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标题: 我也来一道数学题目——跟圆周率有关 [打印本页]

作者: rubik-fan 时间: 2008-9-19 23:15:16 标题: 我也来一道数学题目——跟圆周率有关

前几天偶然看到的，祖冲之对圆周率的贡献很大，其中著名的就是他提出了一个圆周率近似分数355 /113,华罗庚曾证明过比这个更接近圆周率的，分母起码要比366大。而现在有证明比这个跟接近圆周率的分母至少要比15000要大。群里有没有人能够证明出来？证明过程用初中水平的数学就可以完成。

作者: ursace 时间: 2008-9-20 01:43:19

355/113 = 3.141592920354 把3.14159265化成分数，绝对比355/113更精确无疑，且分母一定比366大

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-9-20 09:25:02

呵呵,二楼的很厉害哦

作者: zxl0714 时间: 2008-9-20 10:28:15

2楼的像你这样根本没法称之为证明，要证明这个必需把圆周率看成未知数。

作者: Cielo 时间: 2008-9-20 14:37:26

占个座位，先想想看

作者: [CN][CT]v 时间: 2008-9-20 15:28:27 标题: 下一个数是?

52207/16618=3.141593.....
 
我的思路:计算(355/113)-PI的差,然后差乘2并表示成分数,说明这个分数小于1/x,再说明这个分数加355/113,通分后分母大于1500.值得注意的是113是一个素数.
 
懒得写详细证明<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 

[ 本帖最后由 [CN][CT]v 于 2008-9-20 15:49 编辑 ]

作者: ares_g 时间: 2008-9-21 22:09:50

圆周率应该是用微分求得的吧，后来有了什么公式，4倍的1-1/3+1/5……吧，通过这种方法能证明么？

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-24 14:15:27

看大家对圆周率这么感兴趣，我也编程序算了一下，提供一下结果，证明不太会，呵呵！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28"> 
 
连分数方法：以前研究过农历闰月的置闰规则，知道可以利用辗转相除法将一个小数化为连分数，从而形成一个接近小数数值的分数序列，农历正是通过这种计算确定了19年7闰的规律，也就是纯小数部分接近7/19。圆周率也可以通过这个方法化为连分数，具体的方法大家可以去网上搜索，很简单的。
 
圆周率的辗转相除结果为（3，7，15，1，292，1……），也就是pi=3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+……)))))
可以看到292很大，如果从这儿舍去连分数部分，带来的误差不大，故pi≈3+1/(7+1/(15+1/1）=355/113
呵呵，这样的好事可不是常有的哦，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
计算机的计算结果（与连分数无关）：
共验证一千万个数，依次更加接近圆周率，1(3)4(13)5(16)6(19)7(22)疏率57-7(差别大) 57(179)64(201)71(223)78(245)85(267)92(289)99(311)106(333)113(355)密率16604-113 比率为16604/113≈147倍，对祖冲之的敬仰如滔滔江水啊，呵呵！
 
接下来： 16604(52163)16717(52518)16830(52873)16943(53228)17056(53583) 17169(53938)17282(54293)17395(54648)17508(55003)17621(55358) 17734(55713)17847(56068)17960(56423)18073(56778)18186(57133)……略去131个 尾数3-8依旧(巧合？规律？)，比率差别不大，最后的38交替33102(103993)33215(104348)
 开始混乱66317(208341)99532(312689)265381(833719)364913(1146408) 995207(3126535)1360120(4272943)1725033(5419351)再往下差别也不小13435351-1725033
 

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-9-24 15:39 编辑 ]

作者: rubik-fan 时间: 2008-9-24 22:23:45

回应2楼，你的方法只能是说明，你找到了一个比355/113更接近圆周率的分数，且其分母比某某数字大。但是不能证明“比355/113更接近圆周率的分数其分母至少为……”题意是说证明如下：在分母小于15000的所有分数中，不存在比355/113更接近圆周率的分数。就好比要证明这样一个命题：人类百米赛跑不可能突破5秒！结果你说：我要15秒才能跑完，所以得证，人类不可以突破5秒。

作者: suwilson0319 时间: 2008-9-24 23:08:02

好像用概率也可以求到近似值吧...

作者: whitetiger 时间: 2008-9-25 09:34:50

8#提供的连分数形式是有些作用的，只要证明截尾的连分数是最接近原数值的分数即可！
当然，也要证明，截尾越后面，分母越大。
 
2#提供了一个该问题的反面例证，但不是完整的证明。
就像要证明“天下没有白乌鸦”这个命题。你找到一只黑乌鸦，那么你的证明推进了一步；你找到了一万只黑乌鸦，那么这个命题成立的可能性更大了。但是只要找到一只白乌鸦，那怕是唯一的一只，这个命题也被推翻了。

作者: 金眼睛 时间: 2008-9-25 15:13:02

今天又想了一下，发现用连分数的方法是可以证明的，证明如下：
 
连分数的辗转相除法请参考<A href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/page6.html">http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/page6.html</A>
 
前面说了，圆周率辗转相除法的计算结果为（3，7，15，1，292，……）
 
舍去292后的部分，得到355/113，换句话说，如果将355/113=3.1415929203539823……辗转相除的话，292的位置上为无穷大
 
设292位置上的数为a，且连分数计算到a这一位，这个连分数可以表示为（355*a+333）/（113*a+106）
 
整理后连分数即：355/113*(1-(106-333*113/355)/(113*a+106))，a为正整数的情况下，随着a的减小，这个连分数的值减小。
 
我们看到连分数的分母为113*a+106，a越小，则可以保证连分数的分母变小。
 
比355/113同样接近pi并且a小的小数为：b=2*pi-355/113=3.1415923868256……
 
将其化为连分数，可得此时的a为145，（355*145+333）/（113*145+106）= 3.1415923837244……   已经小于b了
 
可见如果想让连分数接近pi的精度大于355/113，a至少为146，也就是说这个更好的连分数为：
 
（355*146+333）/（113*146+106）=  52163/16604
 
结论：如果当作证明题，已经证明了，a至少为145，也就是分母至少为16491，不仅如此，还可以求出下一个更好的连分数。

作者: mwx_1 时间: 2008-9-25 15:21:28

此题摘自"数学好玩"这本书
里面有很详细的证明过程

作者: rubik-fan 时间: 2008-9-25 16:15:08 标题: 提示一下

可以设一个分数p/q比355/113更接近圆周率，那么，(p/q-3.1415927)的绝对值<(355/113-3.1415927)的绝对值，后面这个绝对值为0.0000002……然后再通过绝对值不等式求解q的近似值。

作者: 刚吃完 时间: 2008-9-26 21:04:40

看的有点晕

作者: xiaoshudian 时间: 2008-9-26 21:07:01

呵呵,二楼的很厉害哦

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-26 21:13:00

学习一下.数学博大精深啊!

作者: bbshanwei 时间: 2008-9-27 14:30:12

8楼的金眼睛最爱研究这些东西了。

作者: lulijie 时间: 2008-10-21 21:52:02

用连分数的方法表示Pi，并证明下一个更好的近似连分数为52163/16604，并不能排除分母小于16604的分数就不是更好的Pi近似值。因为表示Pi近似值的分数，大部分不是用近似连分数表示的，例如3927/1250就是一个相当不错的近似值。 因此金眼睛的结论：如果当作证明题，已经证明了，a至少为145，也就是分母至少为16491，不仅如此，还可以求出下一个更好的连分数。   证明不能成立。他错就错在把近似连分数理所当然地看成是最好的Pi的近似值。就算这个想当然可能就是对的，它本身也要被证明。 当然他用程序来例举所有分母小于16604的分数，一个个排除，倒是可以证明。并且这样的程序很简单，每个分母仅需枚举一个分数即可。

作者: cj503 时间: 2008-10-24 10:56:05

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