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标题: 圆内接四边形的问题 [打印本页]

作者: flwb 时间: 2008-10-2 21:25:04 标题: 圆内接四边形的问题

圆内接四边形的最长边过圆心,必须具备哪些条件? 
 
补充:圆内接四边形圆心在四边形之外,必须具备哪些条件?
 
我的题出得有问题,我本来的意思是:已知凸四边形的四个边长,如何判断其顶点共圆时,其中一条边是否过圆心，或圆心位于四边形之外。

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-10-2 23:09 编辑 ]

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-10-2 21:29:27

沙发,呵呵,顶楼主,等待强人回答

作者: aben306 时间: 2008-10-2 21:35:37

这道题不用初三的学生,可能初二的妹妹们就能行了.

作者: veteranhit 时间: 2008-10-2 21:44:10

前提已经是圆内接四边形了，那只需要不在最长边上任一顶点到最长边中点的距离等于最长边长度一半不就行了？呵呵
 
补充问题的解答：原理是两条边的中垂线的交点就是外接圆的圆心，其实画一画两条中垂线就能知道结果了，呵呵！
数学方法：先找最长边的一个邻边，求出其中点到最长边中点的距离a，设这条边的一半为b，最长边的一半为c。
如果a*a+b*b<c*c，则由余弦定理，此三角形为钝角三角形，圆心在最长边之外；反之，圆心在最长边之内。
 

[ 本帖最后由 veteranhit 于 2008-10-2 22:50 编辑 ]

作者: chuan1392010 时间: 2008-10-2 23:33:14

初中我还能做，上了大学现在恐怕是做不了了

作者: veteranhit 时间: 2008-10-3 11:59:05

LZ的意思是如何通过圆内接凸四边形边长之间的关系来判断吧？ 那么试试这个，我推导出来的，不一定正确，设最长边为d，其他三边长为a，b，c，设J=(a^2+b^2+c^2)*d+2*a*b*c-d^3 则J>0，圆心在四边形内；J<0，圆心在其之外；J=0，在最长边上

作者: 咖啡味的茶 时间: 2008-10-3 18:01:15

确实。。。答案很简单。1.这条边过圆心。2.它在某一条直径的一侧

作者: Cielo 时间: 2008-10-3 23:01:10

同意6楼的答案： （用余弦定理） 最长边为d，比较d（d^2-a^2-b^2-c^2）与 2abc 即可。

作者: 金眼睛 时间: 2008-10-6 13:19:18

赞同前面两位，首先要作一对角线x，设a，d，x和b，c，x分别形成三角形。
 
因为圆内接四边形对角互补，由余弦定理：(a^2+d^2-x^2)/(2*a*d)+(b^2+c^2-x^2)/(2*b*c)=0，可以解出x^2。
 
在三角形adx中，d为最长边，其所对应的圆周角余弦值（x^2+a^2-d^2）/2*a*x。
 
因边长恒正，所以只要判断x^2+a^2-d^2的符号情况就可以确定最长边与圆心的关系了。

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