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标题: 一个超难转换神奇的变量 [打印本页]

作者: 伤心邪神 时间: 2008-10-18 22:35:33 标题: 一个超难转换神奇的变量

一个人以速度V1向前走，但是与V1夹角为θ，距离为L的地方，有一条狗以速度V2向人跑来，V1，V2始终不变，V2大于V1，但是狗每时每刻的改变速度，使其速度V2方向始终指向人。
问：当狗追上人时，时间T用V1，V2，L，θ表示。
这个问题给我的第一印象是应该无限分割但是，数据太多我无法算出，望有人教教我怎么做。要不是狗的速度方向改变的话，我找算出来了。V2这个变量太难掌握了。

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-10-18 22:57:00

晕了，楼主好像常出这样的题哦，等待乌木来回答。

作者: yzl-34 时间: 2008-10-18 23:19:23

楼主出的题目有问题，速度是矢量有方向也有大小

但你一时说V2始终不变，一时又说V2方向改变，那到底V2的速度有没有改变？

作者: nezitenmf8 时间: 2008-10-18 23:39:24

v2改变方向，速度不变，看了题目脑中直接出现了一个模型，以狗的原始位置为圆心，L为半径做一个圆，人走在一条弦上。。。

作者: rubik-fan 时间: 2008-10-18 23:47:41

容我一段时间作图。然后做思考、。应该不是很难的

作者: nezitenmf8 时间: 2008-10-19 00:31:58

呃，自己都没信心，狗向人跑来，θ角是锐角，v2t>v1t。
 
 (v2t)^2=(v1t)^2+L^2-2*(v1t)(v2t)Cosθ 如果是中学题目应该是这么搞吧。。。
 
学的全还给老师了，大学物理大学数学全忘了，中学的还记得一点。。。余弦定理还是百度出来的。。。

作者: kexin_xiao 时间: 2008-10-19 10:23:36

推荐金眼睛来做!

作者: rubik-fan 时间: 2008-10-22 05:02:07

放弃计算了。大学期间学的数学都忘了。我觉得应该是用微积分来计算。思路是：每个时间t，角有一个大小。过一个时间差。有一个角度差。这个角度差就用相对改变量表示出一个等式。然后取极限吧。不知道可以不可以。我觉得狗与人的夹角本身是有问题的，如果是锐角，即狗在人的前方。如果是钝角，则在人的后方。这个有区别。楼主认为呢？

作者: noski 时间: 2008-10-22 18:50:37

看到这个题想到了空空导弹的追踪法制导方式。。目标飞机的速度是V1，导弹的速度是V2，那么，在导弹的燃料烧完之前能击中飞机的导弹位置范围是一个奇怪的图形。。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-24 21:13:44

取人参考系，则狗的速度是v1和v2的合成，如图 狗水平方向合速度为：v1+v2*cos(夹角) 则在任意dt时间内水平方向狗的位移（相对人）为：dsx=(v1+v2*cos(夹角))dt 狗指向人方向的合速度为：v2+v1*cos(夹角) 则在任意dt时间内狗和人之间的距离变化量为：dsr=(v2+v1*cos(夹角))dt 虽然在任何时间夹角都不一样，但是由于是同一个时间同时将上面两式子联立，所以对于任何时间t，到t＋dt时间有： cos(夹角)=(dsx/dt-v1)/v2=(dsr/dt-v2)/v1 右边等号化简后有： dsx*v1-v1^2*dt=dsr*v2-v2^2*dt 得到： dt=(dsx*v1-dsr*v2)/(v2^2-v1^2) 因为v1,v2是常量，故两边积分后dsx是狗在水平方向的位移，为：L*cos(夹角)（追上时人和狗重合），dsr为狗和人的距离变化量，为：L 带入上面式子有： t=(L*cos(θ)*v1-L*v2)/(v2^2-v1^2)
上面解法一定正确。。只是本人计算能力不一定很强。。。如果有错请大家指出。。。
 
。。。刚刚注意到。。。是北大某教授讲竞赛的时候讲到的。。。不是很难的那种（我才高三么）……

[ 本帖最后由 qq280833822 于 2008-10-24 21:17 编辑 ]

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作者: lulijie 时间: 2008-10-25 21:07:39

右边等号化简后有： dsx*v1-v1^2*dt=dsr*v2-v2^2*dt 得到： dt=(dsx*v1-dsr*v2)/(v2^2-v1^2) 哈哈，正负号搞反了,结果应该是（变形为）    T=[L/（V2+V1）]*[（V2-v1cosθ）/（v2-v1）] 特例： 1. θ =0 ，即人狗面对面， T=L/（V2+V1） 2. θ =180 ，即狗在直线上从后面追人， T=L/（V2-V1），v2>v1 才能追上。 3. V2=V1 且θ 不等于0，T无穷大，永远追不上，是不是答案还有问题呢？   因为只要θ足够小，即使V2小于v1，都能追上，V2=V1却反而不能追上？？？

作者: lulijie 时间: 2008-10-25 22:04:54

出现上述的V2＝v1的奇点问题，我考虑了很久，认为肯定是题目理解错了。 一个人以速度V1向前走，这个速度是以地面为参考系，狗始终以速度V2向人跑来，应该是以什么为参考系的呢？ 若是以地面为参考系，狗始终以速度V2向人跑来，那么对人来说：狗是这两个速度的合成，这个速度方向就永远不是对着人，也就是说从人来看，狗不是向着自己跑来。或者反过来，对狗来说，自己永远不是向着人跑的，这就与日常常识相背。 所以，题目出的还是不清楚，得出错误的结论也就在所难免了。

作者: lulijie 时间: 2008-10-25 22:11:51

狗始终以速度V2向人跑来，若是以人为参考系的。那么，对人来说，狗是作匀速直线运动，初始距离为L，那么追上时间就是L/V2，这与题意又不符。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-25 22:32:26

狗始终以v2向人跑来的意思是在任何时间，狗的速度都指向人，不论人的速度如何。也就是说在人的参考系，狗的运动方向并不指向人

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-25 22:33:51

v2=v1的情况结果确实如你所说，是不可能追上的，这个时候狗相对人的运动轨迹是个抛物线，人在这条抛物线的焦点上。因为抛物线和焦点不可能有公共点，所以不可能追的上

作者: lulijie 时间: 2008-10-25 23:12:26

那V2小于V1为什么反而能追上呢，速度慢些反而能追上，不是有问题么?

作者: warming 时间: 2008-10-25 23:14:52

这是什么年级的题目啊?``看不明白``

作者: lulijie 时间: 2008-10-25 23:36:42

若题目的意思是狗始终以速度V2向人跑来，是以地面为参考系的。 那么以人为参考系，狗的运动分成  狗指向人方向的运动加上垂直该方向的运动（v1*sin(夹角)） 狗指向人方向的合速度为：v2+v1*cos(夹角) 则在任意dt时间内狗和人之间的距离变化量为：dsr=(v2+v1*cos(夹角))dt 时间等于T时dsr的积分等于L    ，但时间等于T时，因为狗的运动是两个运动的合运动，应该同时加上垂直该方向的运动，那么人狗怎么能够相遇呢。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-26 10:59:24 标题: 回复 18# 的帖子

实际的情况是在相遇的一瞬间狗相对人的角速度趋向于无穷大，但是时间趋向于0，所以他们的乘积还是有限的。

另外，转过无穷多的角度之后相遇在物理上也是允许的。（因为走过的路程是有限的）虽然在实际上是不可能实现的

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-26 11:01:40 标题: 回复 16# 的帖子

因为狗的速度越大，他在垂直方向的速度也会越大，我们暂时无法估计这个速度的影响，但是结果告诉我们，这个速度的变大确实在更大程度上影响到了相遇的可能性

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-26 11:18:20 标题: 回复 18# 的帖子

题目意思的理解肯定没有错，因为确实有这么一道题。。。毕竟和这道题类似的题我已经做过至少5遍以上。关于这道题，结论一定不会错，感觉上的奇点，矛盾都是我们无法在现实中模拟这个物理模型导致的。。。当然这道题中的角度，我的理解可能有偏差。因为我刚刚看了去年舒幼生的讲义，发现有一道题和这个完全一样。那道题给了张图，是狗从后面追人。也就是说我在解答过程中的角度其实是题目中所说的角度的补角。所以分子上的减号应该变为加号，如果是讲义上的那道题的话因为狗是从后面追来的，也比较容易想得通。至于我理解后的题。。。确实就是这么回事，凭感觉去认为v2越大，一定越容易追上是不合理的

作者: aizheming 时间: 2008-10-26 20:01:08

貌似高中物理做过类似的题啊~~现在全忘了回头自己推推吧~~呵呵

作者: lulijie 时间: 2008-10-26 21:17:29

回复19＃ 以人为参考系，狗的速度不是指向人，你把它分解成始终指向人方向的运动加上垂直该方向的运动，假设相遇所用的时间为T，始终指向人方向的运动的积分（T时间内），你认为刚好等于他们初始的距离L。我认为错误就发生在这里。因为垂直该方向的运动不能忽略掉，它的积分绝大多数情况下不等于0，必然使总运动偏离，而不能相遇。比如若人狗初始角度为钝角，那么垂直方向的运动速度分量，相互之间的角度全部在90度之内，它们不可能被抵消掉，它们的积分绝不可能等于0。因此在你所算的时间(指向人的运动的积分=L时的时间），绝对不是他们相遇的时间。 我举个例子，就能证明你这种看法是错的。 1个人向东以速度V1匀速运动，1条狗在人正北方向，相距r，以v2做顺时针匀速圆周运动，V2/V1=Pi/2  (Pi为圆周率)，那么在时间 r/v1 后，人狗刚好相遇在人初始位置的正东距离r的地方。 以地面为参考系，在t时刻，狗做圆周运动，扫过的角度 θ=v2* t/r=Pi * v1*t/2r 以人为参考系，狗的运动是以v2做顺时针匀速圆周的运动和向西以V1速度运动的合运动。 把它分解为始终指向人方向的运动和垂直该方向的运动的合运动 那么始终指向人方向的运动的速度 Vt 在t时刻为v1*sinθ ＝v1*sin(（Pi*v1/2r）*t) 按照你的看法，那么 Vt 对时间的积分（从t＝0 到 t= r/v1）应该等于它们初始距离r 而Vt 对时间的积分＝v1 * (2r / (Pi*v1))  *  (1-cos（Pi*/2))=2r/Pi       显然不等于r。 而按照它们相等所算出的时间也必然不是它们相遇时的时间。

作者: lulijie 时间: 2008-10-26 23:23:05

用电脑编程序，验证公式 T=[L/（V2+V1）]*[（V2-v1cosθ）/（v2-v1） 竟然结果惊人的吻合。 我快糊涂了。

作者: lulijie 时间: 2008-10-26 23:59:15

在23＃中     那么始终指向人方向的运动的速度 Vt 在t时刻为v1*sinθ 此句错了。总算发现错误所在，可以安心的去睡觉了。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-27 17:26:26

因为对于dt时间,是可以把运动当成直线的,所以分解后的垂直速度就是我说的那个东西,你所说的偏离量很容易计算出是个高阶小量,直接可以忽略不计.所以对时间的积分就是接近路程

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2008-10-27 17:28:18

还有..对你能够用编程来模拟这个运动,我表示佩服...反正我是想了半天也没想出怎么用编程来模拟这个东西.....

作者: lulijie 时间: 2008-10-27 20:52:21

如果你会任何一种程序语言，用一个循环语句就可解决问题。我用VB语言编的。程序非常简单。 ----------------------------------------------------------------------- '人初始位置（0，0），狗初始位置（x0，y0） 't时刻时，人位置（v1*t，0），狗位置（x，y），r为t时刻人狗的距离 'dt 为t时刻的微小时间变量 'ξ为极小量，若r小于ξ，则认为r已等于0 '在t到t+dt的时间内，认为狗做匀速直线运动 x = x0 y = y0 v1 = 10 v2 = 20 dt = 0.01 ξ = 0.0001 t = 0 '以上初始量可随意设置，dt和ξ可随意设置到足够小 Do While True   r = Sqr((v1 * t - x) * (v1 * t - x) + y * y)   If r < ξ Then Exit Do             '人狗相遇后离开循环   x = x + v2 * (v1 * t - x) / r * dt   y = y + v2 * (0 - y) / r * dt      '获取t+dt时刻狗的位置   t = t + dt Loop MsgBox ("相遇所需时间为" & t)    '显示相遇时间。结束程序。 -------------------------------------------------------------------------- 因为V2小于V1时，循环体中，r会越来越大，所以循环体中还要加上语句，若r变大时退出循环，以免进入死循环。 v2等于v1时，得到的相遇时间很大，这是因为ξ尽管是极小量，但不等于0，dt也不能取得足够小，这要受电脑计数的精确度和运行速度的影响，但很大的时间值可以认为无穷大，也就是它们不可能相遇。

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