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标题: 魔方旋转能否用矩阵表示 [打印本页]

作者: coolow    时间: 2008-9-23 14:53:19     标题: 魔方旋转能否用矩阵表示

魔方旋转能否用矩阵表示
一个1×1×2阶魔方,经实际确认,有四种状态,我们不考虑状态,而考虑旋转,发现旋转需要符合两个条件,一是旋转四次恢复原样,二是旋转一次,两次和三次,都不能恢复原样,那么有没有这样的一个数,任何的数乘以它,乘以四次,变回那个数的本身,而乘以一次两次三次都不能呢?有,设为X,则X^4=1,解之得,X=±1X=±i,±1不符合要求,因为它们的平方都是1,而±i都符合条件,为了方便,我们可设一次旋转为i

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:31 编辑 ]
作者: coolow    时间: 2008-9-23 14:54:40

一个1×2×2阶魔方(我们可以拿一个2×2×2阶魔方,把红蓝黄和红蓝白之间固定,把红绿黄和红绿白之间固定,把橙蓝黄和橙蓝白之间固定,把橙蓝黄和橙蓝白之间固定),
我们拧魔方时,发现只能进行180°旋转,因为90°旋转后会发现,不继续拧该面,则需要在被连着的地方拧,根本拧不动。如果我们把橙绿颜色放在左后,会发现,只旋转前面和右面,就能形成该魔方的所有状态。我们先只考虑前面,有两个要求,一是旋转两次恢复原样,二是旋转一次不能恢复原样,对于一个二阶矩阵
                                  F=sinα  cosα┐,
                                      cosα -sinα┘

不可能等于单位矩阵,而且,自己的平方是单位矩阵,符合这样的要求,再考虑右面,可设为
                                  R=sinβcosβ┐,
                                      cosβ–sinβ┘
也符合要求,我们会发现1×2×2阶魔方只有六种状态,而且(FR)^3=E,设E为单位矩阵,经计算可知,需要α-β=2kπ±2π/3k=0,±1,±2,±3……),

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:22 编辑 ]
作者: coolow    时间: 2008-9-23 14:56:33

例如,我们会设α=11π/6,β=7π/6(抱歉,第一反应是ω=-1/2+i3/2,弄了这么两个怪数),所以

F=
-1/2     3/2┐  R=-1/2  -3/2

   └ 3/2    1/2┘    -3/2   -1/2

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:24 编辑 ]
作者: coolow    时间: 2008-9-23 14:57:53


2
阶魔方180°旋转问题,实际上,1×2×2阶魔方的旋转只比2阶魔方180°旋转少了一个U,而γ=π/2符合α-γ=2kπ±2π/3k=0,±1,±2,±3……)和β-γ=2kπ±2π/3k=0,±1,±2,±3……),所以设

U=1  0
  └ 0 -1

2
阶魔方问题,需要考虑f^2=Fr^2=Ru^2=U,而且全都符合旋转四次恢复原样,并且旋转一次,两次和三次,都不能恢复原样,我们发现

u=1  0
  └ 0  i
符合要求,至于fr,由于计算量的问题我还没有求出来,抱歉。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:26 编辑 ]
作者: coolow    时间: 2008-9-23 14:58:25

同事国鬼说,有不少魔方的计算机算法都是通过矩阵实现的,不知是不是如上的矩阵,三阶的计算量会更大,以上的如果学过复数,三角和线性代数都应该能够看懂,当然错误一定会有的,说白了,就是鲁毕克群是什么,可不可以利用矩阵来表示。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:27 编辑 ]
作者: mwx_1    时间: 2008-9-23 14:58:53

高中我矩阵这单元考试从来都是通不过的- -
作者: 乌木    时间: 2008-9-23 15:18:32

1楼的“一个1×1×2阶魔方”是否笔误?
作者: 卫垚    时间: 2008-9-23 15:21:53

应该不是笔误。
楼主的意思,是只有一个方向能够旋转,而其他两个方向都不能旋转。比如把普通三阶模仿某一面的9个块粘住,其余的18(或17)个块粘住,就成为一个1×1×2阶魔方
作者: 卫垚    时间: 2008-9-23 15:24:00

关于二阶矩阵的四阶元,楼主已经给出
u=┌1   0┐

    └ 0   i┘
还可以考虑
r=┌1   0┐

    └ 0   -i┘
f=┌0   i┐

    └ i   0┘
这三个四阶元是线性无关的。
作者: 乌木    时间: 2008-9-23 15:30:10     标题: 回复 8# 的帖子

<P>那么,1楼说 “1×1×2魔方”,2楼说“1×2×2魔方”,是两个问题,对吗? </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>此外,李世春教授的《魔方的科学和计算机表现》一书里面提到点群、矩阵什么的,是否就是本帖说的?(我不懂这些东西。)</P>
作者: 卫垚    时间: 2008-9-23 15:32:41

应该是。1×2×2不能用三阶魔方粘成,是把二阶魔方上下粘起成四块形成的。
作者: earthengine    时间: 2008-9-23 16:07:18

原帖由 <i>coolow</i> 于 2008-9-23 14:58 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&amp;pid=247668&amp;ptid=14113" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 同事国鬼说,有不少魔方的计算机算法都是通过矩阵实现的,不知是不是如上的矩阵,三阶的计算量会更大,以上的如果学过复数,三角和线性代数都应该能够看懂,当然错误一定会有的 ...
<br>理论上,这类有限群都应该能够用矩阵表示。只不过寻找这个表示比较困难罢了。一般较通用的方法是用置换群表示,比较简单直观。<br>
作者: kexin_xiao    时间: 2008-9-23 16:50:52

LZUID49,高手啊,学习了
作者: puangenlun    时间: 2008-9-23 16:51:39

这个牵涉到群论!!!
作者: bbshanwei    时间: 2008-9-23 21:05:17

矩阵!看了脑袋疼,记得靠计算机数学的时候一到矩阵让我算了半张卷子,很累的。
作者: coolow    时间: 2008-9-25 08:17:52

回乌木兄
1楼和2楼是两个问题了,李教授的书我还没有拜读,在网上搜索一下,发现了目录,感觉是用置换群表示的
回卫垚兄
您给出的两个矩阵都是四阶元,但不符合其平方为F和R
回earthengine兄
我恶补了一下群论,发现用置换群确实简洁,矩阵只是自己的一个想法而已
另外,我的一二三楼的情况都可以用实际检验,但四楼的推理,没有实际检验,可能会和实际矛盾,最多算个猜想而已。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:28 编辑 ]
作者: Cielo    时间: 2008-9-25 10:15:59

占个座来学习!<br>
作者: coolow    时间: 2008-9-26 18:46:31

告诉大家一个好消息,经过计算,我发现
┌(1+sinα)/2-i(1-sinα)/2 (cosα)/2+i(cosα)/2┐
└(cosα)/2+i(cosα)/2 (1-sinα)/2-i(1+sinα)/2┘
的平方是
┌sinα cosα┐
└cosα -sinα┘
还有一个消息是,我5楼中的URF相乘的积是U、R、F中的一个,即URF=U或URF=R或URF=F,而U、R、F的平方是单位矩阵E,这与实际不符。实际应该为(URF)^4=E,(URF)^2≠E。所以我的想法整个是错误的,至少不能用二阶矩阵
┌sinα cosα┐
└cosα -sinα┘
来表示一个二阶魔方的180°旋转,看来还是应该用置换群。

[ 本帖最后由 coolow 于 2009-1-14 13:29 编辑 ]




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