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标题: 魔方旋转能否用矩阵表示 [打印本页]

作者: coolow 时间: 2008-9-23 14:53:19 标题: 魔方旋转能否用矩阵表示

魔方旋转能否用矩阵表示
一个1×1×2阶魔方，经实际确认，有四种状态，我们不考虑状态，而考虑旋转，发现旋转需要符合两个条件，一是旋转四次恢复原样，二是旋转一次，两次和三次，都不能恢复原样，那么有没有这样的一个数，任何的数乘以它，乘以四次，变回那个数的本身，而乘以一次两次三次都不能呢？有，设为X，则X^4=1，解之得，X=±1或X=±i，±1不符合要求，因为它们的平方都是1，而±i都符合条件，为了方便，我们可设一次旋转为i。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:31 编辑 ]

作者: coolow 时间: 2008-9-23 14:54:40

一个1×2×2阶魔方（我们可以拿一个2×2×2阶魔方，把红蓝黄和红蓝白之间固定，把红绿黄和红绿白之间固定，把橙蓝黄和橙蓝白之间固定，把橙蓝黄和橙蓝白之间固定），
我们拧魔方时，发现只能进行180°旋转，因为90°旋转后会发现，不继续拧该面，则需要在被连着的地方拧，根本拧不动。如果我们把橙绿颜色放在左后，会发现，只旋转前面和右面，就能形成该魔方的所有状态。我们先只考虑前面，有两个要求，一是旋转两次恢复原样，二是旋转一次不能恢复原样，对于一个二阶矩阵
                              F=┌sinα  cosα┐，
                                    └cosα -sinα┘

不可能等于单位矩阵，而且，自己的平方是单位矩阵，符合这样的要求，再考虑右面，可设为
                              R=┌sinβcosβ┐，
                                    └cosβ–sinβ┘
也符合要求，我们会发现1×2×2阶魔方只有六种状态，而且(FR)^3=E，设E为单位矩阵，经计算可知，需要α-β=2kπ±2π/3（k=0，±1，±2，±3……），

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:22 编辑 ]

作者: coolow 时间: 2008-9-23 14:56:33

例如，我们会设α=11π/6，β=7π/6（抱歉，第一反应是ω=-1/2+i√3/2，弄了这么两个怪数），所以

F=┌-1/2 √3/2┐ R=┌-1/2 -√3/2┐
└ √3/2 1/2┘ └ -√3/2 -1/2┘

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:24 编辑 ]

作者: coolow 时间: 2008-9-23 14:57:53

2阶魔方180°旋转问题，实际上，1×2×2阶魔方的旋转只比2阶魔方180°旋转少了一个U，而γ=π/2符合α-γ=2kπ±2π/3（k=0，±1，±2，±3……）和β-γ=2kπ±2π/3（k=0，±1，±2，±3……），所以设
U=┌1  0┐
  └ 0 -1┘

2阶魔方问题，需要考虑f^2=F，r^2=R和u^2=U，而且全都符合旋转四次恢复原样，并且旋转一次，两次和三次，都不能恢复原样，我们发现
u=┌1  0┐
  └ 0  i┘
符合要求，至于f和r，由于计算量的问题我还没有求出来，抱歉。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:26 编辑 ]

作者: coolow 时间: 2008-9-23 14:58:25

同事国鬼说，有不少魔方的计算机算法都是通过矩阵实现的，不知是不是如上的矩阵，三阶的计算量会更大，以上的如果学过复数，三角和线性代数都应该能够看懂，当然错误一定会有的，说白了，就是鲁毕克群是什么，可不可以利用矩阵来表示。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:27 编辑 ]

作者: mwx_1 时间: 2008-9-23 14:58:53

高中我矩阵这单元考试从来都是通不过的- -

作者: 乌木 时间: 2008-9-23 15:18:32

1楼的“一个1×1×2阶魔方”是否笔误？

作者: 卫垚 时间: 2008-9-23 15:21:53

应该不是笔误。
楼主的意思，是只有一个方向能够旋转，而其他两个方向都不能旋转。比如把普通三阶模仿某一面的9个块粘住，其余的18（或17）个块粘住，就成为一个1×1×2阶魔方

作者: 卫垚 时间: 2008-9-23 15:24:00

关于二阶矩阵的四阶元，楼主已经给出
u=┌1 0┐

└ 0 i┘
还可以考虑
r=┌1 0┐

└ 0 -i┘
f=┌0 i┐

└ i 0┘
这三个四阶元是线性无关的。

作者: 乌木 时间: 2008-9-23 15:30:10 标题: 回复 8# 的帖子

那么，1楼说 “1×1×2魔方”，2楼说“1×2×2魔方”，是两个问题，对吗？ 
 
此外，李世春教授的《魔方的科学和计算机表现》一书里面提到点群、矩阵什么的，是否就是本帖说的？（我不懂这些东西。）

作者: 卫垚 时间: 2008-9-23 15:32:41

应该是。1×2×2不能用三阶魔方粘成，是把二阶魔方上下粘起成四块形成的。

作者: earthengine 时间: 2008-9-23 16:07:18

原帖由 coolow 于 2008-9-23 14:58 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=247668&ptid=14113" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
       同事国鬼说，有不少魔方的计算机算法都是通过矩阵实现的，不知是不是如上的矩阵，三阶的计算量会更大，以上的如果学过复数，三角和线性代数都应该能够看懂，当然错误一定会有的 ...

理论上，这类有限群都应该能够用矩阵表示。只不过寻找这个表示比较困难罢了。一般较通用的方法是用置换群表示，比较简单直观。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-23 16:50:52

LZUID49，高手啊，学习了

作者: puangenlun 时间: 2008-9-23 16:51:39

这个牵涉到群论！！！

作者: bbshanwei 时间: 2008-9-23 21:05:17

矩阵！看了脑袋疼，记得靠计算机数学的时候一到矩阵让我算了半张卷子，很累的。

作者: coolow 时间: 2008-9-25 08:17:52

回乌木兄
1楼和2楼是两个问题了，李教授的书我还没有拜读，在网上搜索一下，发现了目录，感觉是用置换群表示的
回卫垚兄
您给出的两个矩阵都是四阶元，但不符合其平方为F和R
回earthengine兄
我恶补了一下群论，发现用置换群确实简洁，矩阵只是自己的一个想法而已
另外，我的一二三楼的情况都可以用实际检验，但四楼的推理，没有实际检验，可能会和实际矛盾，最多算个猜想而已。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:28 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2008-9-25 10:15:59

占个座来学习！

作者: coolow 时间: 2008-9-26 18:46:31

告诉大家一个好消息，经过计算，我发现
┌(1+sinα)/2-i(1-sinα)/2 (cosα)/2+i(cosα)/2┐
└(cosα)/2+i(cosα)/2 (1-sinα)/2-i(1+sinα)/2┘
的平方是
┌sinα cosα┐
└cosα -sinα┘
还有一个消息是，我5楼中的URF相乘的积是U、R、F中的一个，即URF=U或URF=R或URF=F，而U、R、F的平方是单位矩阵E，这与实际不符。实际应该为（URF）^4=E，（URF）^2≠E。所以我的想法整个是错误的，至少不能用二阶矩阵
┌sinα cosα┐
└cosα -sinα┘
来表示一个二阶魔方的180°旋转，看来还是应该用置换群。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:29 编辑 ]

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