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标题: 问个比较老的问题"尺规作图" [打印本页]

作者: 625845786 时间: 2008-11-29 22:23:35 标题: 问个比较老的问题"尺规作图"

用尺规做图的方法在圆内画正多边型,但无法画出正7边形是为什么,顺便问下正5边型的画法和原理

作者: 625845786 时间: 2008-11-29 22:25:52

自己占SF,顺便说下,以前在乌木老师的帖子里看过,现在找不到了,网上流传的看不明白

作者: Cielo 时间: 2008-11-30 00:52:49

占个板凳想想先！

作者: Mr瞿 时间: 2008-11-30 01:57:36

哦，哦，尺规作图的话偶会六边形！（最简单）呵呵！5，7不会啊！

作者: kexin_xiao 时间: 2008-11-30 14:56:18

正五边形尺规作图
　　【尺规作图的简介】

　　尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

　　尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

　　平面几何作图，限制只能用直尺、圆规。在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。在这以前，许多作图题是不限工具的。伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。

　　若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。

　　■尺规作图的基本要求

　　·它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：

　　·直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

　　·圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。

　　■五种基本作图

　　·作一个角等于已知角

　　·平分已知角

　　·作已知直线的垂直平分线

　　·作一条线段等于已知线段

　　·过一点作已知直线的垂线

　　■尺规作图公法

　　以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：

　　·通过两个已知点可作一直线。

　　·已知圆心和半径可作一个圆。

　　·若两已知直线相交，可求其交点。
[编辑本段]
正五边形尺规作图　　·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

　　·若两已知圆相交，可求其交点。

　　【尺规作图的著名问题】

　　尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：

　　■三等分角问题：三等分一个任意角；

　　■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

　　■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

　　以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

　　还有另外两个著名问题：

　　■正多边形作法

　　·只使用直尺和圆规，作正五边形。

　　·只使用直尺和圆规，作正六边形。

　　·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。

　　·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。

　　·问题的解决：德国数学家高斯，在他仅20岁左右，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边·形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，即n=2k（2的k次幂）或 2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下角标）其中，p1，p2，…，ps是费马素数．解决了两千年来悬而未决的难题。根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．

　　· 费马素数：17世纪的费马，他研究了形如Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．

　　费马的一个著名猜想是，当 n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：

　　F0＝3，F1＝5，F2＝17，

　　F3=257，F4=65 537

　　验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：

　　F5＝641×6 700 417．

　　当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？

　　更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．

　　当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．

　　■四等分圆周

　　只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。

　　【尺规作图的相关延伸】

　　用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图

　　■只用直尺及生锈圆规作正五边形

　　■生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB = BC = CA。

　　■已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。

　　■尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达。

　　10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！。

　　【尺规作图所推动的】

　　由词条以上内容可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.

　　正五边形的画法]

　　(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:

　　①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.

　　②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB.

　　③以 C为圆心,已知边长 AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.

　　④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.

　　(2) 圆内接正五边形的画法如下:

　　①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP.

　　② 平分半径ON,得OK=KN.

　　③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长.

　　④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.

　　3.民间口诀画正五边形

　　口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."

　　作法:

　　画法:

　　1.画线段AB=20mm,

　　2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.

　　3.在l上连续截取GH,HD,使 GH=5.9/5*10mm=19mm,

　　HD=5.9/5*10mm=11.8mm

　　4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,

　　5.连结DE,EA,EC,BC,CD,

　　五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.

　　这里提供以下两种作法仅供参考：

　　1、已知边长作正五边形的近似画法如下：（1）作线段AB等于定长l，并分别以A、B为圆心，已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K. （2）以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CH=2/3AB （3）以 C为圆心，已知边长 AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M、N. （4）顺次连接A、B、N、C、M各点即近似作得所要求的正五边形.

　　2、圆内接正五边形的画法如下：（1）以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和 AP. （2）平分半径ON，得OK=KN. （3）以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长. （4）以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形。

作者: zhangleiye 时间: 2008-12-2 23:28:04 标题: 回复 5# 的帖子

能全部看懂吗？大哥在哪高就？

作者: nileibin 时间: 2008-12-13 21:29:57

正5就不懂...看5L的长见识了.

作者: alinit 时间: 2008-12-13 23:38:43 标题: 正五边形得用黄金分割的画法比较好

正五边形得用黄金分割的画法比较好

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