魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 魔方贴色与最少步的关系 [打印本页]

作者: 大烟头 时间: 2005-11-26 09:48:47 标题: 魔方贴色与最少步的关系

目前主流的n阶魔方是六色没图案的，相对研究最少步玩法的人来说是更难的。

非主流的魔方是六色有图案的，这相当于每个魔方块上都有个记号，更容易研究的，所以玩理论的一些偷懒之人就爱玩这种。

十二面体的五魔方有十二色与六色之分，用同样的步骤打乱，这两种贴色的五魔方最少步一样吗？这些难题难度太大了，怕是没人会研究的。可能有人会说我没五魔方是没办法研究的。

那好，那就来研究一下三阶魔方的贴色吧：常见主流的三阶是六色没图案的，那把它改成对面颜色一样的三色没图案的三阶，用同样的步骤打乱，复原时这两种贴色的三阶最少步一样吗？

呵呵，我们论坛有一大堆理论定律，是驴是马出来溜溜就知道好不好用了。

作者: 乌木 时间: 2005-11-26 11:02:14

1楼问题我还空白着，但联想到下面魔方，其中部分块被切的同时，也是去掉

了一些颜色：两色棱块变单色棱块，三色角块变两色角块。普通魔方的一些

非法态在下面这种魔方中看上去完全是合法的。当然这样说法不好，会引起

混乱。应该说由于少了一些颜色，使有关的块的状态表现不出来了。

不知此例与1楼问题有关否。

表观看，竟可以单单交换两个棱！

[此贴子已经被作者于2005-11-26 14:31:39编辑过]

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作者: 大烟头 时间: 2005-11-26 12:23:48

没错，就是与乌木先生所说的一样，柱形三阶虽然结构与每种块的变化规律与标准三阶是一样的，由于贴色不同，使得复原难度变小了，最少步是否变少？我就不懂了。

还有这种两色的三阶，它的总状态数是多少？其最远状态的最少步又是多少呢？

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作者: 清道夫2 时间: 2005-11-26 13:03:37

贴一种色,复原难度最小

作者: 大烟头 时间: 2005-11-26 13:44:44

以下是引用清道夫2在2005-11-26 13:03:37的发言：
贴一种色,复原难度最小

清兄表达得不够专业，应该这样表达的：

N阶魔方一色定律：N阶魔方贴一种颜色时，魔方总状态数是１，最远状态的最少步是０。

两色以上的理论我就不知道了，请教了。

[em01][em01][em01]

[此贴子已经被作者于2005-11-26 13:47:30编辑过]

作者: 大烟头 时间: 2005-11-26 13:58:44

楼上我笑談的“N阶魔方一色定律”，是针对标准正六面体的N阶魔方。不然这定律会失郊的。

如２楼与３楼的三阶魔方，除了色的变化外还有形的变化，就算让它贴上一种颜色时，这魔方的总状态数是多少？最远状态的最少步是多少？说不定连忍大师都搞不定！论坛里所有的大师我看都没法搞定！

[em05]

作者: 清道夫2 时间: 2005-11-26 14:14:14

大烟头此言打飞机了!N阶定律及魔方状态跟你着什么色一点关系也没有!状态远近是那些搞乱动的玩家关心的事,如果仅仅是状态,不用忍大师跟你赌,俺来就行了,不妨一试?真不可思议,大烟头还停留在着色制胜的化石年代!

[此贴子已经被pengw于2005-11-26 14:28:40编辑过]

作者: 清道夫2 时间: 2005-11-26 14:19:14

大烟头N阶魔方一色定律：N阶魔方贴一种颜色时，魔方总状态数是１，最远状态的最少步是０。

真不敢相信这是我们敬爱的大烟头木匠师傅的高论!

作者: 大烟头 时间: 2005-11-26 14:50:48

以下是引用清道夫2在2005-11-26 13:03:37的发言：
贴一种色,复原难度最小

呵，清兄真善变啊，我还以为你的想法与我一样的。

清兄说：“N阶定律及魔方状态跟你着什么色一点关系也没有!”，这话还真的很高明，与魔方有点关系的都被打上“基于N阶定律。。。。。。”，没办法解决的就成了一点关系都没有！

别慌张，我在这个主题中还没讲忍大师的“N阶定律”与这“色”有关。

最后请问一下“N阶魔方一色定律”错在哪里啊？

[em06][em01]

作者: ggglgq 时间: 2005-11-26 15:48:26

呵呵，烟头兄弟不愧为结构专家，拿自己的专长来学习理论，好方法！

作者: ggglgq 时间: 2005-11-26 15:50:53

以下是引用大烟头在2005-11-26 9:48:47的发言：

那就来研究一下三阶魔方的贴色吧：常见主流的三阶是六色没图案的，那把它改成对面颜色一样的三色没图案的三阶，用同样的步骤打乱，复原时这两种贴色的三阶最少步一样吗？

烟头兄弟构造的这种魔方存在步长为 2 的“循环变换”，正是因为它存在
类似这种特殊的“循环变换”，因此决定了这两种贴色的魔方最少步多数会不一样！
（当然不排除一样的可能，毕竟他们有很多共性的东西嘛）

比如：对于同一变换 L L R R U U D D B B F' 这两种魔方的最少步数分别为

1.正常正六面体三阶没图案的魔方最少步 F B B L L R R U U D D（ 11 步）；

2.正六面体三阶对面颜色一样的三色没图案的魔方最少步 F（ 1 步）。

一般人提的问题都可以成为“世界级难题”，更何况咱们烟头兄弟了，实在是
难呀！很多问题肯定不是一下子能解决的，就留着慢慢解决吧。用不同的理论，不同
的思路，大家“集思广益”，即便不会很快得到结论，有些好的成果也可以呀。俗话
说：积少成多，聚沙成塔嘛！

作者: 大烟头 时间: 2005-11-26 19:21:17

谢谢G老师，G老师的例子是个很好的回答。

这说明不同贴色的魔方用同样的步骤打乱，复原时最少步是不一样的。

我还有两个问题：

１、这三色三阶的总状态数是多少？

（忍大师与清兄这个最拿手了，这个问题就留给他们来答了，不要小看这样的计算，我觉得三色的比六色的更难算出）

２、三色三阶的最远状态的最少步是几步？

（这是一个难题啊！目前已知六色三阶是22到23步之间，我想这三色的肯定的是没六色三阶那么多了。呵，大家不妨来猜一下）

[em23][em23][em24]

作者: 清道夫2 时间: 2005-11-27 00:50:41

欲哭无泪!

作者: ggglgq 时间: 2005-11-27 18:32:03

对照乌木先生的 2×2 平面魔方，把它改成对角颜色一样的两色 2×2 平面魔方，
对比乌木先生的 2×2 平面魔方看看。

哗，剪枝不少！最远状态：才 2 步。

作者: ggglgq 时间: 2005-11-27 18:33:56

下面是她（两色 2×2 平面魔方）的“循环变换球面网”。

最远状态：才 2 步。显然，她的“循环变换球面网”不是“态态平等”！

作者: ggglgq 时间: 2005-11-27 18:37:15

希望对她（两色 2×2 平面魔方）的研究能对原题的求解有所帮助。

作者: 清道夫2 时间: 2005-11-28 19:47:01

如果更改贴色也能简化魔方变换的复杂性,那么贴一种色,什么问题都不求而解了,并且可能大猩猩都比一些专家玩的好.

[此贴子已经被作者于2005-11-28 19:54:39编辑过]

作者: 清道夫2 时间: 2005-11-29 10:49:07

G先生真是言之有理,将飞机改成火车是困难不小,不过我还是赞成你的掩耳盗玲的观点,一个满身是疮的病人,穿上一套人模狗样的外套,你能说他是病人吗?哈哈哈...

G先生的循环变换理论真是不赖,为什么不拿出来算几个最小步给大家开开眼?何必退化到平面二阶去做小学教员,不委屈吗?

[此贴子已经被pengw于2005-11-29 11:14:17编辑过]

作者: earthengine 时间: 2008-8-27 11:35:51

三色魔方的状态数可以通过把正常魔方的总状态数除以正常魔方限180度转动（这种转动永远把三色魔方从复原态变到复原态）所能达到的状态数来进行计算。

具体到三阶，在限180度转动时，角块分成了2个族，棱块分成了3个族，每个族有24种变化，且都没有方向的变化。但是，因为每次我们在两个角块族、两个棱块族上置换，因此角块和棱块总的置换次数总是偶的，于是，总的状态数为24^5/4种。如果考虑中心块，由于每个中心块可以独立转动，但只能180度，所以再多乘以2^6即可。

于是把正常魔方状态数除以这个数字，就得到三色魔方的状态数。

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-27 17:23 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-27 11:44:08

魔方贴色与最小步应该没有关系嘛，怎么又开始玩穿衣游戏，如果魔方着一种色，还有色向吗？失望

作者: 咖啡味的茶 时间: 2008-8-27 18:45:07

我也想参与期中啊。。

作者: 大烟头 时间: 2008-8-27 20:03:20

原帖由 earthengine 于 2008-8-27 11:35 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=224916&ptid=1611" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 三色魔方的状态数可以通过把正常魔方的总状态数除以正常魔方限180度转动（这种转动永远把三色魔方从复原态变到复原态）所能达到的状态数来进行计算。具体到三阶，在限180度转动时，角块分成了2个族，棱块分成了3 ...

一个打乱后的三色三阶魔方，层转180是成另一种状态。

作者: earthengine 时间: 2008-8-28 13:35:27

原帖由 大烟头 于 2008-8-27 20:03 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=225328&ptid=1611" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

 
一个打乱后的三色三阶魔方，层转180是成另一种状态。

这个跟计算没有关系。需要证明的只有一个事实：任何正常魔方状态经过颜色映射到的三色魔方，如果处于复原态，那么原来的魔方必然可以通过层转180度还原。如果这个证明了，那么计算就是正确的。 证明要点如下： 1、从一个正常魔方状态出发，我们可以把它映射到一个三色魔方状态，以及一个可以180度转还原的状态。这个映射是不会重复的。于是正常魔方的状态数不会多于三色魔方状态数和180度状态数的积。 2、从一个三色魔方状态和一个180度状态出发，我们可以映射到一个正常魔方状态，也不会重复。于是三色魔方状态数与180度状态数的积也不会多于正常魔方状态数。 于是两者的数目只能是正好相等。

作者: 大烟头 时间: 2008-8-28 20:04:44

三色魔方就是普通三阶魔方用三种颜色贴纸贴成，相对的两个面颜色一样，这三色魔方的状态数计算：
 
以一个角块为参照点时：
角位：7！
角色：3^6
棱位：12！/2^6
棱色：2^11
中块位：6
三色魔方的状态数：7！× 3^6 ×12！×2^5 × 6
 
有疑义可以讨论。
 
---------------------------------------------------------------
以上计算有误，我重新算一下，以魔方外为参照点。
 
三色魔方中八个角块从贴色上来说有两种，有四个白红蓝顺时针的贴色，有四个白红蓝逆时针的贴色。
 
角位总状态：8！/（4！*4！）
角色总状态：3^7
 
三色魔方中12个棱块从贴色上来说有三种，有四个白红棱块、有四个红蓝棱块、有四个蓝白棱块。
 
棱位总状态：12！/（4！*4！*4！）
棱色总状态：2^11
 
三色魔方中的6个中块从贴色上来说有三种，两个红色中块、两个蓝色中块、两个白色中块，相同颜色的中块是在对面
 
中块位置总状态：3*2
 
三色魔方总状态数＝[8！/（4！*4！）] * （3^7） * [12！/（4！*4！*4！）] * （2^11 ）* （3*2） / 24
 
24是魔方外为参照点时的同态。
 
 

[ 本帖最后由大烟头于 2008-8-29 13:33 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-28 20:41:51

又在玩脱衣游戏

作者: 大烟头 时间: 2008-8-28 20:56:07

不同贴色方案的魔方总状态数是不一样的，这总状态数不是每个人都能算得出来，要有一定的魔方常识与空间想象力才行。忍大师你对这脱衣游戏不一定能搞得定，不然这三色魔方总状态数是多少的问题在理论这么多年还没人答出，只说明理论区无人也。

作者: earthengine 时间: 2008-8-28 22:02:17

原帖由 大烟头 于 2008-8-28 20:04 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=226408&ptid=1611" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
三色魔方就是普通三阶魔方用三种颜色贴纸贴成，相对的两个面颜色一样，这三色魔方的状态数计算：
 
以一个角块为参照点时：
角位：7！
角色：3^6
棱位：12！/2^6
棱色：2^11
中块位：6
三色魔方的状态数 ...

你这个计算把许多重复（或者说在贴色方案下不可分辨）的状态算重复了。比如，如果两个面对角线上的两对角块都在原始位置，交换这两对角块可以得到同一状态。这在你的公式里如何体现？

作者: 大烟头 时间: 2008-8-28 22:07:14

原帖由 earthengine 于 2008-8-28 22:02 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=226529&ptid=1611" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 你这个计算把许多重复（或者说在贴色方案下不可分辨）的状态算重复了。比如，如果两个面对角线上的两对角块都在原始位置，交换这两对角块可以得到同一状态。这在你的公式里如何体现？

把你的计算列式列出来我看下，我要分析下我们两人的计算方式有哪些出入

作者: earthengine 时间: 2008-8-29 11:28:53

要计算状态数，我们需要知道的是：什么样的状态被看成是一样的。而这个可以通过观察三色复原态所对应的魔方态来定义。以下等式是一个广为人知的定理：

正常态数目=状态子集数目 * 对应于子集中复原态的状态数目

根据这个定理，我们来看看正常魔方的状态有多少种可以看成复原态。显然每个角块可以有4个位置，共2组，每个棱块可以有4个位置共3组。每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。至于方向，在复原态下方向是不能动的。
于是得到
对应于复原态的状态数＝4!^5/4
正常魔方状态数＝3^8*2^12*8!*12!/12
故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5)

考虑中心块方向的时候比较复杂，要取决于如何定义这个状态子集。这里就略去。

作者: smok 时间: 2008-8-29 12:07:17

什么叫魔方的相同状态？！哈哈哈，楼上的三阶计算方法没有一点技术和变换规则含量，纯粹是手工组装数据除以穷举找到的错误数加一，那么请问全色三阶又该如何计算？

作者: smok 时间: 2008-8-29 12:51:08

对全色魔方状态数计算原理和计算方法的理解，涉及到对魔方状态理论的全部检验，也就是说状态数计算原理的构造和计算值的准确性，可以完整验证一个状态理论。仅仅用一种理论去推导计算法，是验证这个理论的最好方法，更可以验证一个人对理论理解正确与否。 
 
29楼完全是基于手工组装而得到的数据与理论无关，只有基于理论构造的计算原理才能通行N阶。

[ 本帖最后由 smok 于 2008-8-29 13:58 编辑 ]

作者: 大烟头 时间: 2008-8-29 13:34:34

以上计算有误，我重新算一下，以魔方外为参照点。
 
三色魔方中八个角块从贴色上来说有两种，有四个白红蓝顺时针的贴色，有四个白红蓝逆时针的贴色。
 
角位总状态：8！/（4！*4！）
角色总状态：3^7
 
三色魔方中12个棱块从贴色上来说有三种，有四个白红棱块、有四个红蓝棱块、有四个蓝白棱块。
 
棱位总状态：12！/（4！*4！*4！）
棱色总状态：2^11
 
三色魔方中的6个中块从贴色上来说有三种，两个红色中块、两个蓝色中块、两个白色中块，相同颜色的中块是在对面
 
中块位置总状态：3*2
 
三色魔方总状态数＝[8！/（4！*4！）] * （3^7） * [12！/（4！*4！*4！）] * （2^11 ）* （3*2） / 24
 
24是魔方外为参照点时的同态。
 
这下应该没错了吧，魔方状态数的计算真是不容易哦<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> 
 
欢迎指正

作者: smok 时间: 2008-8-29 13:57:08

哈哈哈，又在用女扮男装的把戏忽悠别人，小心你的数学不够用哦，你以为你懂魔方就咋的，俺懂数学就懂宇宙，魔方算个啥玩意儿，哈哈哈

[ 本帖最后由 smok 于 2008-8-29 14:01 编辑 ]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2008-8-29 14:42:56

楼上有点攻击倾向噢。。

作者: ocp 时间: 2008-8-29 15:24:44

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 大烟头 时间: 2008-8-29 17:10:15

总状态数计算哪里要用多高的数学水平，会一点初中组合排列就够用了！忍小马甲什么时候成了霍金了？自称“俺懂数学就懂宇宙”？是不是受某人影响了

，狂哦

作者: earthengine 时间: 2008-8-30 06:38:09

原帖由 大烟头 于 2008-8-29 13:34 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=227114&ptid=1611" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
以上计算有误，我重新算一下，以魔方外为参照点。
 
三色魔方中八个角块从贴色上来说有两种，有四个白红蓝顺时针的贴色，有四个白红蓝逆时针的贴色。
 
角位总状态：8！/（4！*4！）
角色总状态：3^7 ...

你的公式与我的吻合。 

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-30 06:40 编辑 ]

作者: ocp 时间: 2008-8-30 06:40:39

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: ocp 时间: 2008-8-30 06:43:06

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: qq171614899 时间: 2008-8-30 07:30:36

大烟头太强了！！！！！

作者: 大烟头 时间: 2008-8-30 10:01:56

原帖由 earthengine 于 2008-8-29 11:28 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=226928&ptid=1611" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 每个角块可以有4个位置，共2组，每个棱块可以有4个位置共3组。每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。至于方向，在复原态下方向是不能动的。于是得到对应于复原态的状态数＝4!^5/4 正常魔方状态数＝3^8*2^12*8!*12!/12 故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5) 考虑中心块方向的时候比较复杂，要取决于如何定义这个状态子集。这里就略去。

“每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。”能还详细解说下？“故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5)  ”你这个答案与我计算出的好象不一样，是哪里有出入？
--------------------
我计算的结果是：
三色魔方总状态数＝[8！/（4！*4！）] * （3^7） * [12！/（4！*4！*4！）] * （2^11 ）* （3*2） / 24
＝3^8 * 2^12 * 8！* 12！/ (24*4！^5)
 
这种三色三阶的中块、角块、棱块的位置变化相互间可以无关联变换。由于有相同贴色的块，所以单从外观上看这角块与棱块都可以独自完成两个块对换。
 

[ 本帖最后由大烟头于 2008-8-30 10:24 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-30 16:06:33

原帖由 大烟头 于 2008-8-30 10:01 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=227476&ptid=1611" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

 
“每次转动必然同时动两个角块组，2个棱块组，于是角块组本身只能偶变换，棱块组本身也只能偶变换。”能还详细解说下？“故三色魔方状态数＝(3^8*2^12*8!*12!)/(3*4!^5)  ”你这个答案与我计算出 ...

仔细考虑之后，发现你是对的。我的错误在于误以为180状态集就是复原态三色魔方状态集，其实不然。 首先，并不是所有的复原态三色魔方状态集都对应合法的状态。比如，在三色还原态下单纯调换两个面对角线上的角块，得到的仍然是三色还原态。这说明三色魔方装配状态数可以包含一些在全色下非法的状态。但是，色向的错误是无法校正的，因此状态的数目要加倍。 其次，即使仅考虑全色状态集里合法的状态，调换两个面对角线上的角块和同一面上两个相对的棱块，这在180度子集下是不可能还原的，但仍然是合法状态。状态数目再次加倍 所以我想，如果讨论的是“合法装配状态“数目，那么答案应该是： 不考虑位置错误的魔方状态数=3^8*8!*2^12*12!/6 (角块方向＋角块位置＋棱块方向＋棱块位置／角块方位正确＋棱块方位正确） 其中三色复原态状态数=4!^5（5组块独立变换，色向全部正确） 于是三色魔方装配状态数目是3^8*8!*2^12*12!/(6*4!^5) 这个数字好像是你计算结果的4倍。当然我这里是以中心块为坐标了，而你用了角块参照。但是最后除以２４一般是没有参照的时候才要，你这里有参照，所以为何最后要除以２４呢？要是不除这个，那么就变成你的是我的６倍。采用角坐标的时候，是否应该除以６而不是２４呢？ 再仔细想了一下，发现原来是这样的： 在正常魔方里面，要是固定一个角块，剩下只有７个角块，于是原来８！要除以８，同时角块本身方向已经定死，所以再要除以３消去该角块的方向变化。但是在三色里面，固定一个角块把数目从８!/4!^2变成7!/(4!*3!)。分子减少到８分之一，分母则减少到４分之一，因此只要除以２。所以消去方向变化之后，正好只要除以6。于是两种计算法就一致了。 

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-8-30 16:35 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-8-31 09:48:32

贴一种色，魔方最小步是零步，哈哈哈

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