄做得非常好！
至于A，它是复数，应该是有一批值的。我在17#说“负1的根号2次方的一个值”，就是考虑到这一点。

作者: 乌木 时间: 2008-9-12 14:31:26

哈，真是字字珠玑，语文对数学的重要性可见一斑。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-12 16:58:05

看了几位老师的回复，非常惭愧，当时没有仔细看rongduo 老师的问题，以为就是简单的复数，所以找了一些知识提供给LZ，rubik-fan说我搞笑，我不是太接受，我没有那个意思，虽然我的水平的确有限，因为专业的原因，《复变函数》我没有学习过，所以没有了解，当时就是急于帮助LZ所以发了帖子，rongduo 老师的问题和乌木老师的解答我都看明白了，也学习了新的知识，非常感谢提供知识的各位老师。

作者: ggglgq 时间: 2008-9-12 20:08:41

          rongduo 先生过谦了，欢迎 rongduo 先生常来做客！           kexin_xiao 先生不必内疚，助人为乐没什么不对，大家互相学习嘛！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/handshake.gif" border=0 smilieid="17">

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-13 11:54:45

助人为乐,互相学习!

作者: 斯芬克斯之谜 时间: 2009-5-28 20:56:34

不懂，但也顶下！

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