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标题: 最少点确定矩形的问题 [打印本页]

作者: lulijie 时间: 2009-1-7 00:04:32 标题: 最少点确定矩形的问题

看了  “骰迷” 的    『以最少點決定唯一長方體問題』，我觉得有必要先讨论简单的平面问题。
为了避免有些人没看清题意，还在那里瞎狡辩，我用通俗的话描述题目。
***
一个平面上有一个矩形，让你在它的边上选N个点，但不能随便选，要达到以下要求：
在这个平面上除了你原先的矩形以外，不存在另一个矩形，使得这N个点都在其边上。
那么N的最小值是多少？
***
『以最少點決定唯一長方體問題』的话题中已经有高手说出了答案，N＝5。
我来说说自己的想法。
定X轴，Y轴
在解析集合中，矩形的四条边用表达式表示如下
直线1 y＝k1*x+b1
直线2 y＝k2*x+b2
直线3 y＝k3*x+b3
直线4 y＝k4*x+b4
然后根据限制条件确定系数（k1,b1,k2,b2,k3,b3,k4,b4），从而确定矩形。
第一个限制条件有两条直线平行，比如k1=k2                                        等式1
第二个限制条件另外两条直线平行，比如k3=k4                                     等式2
第三个限制条件前两条和后两条直线垂直，比如k1*k3＝-1                      等式3
（实际上k1,k2,k3,k4四个系数只有一个自由度）
其他N个限制条件（N个点在矩形的边上)
   第i个点的坐标为（Xi,Yi），那么这个点肯定满足上述4个直线方程中的一个，比如第一个
   那么  Yi＝k1*Xi+b1                                                                               等式4
   N个点确定N个等式，总共有3＋N个等式
这3＋N个等式中，有8个未知数，要确定唯一解，总等式数不能小于总未知数。
故N的最小值为5。

作者: lulijie 时间: 2009-1-7 00:23:27

下面讨论 “骰迷” 的『以最少點決定唯一長方體問題』
空间多少个点决定长方体？
长方体6个面，6个面的方程，18个未知数
z＝a*x＋b*y＋c
N个点确定N个等式
有2个面平行，多了1个等式
另外2个面平行，又多了1个等式
还有2个面平行，再多1个等式
前2个面与另外2个面垂直，多1个等式
前2个面与后2个面垂直，再多1个等式
总共N＋5个等式
故N的最小值为18－5＝13

作者: Cielo 时间: 2009-1-7 00:33:00

lz 从信息量的角度来看，厉害！

作者: phoenias 时间: 2009-1-7 01:07:57

没看懂，LZ很猛，顶一下。。。

作者: 水磨鱼 时间: 2009-1-7 02:05:53

看不懂``

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-7 07:32:53

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 00:23 发表
下面讨论 “骰迷” 的『以最少點決定唯一長方體問題』
空间多少个点决定长方体？
长方体6个面，6个面的方程，18个未知数
z＝a*x＋b*y＋c
N个点确定N个等式
有2个面平行，多了1个等式
另外2个面平行 ...

呵呵,你线性代数学的很好嘛~~我咋就没想到用方程数确定未知量个数~
在这解释下,因为这些方程都是N元一次的,如果要有唯一解,就要有和未知量相同的等式才能解出唯一的解,少了一个方程,这个解就是无穷多个了!这下大家明白了么?
就比如A*X+B*Y=C和D*X+E*Y=F这两个方程才能解出唯一的X和Y,少了其中一个方程,X和Y就不唯一了,就成了无穷多解也就是成了一条直线了,只不过这道题把二元一次方程组拓展到了N元一次方程组
这也是线性代数的精髓之一啊~我咋就忘记了捏~

最后再说句~LZ你真强悍~!!!

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-7 07:37 编辑 ]

作者: conwood 时间: 2009-1-7 09:36:40

虽然没看明白，但我觉得这个方法靠谱。

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 00:23 发表下面讨论 “骰迷” 的『以最少點決定唯一長方體問題』空间多少个点决定长方体？长方体6个面，6个面的方程，18个未知数 z＝a*x＋b*y＋cN个点确定N个等式有2个面平行，多了1个等式另外2个面平行 ...

作者: 第8个小笼包 时间: 2009-1-7 10:04:26

高手高手高高手，佩服啊

作者: 乌木 时间: 2009-1-7 10:25:31

我又一次看到了自己数学知识的不够。谢谢楼主。

作者: 骰迷 时间: 2009-1-7 11:53:41

LZ誇讚了呵呵

我都沒看明白，留待高中再看，可能看得懂吧

作者: kexin_xiao 时间: 2009-1-7 12:44:34

和LZ学习，大学学的数学都忘了！

作者: lulijie 时间: 2009-1-7 16:20:40

关于最少点确定矩形的问题的修正
我开始得出N=5，事后我发现答案是错的，后来我想了好久，大概想明白了。
N=4，方程有7个，未知数有8个，肯定有无数个解，故4肯定不是最小值。
那么N=5时，已知5个点的坐标，就能得出唯一解么？
不尽然，而是有5个解，也就是有5个矩形满足条件。
我们从矩形上取5个点，为了满足条件，每条边上都必须有点取到（而且该点还不能是顶点）。否则，假设有一条边没取到，那么垂直于该条边的两条边，向该条边的方向上延伸的任何矩形都满足条件，故是不可能的。
那么5点分布在4条边上，至少有2个点，这两个点在一条边上。
假设5点分别是点A、B、C、D、E。
1.A和B在满足一条直线方程，剩下的3个点分别满足其他3条直线方程，这样得到一组方程组，解得一个唯一解。
2.B和C在满足一条直线方程，剩下的3个点分别满足其他3条直线方程，这样得到另一组方程组，又解得另一个唯一解。
还有其他组合，又得到其他解。但不是任何两点组合都能得到解。总共只有5个组合有解。

A和C是不可能在一条边上的，因为AC连线把其他3点分开在两边，这对于AC是矩形的一条边是不可能的。
点A、B、C、D、E组成一个凸五边形，它的任何一条边都可以作为一个矩形的边。
比如C和D，过A作CD的平行线，过B、E分别作CD的垂线，这四条线围成的矩形就满足条件。故共有5个矩形满足条件。
所以N=5，不是最小值。N应该等于6。
N=6时，共有9个方程式，8个未知数，故只要ABCDE5个点选择好，方程组除了原先的矩形，就无其他解了。
也就是6个点唯一确定一个矩形。

附件: 111.JPG (2009-1-7 16:20:40, 3.21 KB) / 下载次数 63
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作者: noski 时间: 2009-1-7 16:53:18

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 00:23 发表
下面讨论 “骰迷” 的『以最少點決定唯一長方體問題』
空间多少个点决定长方体？
长方体6个面，6个面的方程，18个未知数
z＝a*x＋b*y＋c
N个点确定N个等式
有2个面平行，多了2个等式
另外2个面平行，又多了2个等式
还有2个面平行，再多2个等式
前2个面与另外2个面垂直，多1个等式
前2个面与后2个面垂直，再多1个等式
总共N＋8个等式
故N的最小值为18－8＝10

刚才想错了。。

[ 本帖最后由 noski 于 2009-1-7 16:56 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-1-7 16:56:08

修正  “骰迷” 的『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，
面方程可表示为 z＝a*x＋b*y＋c
6个面方程，18个未知数
点在面上，那么点的坐标满足其中的一个面方程，得到一个等式。
N个点在面上，得到N个等式。
有2个面平行，这个限制条件，原先我认为得到一个等式，其实是错误的，应该是2个方程式。
比如2个面方程分别表示为
   z＝a1 * x＋b1 * y＋c1
   z＝a2 * x＋b2 * y＋c2
2个面平行的充要条件  a1=a2
                     b1=b2
2个面垂直的充要条件  a1 * a2 + b1 * b2 = -1
故3对面互相平行共得到6个等式
前2个面与另外2个面垂直，得到1个等式
前2个面与后2个面垂直，再多1个等式
原先我认为（前2个面与另外2个面垂直，且前2个面与后2个面垂直），能得出另外2个面和后2个面垂直，这是错误的，故要满足长方体的要求，还要加1个等式（另外2个面和后2个面垂直）。
总共N＋9个等式
故N的最小值为18－9 + 1=10
这个加上1很重要，原因同  “最少点确定矩形的问题”里的，为了排除其他有限个解。
特别说明一下，其中  等式  a1 * a2 + b1 * b2 = -1  是未知数的2次项的和，可能会多解出几个解，不过无所谓了，已经增加了一个点，已足够消除这些有限解。

作者: 骰迷 时间: 2009-1-7 17:34:55

看到這，我有一點懷疑
以上全是理論上的東西，實際上畫點時已能排除一些可能。
下圖的五點與LZ理論的五點分別在：下圖有兩個邊點距離比其他點的距離長。左下的三點明確表示了直角，並沒有其他矩形能符合。

[ 本帖最后由骰迷于 2009-1-7 17:39 编辑 ]

附件: [有人能給出其他解嗎？] 未命名6.JPG (2009-1-7 17:39:07, 2.51 KB) / 下载次数 54
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作者: lulijie 时间: 2009-1-7 18:25:57

15楼举例完全正确，看来加1是不用加了。按照我12#的画法，有些点跑到边的延长线上了，这显然不符合要求。
其实方程式上的解只是要求点在直线上，但实际上要求点在线段上，所以要给点限制个范围，这就复杂了。

作者: noski 时间: 2009-1-7 18:50:59

既然现在是18-9＝9个点了，那么尝试一下，有没有反例呢？

附件: 9point.jpg (2009-1-7 18:50:59, 10.62 KB) / 下载次数 43
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MzUwODZ8ZDkyZWNjYmZ8MTczMjY1NDQ2M3wwfDA%3D

作者: lulijie 时间: 2009-1-7 18:52:54

经过大家的讨论和提醒，我现在再次修正我的观点。
最少点确定矩形的问题最少点N
   如果N=4，必然要从7个方程组成的方程组中解8个未知数，这有无数个解，不符合要求，故N大于4。
   那么N=5，要从几组（8个方程组成的方程组）中解8个未知数，可能有有限数个解，但通过精心的选择这5个点，使得解出的其他解，至少有一个点落在矩形边的延长线上，这些解就都不符合要求。只要能找到这5个点，那么
最小值就是5，否则就等于6
已经有人找到这样5点。故N=5。

最少點決定唯一長方體問題
最少点N
如果N=8，必然要从17个方程组成的方程组中解18个未知数，这有无数个解，不符合要求，故N大于8。
那么N=9，要从几组（18个方程组成的方程组）中解18个未知数，可能有有限数个解，但通过精心的选择这9个点，使得解出的其他解，至少有一个点落在面的延长面上，这些解就都不符合要求。只要能找到这9个点，那么
最小值就是9，否则就等于10
N=9还是10，我没把握，但我认为9的可能性大些。

作者: 骰迷 时间: 2009-1-7 20:37:38

http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... page%3D1&page=2
#17講到九個點，看似可行，等高手

作者: lulijie 时间: 2009-1-7 21:31:18

9个点在空间，把原长方体拿走，你再转几个圈，不是只垂直地面转，假设你在真空中，不分上下前后左右，你转圈后，就只知道空间有9个点，分不清该选那3个点确定平面。其实9个点分布在6个面上，凭什么要求有3个点在某个面上呢，也可以有3个面，每个面上2点，其他3个面，每个面上1点。这样的长方体也应该允许它在空间存在啊。关键是经过精心选择的9个点，其他长方体能否构造出来。有3个面，每个面上2点。因为2点是确定不了平面的，经过它有无数个平面，能否从这3组无数个平面中找到3个平面它们相互垂直并且满足其他3点在其他3个面上呢。这里需要丰富的空间想象力。我一想这些，头脑就会犯晕。

作者: noski 时间: 2009-1-7 22:15:19

还是这个图，帮忙分析一下：

在这里，我是使得每三个蓝球处于一个平面上，确定了三个平面，面上的点的分布是3,3,3,1,1,1
那么，要使面上的点分布成为2,2,2,1,1,1，不妨假设我们只要保证图中的三条线段A,B,C在面上即可。
问题在于：A,B,C三条线段，能唯一确定三个平面吗？过A,B,c都有无数的平面，满足条件的有多少呢？

附件: 9point2.jpg (2009-1-7 22:15:19, 11.21 KB) / 下载次数 51
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MzUxMDl8M2NjMzEyZjV8MTczMjY1NDQ2M3wwfDA%3D

作者: 骰迷 时间: 2009-1-7 22:32:35

樓上貌似正解...
三點決定一個面，三個互相垂直的面確定相交點，再以三個點作限制。
只是不明白，三個紅點所在的線，有何用途？若紅點不在該線上，則不能成立嗎？

[ 本帖最后由骰迷于 2009-1-7 22:41 编辑 ]

作者: noski 时间: 2009-1-7 23:38:42 标题: 回复 22# 的帖子

画线只是为了表示那个点在哪个面上，不必要在那条线上的。。
20楼A,B,C三条线段是否能唯一确定三个两两垂直的平面的问题，我还不确定。。

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 05:00:47

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 16:56 发表
修正 “骰迷” 的『以最少點決定唯一長方體問題』
空间多少个点决定长方体？
长方体6个面，
面方程可表示为 z＝a*x＋b*y＋c
6个面方程，18个未知数
点在面上，那么点的坐标满足其中的一个面方程， ...

AX+BY+CZ+D=0是直线的形式而不是面
A1X+B1Y+C1Z+D1=0和A2X+B2Y+C2Z+D2两式连立才能构成一个平面
所以6个面最多需要12个式子确定,至于垂直不垂直,只与ABCD有关与XYZ无关
如此看来点可以在12个或者12个以下了~

46楼说的没错,是我记反了~~,所以上面这些解释可以当它是废话了``

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-10 14:47 编辑 ]

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 05:14:44

确定一个平面,首先要有三个点,而且这三点不共线
一个长方体内需要确定2个相邻面的法向量,可以求出第三面的法向量
而一个点再加一个向量可以确定一个面
那么有6个面,就需要6个点,和2个法向量,少一个点,就会使这个面和对面面的距离无法确定,所以一定需要这6个点,是这至少6点的必要性,这些点不可能在两两面交线上,否则就失去了存在的意义
那么法向量需要几个点来表示呢?
我们知道法向量是垂直于平面的,而平面需要由3个法向量来表示,我们需要两个法向量就需要确定两个平面
而一个平面需要3个点确定,两个平面就需要6个点来确定了
现在这6个点不排除与刚才的6个点重复,也就是说,无论重复与否,我们用6个点一定有办法确定2个平面,就能求出这2个面的法向量,再根据这2个法向量可以求出第3个和它们2个向量都垂直的第3个向量
和前面确定距离的6个点加起来
我们最多需要12个点确定一平面
之前有人求证出需要7个点或更多
所以这题目的答案只可能在7~12之间了!

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 05:28 编辑 ]

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 05:32:45

我是这么认为的,或许不够严谨,不过值得推敲:
首先,解一个长方体,就是解出这六个面的方程,就象割豆腐,如果你把豆腐的六面都切一刀,无论这刀有多深,这个豆腐的形状一定是固定不变的,就算你横的那一刀有几十公里``呵呵这里开我小玩笑

言归正传
3点确定一法向量,这三个点需要在同一面上,也就是这2个法向量中的任何其中一个只可能和之前6个点中间的最多1点有关系,那么由于我们有2个法向量,故只可能与2个点有联系,而且这2个点不会是同一个点,也就是说12个点中最多有2个点是重复的
所以12-2=10也就是10个点确定一个长方体!

唯一性要用线代去计算了,好象有个A*B-C*C>=<0的三情况,还有好象用λ控制的东西,我都忘记了,惭愧惭愧..

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 05:54 编辑 ]

作者: 水磨鱼 时间: 2009-1-8 05:43:32

点又少了``快接近六点啦```哈哈

俺还是坚持六点的``

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 06:19:55 标题: 求出它的秩,就求出了它的最少点数

n元线性方程组Ax=B
有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n
R(A)是A的秩,R(A,b)是B的秩也可写成R(B)
就要证明R(A)=R(B)=n
若R(A)=R(B)[=N]<n则有无穷解(中括号中的N表示的是我们的最少需要方程数,即最少未知数数量,也是这个方程的秩r)
所以转化成求R(A)的秩,而它的秩就是最少公式数[我们默认A为满秩矩阵,故R(B)==R(A)]

不会算啊555谁会根据我35#的解释来用线代计算出它的唯一性???

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 18:40 编辑 ]

作者: 水磨鱼 时间: 2009-1-8 06:42:23

俺刚回复的贴子``
http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1

作者: 骰迷 时间: 2009-1-8 08:51:42

剛剛想到，從矩形引申的：
＃15的矩形，先以三個點決定直角，再在另外兩條線上點。
現引伸至長方體：先以五個點決定三個面，再在另外三個面上各點一點。
雖然我點八個點好像是走回頭路，但我覺得還是有一定的價值。因為實際情況可能與理論不符的嘛。就向樓主的帖，說要用六個點來確定矩形，背後還有理論支持呢。
但現實是點的方式不同，可以直接排除其他的可能性。
所以我覺得是否必須9個點，還是有商榷的餘地。

[ 本帖最后由骰迷于 2009-1-8 08:56 编辑 ]

附件: [藍色的點在背面] 未命名1.JPG (2009-1-8 08:51:42, 5.12 KB) / 下载次数 46
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MzUxMTd8MDYzZWVmOWN8MTczMjY1NDQ2M3wwfDA%3D

作者: 乌木 时间: 2009-1-8 09:45:39

问题一，为了用最少的表面点子确定一个长方体，从18点逐步精简到9～10点（有人则认为还可少些），不能继续精简了吗？

问题二，如果所取的点子不限于表面，可以包括长方体表面以及长方体空间内部的任何点子，最少几点可以确定该长方体？

[ 本帖最后由乌木于 2009-1-8 19:48 编辑 ]

作者: 骰迷 时间: 2009-1-8 10:38:01

回答問題二
我認為無論多少點都不可以。
因為無論你選多少點，長方體仍然可以無限大。

作者: 乌木 时间: 2009-1-8 11:09:12 标题: 回复 32# 的帖子

31楼问题二我已补充说明包括表面和内部的点子。我的意思是，增加了内部点子的选取，是否可以进一步精简点子数？

作者: 骰迷 时间: 2009-1-8 15:04:43

老師沒想清楚對吧。
若選取內部的點子，在決定是否只有唯一解時，長方體可以無限大，只要把點子全部包在該長方體內即可。
由於你定點後，點已無分內外之別，可全視之為內部的點。

作者: 剑齿怪杰 时间: 2009-1-8 15:47:12

原帖由乌木于 2009-1-8 11:09 发表
31楼问题二我已补充说明包括表面和内部的点子。我的意思是，增加了内部点子的选取，是否可以进一步精简点子数？

貌似乌木先生在这个长方体问题上总弄不清，倒使帖子变长了不少……
内部点的存在可以说是毫无意义。
首先如楼上所说，如果点在长方体内部，那再多的点也不能确定一个唯一的长方体，因为总可以找到个足够大的长方体容纳下所有的点。同样可以继续找到容纳下这个长方体的长方体，这样就有无数的长方体容纳下这些点。
而后你又说是有表面点的。如果不加定义，那我可以把所有点当内部点，就会得到和上面一样的结果。如果加上定义，那就有两种点：面上的和体内的。并且很容易看出只有面上的点能对面起到约束作用，也就是说体内的点还是没起作用，当它们要对一个面起约束作用时，它必然会无穷贴近这个面，其作用也就和一个面上的点一样。所以说提出内部点对这个问题的解决毫无帮助。
我本来想晚点再提的，既然写到这儿了，就干脆继续写下去了：一个进阶版的问题，如果定义两类点，一类在长方体内部，一类在长方体外部，那至少多少点可以确定一个长方体？
这个问题还是等现在的问题清晰了后再考虑吧。
在前一篇帖子中本来看得正在兴头，却突然见乌木先生在那儿一头雾水的阐述他的观点，并且占去了十几层楼。不知道现在乌木对这问题的理解是否和大家一致了，或者还是坚持他的四点论。我不想再在这篇帖子中又见长篇大论的解释题意的话。
如果乌木先生对题的理解还是坚持他自己的观点，希望他另开一贴。
我这儿也对乌木先生提出几个问题，或许会有助于理解题意：
至少几个顶点能唯一确定一个四边形？
通过四边形上至少几个点能唯一确定一个四边形？（如果乌木先生对这问题答案和上一题一样，请另开贴）
至少几个顶点能唯一确定一个矩形？
通过矩形上至少几个点能唯一确定一个矩形？（如果乌木先生对这问题答案和上一题一样，请另开贴）
能否通过矩形内部点确定矩形？
平面内有若干点，试确定能包含这些点的最小矩形面积。
至少几个顶点能唯一确定一个长方体？
通过长方体边上至少几个点能唯一确定一个长方体？（如果乌木先生对这问题答案和上一题一样，请另开贴）
通过长方体面上至少几个点能唯一确定一个长方体？（如果乌木先生对这问题答案和上上一题一样，请另开贴）
X^3=1是否有唯一解？

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 16:53:37

有没人对我25#的帖子发表质疑呢?

还有水磨鱼同学,不要再把点做成面来考虑了,因为点和面在空间上是完全不同的概念,一个点在空间上表示的是三个面的交点,而面只需要一个方程去约束,所以说你把点看成了面,就相当于取了无穷多个点,而且这面上的无穷多点都要落在那个面上,无法转动,也就确定了一个面的朝向
可如果是点,任意面经过这个点都可以随意的转动,朝向却是不确定的,如果想不通,可以问问数学老师点和面在空间直角坐标系下建立的方程有何不同,不要再说把点看成面这样的话了..否则又要另外开贴了~

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 16:59 编辑 ]

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 17:00:56

原帖由骰迷于 2009-1-8 10:38 发表
回答問題二
我認為無論多少點都不可以。
因為無論你選多少點，長方體仍然可以無限大。

这只是主观看法,所有的结论都有一段严谨的推导过程的,这题目的复杂程度远超过我的想象啊5555现在才知道自己学的不够~

呵呵我引用错了不好意思^^

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 18:23 编辑 ]

作者: 骰迷 时间: 2009-1-8 17:04:00

LS:
35#的朋友解釋得很清楚了,看清楚才回帖

作者: 水磨鱼 时间: 2009-1-8 17:06:09

原帖由 夜的十四章 于 2009-1-8 16:53 发表
有没人对我25#的帖子发表质疑呢?

还有水磨鱼同学,不要再把点做成面来考虑了,因为点和面在空间上是完全不同的概念,一个点在空间上表示的是三个面的交点,而面只需要一个方程去约束,所以说你把点看成了面,就相当于取 ...

你仔细看看题``任意点的点要贴着方块边上或面上``

作者: noski 时间: 2009-1-8 17:09:01

原帖由骰迷于 2009-1-8 08:51 发表
剛剛想到，從矩形引申的：
＃15的矩形，先以三個點決定直角，再在另外兩條線上點。
現引伸至長方體：先以五個點決定三個面，再在另外三個面上各點一點。
雖然我點八個點好像是走回頭路，但我覺得還是有一定的價值 ...

5个点能唯一确定一个xyz直角坐标系吗？

附件: 5points.gif (2009-1-8 17:09:01, 16.72 KB) / 下载次数 56
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MzUxMzd8ZjExYzUxZDh8MTczMjY1NDQ2M3wwfDA%3D

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 18:46:28

原帖由 noski 于 2009-1-8 17:09 发表

5个点能唯一确定一个xyz直角坐标系吗？
35137

LS很对~
我也认为至少要6个点才能建立一个坐标系~~
因为3个点才能确定一平面的方向,再加3个点才能确定另外一个平面的方向,然后再作这两个面的公垂面~否则无法排除仍然有其他组合也同时满足条件的可能,也就是我说的唯一性

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 18:54 编辑 ]

作者: 骰迷 时间: 2009-1-8 18:51:50

對，對，就是#21圖裡的六個藍點。

作者: 剑齿怪杰 时间: 2009-1-8 19:45:05

6个点是无法确定一个直角系的。
假设有六个点，其中任意3个可以定一个面，另外两个点能确定一根直线，这根直线（按比较好的情况讨论）不垂直刚刚定的面，它就能确定唯一平面垂直刚刚定的面，再过剩余一点能做一个面同时垂直这两个面。
因为上面的点都是任意取的，所以完全可以得到多组坐标系。我算得是60，太久没用排列组合，不知道对不对。但可以肯定六个点是无法确定唯一的坐标系。
从上面的计算，7个点应该能确定一个坐标系，另需3个点限定三个面，所以点的下限在10。

作者: 水磨鱼 时间: 2009-1-8 19:54:21

原帖由 剑齿怪杰 于 2009-1-8 19:45 发表
6个点是无法确定一个直角系的。
假设有六个点，其中任意3个可以定一个面，另外两个点能确定一根直线，这根直线（按比较好的情况讨论）不垂直刚刚定的面，它就能确定唯一平面垂直刚刚定的面，再过剩余一点能做一个面 ...

这些点是在一个正方体或长方体的表面点的``

一般情况下会每面点一个点``这些点都含有被点方体的特性``它们应该能确定一个方体的``

作者: 剑齿怪杰 时间: 2009-1-8 20:51:35 标题: 回复 44# 的帖子

如果你坚持你的六个点能确定一个长方体，给出充分的解释来支持它，从而反对我的观点。不要凭你的一相情愿就来反对。我认为你这是对我的劳动成果的一种侮辱。我很怀疑你是否有看明白我的阐述。
如果你想好一个长方体，在它上面点了六个点就说这六个点有了这个长方体的特性，唯一确定这个长方体。我想问你这而所说的特性是什么，看看它是不是在我们一般的理解范围内！
请说清楚你的观点！

作者: lulijie 时间: 2009-1-8 22:32:28

夜的十四章：你在24#中说
AX+BY+CZ+D=0是直线的形式而不是面
A1X+B1Y+C1Z+D1=0和A2X+B2Y+C2Z+D2两式连立才能构成一个平面
所以6个面最多需要12个式子确定,至于垂直不垂直,只与ABCD有关与XYZ无关
如此看来点可以在12个或者12个以下了~

你刚好记反了，AX+BY+CZ+D=0表示面，而A1X+B1Y+C1Z+D1=0和A2X+B2Y+C2Z+D2=0两式连立
刚好表示两个面相交，表示一条直线。

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 23:22:13

我做出来了,请看我的帖
http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=19654&page=1&extra=
因为各点都只能在自己的平面上移动,长方体的面只有平行和垂直的关系,非平行即垂直~
而其他的任何两点,想和该平面的点联合起来与另外一个平面垂直,只需要原先这平面的点略微移动位置,就无法垂直~而且不影响到其他的9个点

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 23:48 编辑 ]

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-9 12:04:57

原帖由 剑齿怪杰 于 2009-1-8 19:45 发表
6个点是无法确定一个直角系的。
假设有六个点，其中任意3个可以定一个面，另外两个点能确定一根直线，这根直线（按比较好的情况讨论）不垂直刚刚定的面，它就能确定唯一平面垂直刚刚定的面，再过剩余一点能做一个面 ...

我认为6个点虽然确定不了直角系,但是已经把方向确定了,只是没有确定原点在哪里

作者: 骰迷 时间: 2009-1-9 13:04:50

6個點就算不能把直角系定了，加上其他面的三個點，大概也定了吧
矩形的問題上，三個點同樣無法訂一個直角，但其餘的兩個點限制了唯一矩形。
六個點無法訂一個直角系，難道其餘的三個點就不能排除其他解？

作者: 剑齿怪杰 时间: 2009-1-9 17:47:05

原帖由骰迷于 2009-1-9 13:04 发表
6個點就算不能把直角系定了，加上其他面的三個點，大概也定了吧
矩形的問題上，三個點同樣無法訂一個直角，但其餘的兩個點限制了唯一矩形。
六個點無法訂一個直角系，難道其餘的三個點就不能排除其他解？

我在画图中确实遇到了其余三点排除其他解的情况。但换个角度，如果是以那三个点为基准，要讨论剩下点能否排除其他情况的工作量就大了。
所以我在此有所保留。
如果确实能行，那下限将是9.

作者: 骰迷 时间: 2009-1-10 10:14:39

LS請參照矩形的例子。
矩形的確定，是三個點緊靠在一個角上，其餘兩個點距離較長。
若同哩，搬到長方體上，六個點擠在一邊，另外三個點距離較遠。
倒過來看，以那三點作底，剩下的六個點是不同高度的，故亦不可能做出第二解。

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-10 15:07:51

原帖由骰迷于 2009-1-10 10:14 发表
LS請參照矩形的例子。
矩形的確定，是三個點緊靠在一個角上，其餘兩個點距離較長。
若同哩，搬到長方體上，六個點擠在一邊，另外三個點距離較遠。
倒過來看，以那三點作底，剩下的六個點是不同高度的，故亦不可能 ...

我看出了点端倪来了``我们说到底是要控制住长方体的自由度是不是?首先要控制住它的角自由度,让它无法旋转,就是你所说的6个点确定一个坐标系,然后由于这些面还可以在这些坐标系上无穷的延伸,所以我们要再拿3个点卡住它的线自由度,就达到了控制住一个长方体的目的,是不是?
首先两两一对,有6个无穷接近的点,其中的每对两点可以连成一直线,面可以在自己的直线上随意旋转,但是只剩一个旋转自由度,而由于"墙角效应",这三个随意转动的面要形成如墙角一般的关系,最终只有一种解是正确的,所以用6点确定了一个坐标系和3个面的位置,我说的对不?
然后你是想再用3个比较远的点来控制剩下的3个面,我说的没错吧?可是,我还是有一些质疑:
无穷近的6点只有一种配对方式?任意配对只有一种方式能让比较远的3点都在墙角同一侧?

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-10 15:56 编辑 ]

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-10 15:51:33

原帖由 noski 于 2009-1-7 23:38 发表
画线只是为了表示那个点在哪个面上，不必要在那条线上的。。
20楼A,B,C三条线段是否能唯一确定三个两两垂直的平面的问题，我还不确定。。

今天坐下来慢慢看了下你的图,终于看明白怎么回事了,抱歉以前都没注意看哇~
首先你的图要改改,所有的点不能在角上或者棱上,否则会很没效率,我们都要想方设法让所有的点不落在公共点上
我认为,如果你能够确定这6点只有a,b,c这种线段的组合固然可以,可是关键是,难道我们这6点不能有另外一种组合?
比如AB' BC' CA' 这样不是也能形成一个墙角吗?任意三条线只要不平行,不是都能形成一个墙角吗?
我们知道一个坐标系把空间分成8块,就象个二阶魔方,而6点的配对形式有多少种呢?C62*C42*C22/3!=(6*5/2*1)*(4*3/2*1)/3!=15种.难道15种中只有一种方案能实现吗?
如果把远离这6点的3个点放在对角的附近,而且那3点也是无穷接近,在各自面上,能否实现呢?又或者把那3个点分别放在无穷接近于已确定的3棱的位置(而且这个距离是前面6个点间最小距离的高阶无穷小),也就是在坐标系的边缘,未碰到坐标系,而且在各自的面上,能否实现9点的预想呢?
受到你们的启发,我有一个想法,比如6点中任意取两两一对形成一个直线,然后根据该3直线形成一个墙角,这个墙角是随机形成的,我上面说过了,6个点卡墙角一共有15种结果,而我们可以做到,只有一种结果可以把除了这6点以外的3点包含在内

方法如下

我们讨论15个墙角,从墙角1开始讨论: 让3点包含在墙角1内,如果在后来的14个墙角中有包含了这第1个墙角区域内所有点的新的墙角i那么用新墙角取代原来的墙角,并且把3点移到1墙角所围成的空间以外,因此类推,总能找到一个,仅仅属于一个墙角的空间,在那个空间上取我们需要的3个点是可以做到的
总之一句话,不要把3点都取在墙角围成的公共点上就行
所以,我们可以做到9点形成唯一一个长方体!!

不知道以上叙述有问题不?

感谢CCTV,感谢MVT,感谢KTV,感谢楼上所有热衷于求证9点论的"科学家"们,如果我的论证是正确的,我就象牛顿一般,是"踩在巨人肩膀上的人"呵呵

我太骄傲了,是你让我获得如此高的成就感~

最后问个问题,这么有难度的问题是哪来的?

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-10 17:11 编辑 ]

作者: 骰迷 时间: 2009-1-10 17:40:30

我的意思反而是：
首先三個點是公共點，在同一＂牆角＂上的菱上，非常接近牆角的尖端位置然後的三個點在牆上（即面上），比之前的三個點遠離牆角尖端一點。
這六個點，大家想像想像，除了本來的立體能符合以外，還可以向下伸展。
但如圖（抱歉圖畫得醜）加上三黑點，就能排除其他解了。
謝謝TVB！！（我是香港人，不謝CCTV）

回LS：這麼有難度的題哪來？是我一天回家時隨意想出來的，呵呵，沒想到打搞那麼多前輩。
其實還可以加幾問：多少點定三角形？多少點定三角錐體？

[ 本帖最后由骰迷于 2009-1-10 17:44 编辑 ]

附件: [背後還有一個點看不見] 1.JPG (2009-1-10 17:40:30, 3.16 KB) / 下载次数 120
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附件: [第二解] 2.JPG (2009-1-10 17:40:30, 3.05 KB) / 下载次数 128
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附件: [但是再加上三點（有兩點看不見）] 3.JPG (2009-1-10 17:40:30, 5.42 KB) / 下载次数 125
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附件: [就能排除了啊！！] 4.JPG (2009-1-10 17:40:30, 5.9 KB) / 下载次数 110
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作者: lulijie 时间: 2009-1-10 18:10:38

夜的十四章说
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如果把远离这6点的3个点放在对角的附近,而且那3点也是无穷接近,在各自面上,能否实现呢?又或者把那3个点分别放在无穷接近于已确定的3棱的位置(而且这个距离是前面6个点间最小距离的高阶无穷小),也就是在坐标系的边缘,未碰到坐标系,而且在各自的面上,能否实现9点的预想呢?
受到你们的启发,我有一个想法,比如6点中任意取两两一对形成一个直线,然后根据该3直线形成一个墙角,这个墙角是随机形成的,我上面说过了,6个点卡墙角一共有15种结果,而我们可以做到,只有一种结果可以把除了这6点以外的3点包含在内

方法如下

我们讨论15个墙角,从墙角1开始讨论: 让3点包含在墙角1内,如果在后来的14个墙角中有包含了这第1个墙角区域内所有点的新的墙角i那么用新墙角取代原来的墙角,并且把3点移到1墙角所围成的空间以外,因此类推,总能找到一个,仅仅属于一个墙角的空间,在那个空间上取我们需要的3个点是可以做到的
总之一句话,不要把3点都取在墙角围成的公共点上就行
所以,我们可以做到9点形成唯一一个长方体!!
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把无限概念引入是非常危险的，一步留神就会得出错误结论。
另外3点先无比贴近棱，后不符合，又移动到再接近棱的位置，就涉及到极限概念，造成的结果就是点在棱上。

比如数S=1/N,N为自然数，当然S不可能是0，但若你考虑，N不够大，再取大点，无论你N多大，我可以比你更大，结果S更小，得出S可以等于0，就得出了错误结果。

你的看法就好比，若3个点靠棱不够近，构造出了两个矩形，于是再接近一点，不行，还是构造出两个矩形，那么再接近一点，反正可以选择让它们再接近，一直下去，原来我的方法构造出两个矩形，只要一直下去，就得到它的极限，构造出一个矩形。但点无限接近棱的极限是点在棱上。

又如小兔回它的窝，先要到达路程的中点，到了该点后，又认为，它要到达下一个中点，这样的中点无穷无尽，但若你得出小兔永远无法回窝，就完全错了。

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-10 21:08:59

原帖由 lulijie 于 2009-1-10 18:10 发表
夜的十四章说
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如果把远离这6点的3个点放在对角的附近,而且那3点也是无穷接近,在各自面上,能否实现呢?又或者把那3个点分别放在无穷接近于已确定的3棱的位置(而 ...

不对的,我说的无限接近在现实当中是不会在棱上的(我说的无限接近的目的在于排除墙角以外的6点可以和它们形成一个面的可能性,或者换句话说,应该是"足够接近",而事实就是存在这样的6个点,使墙角以外的其它点无法和这6点联合起来形成一个面,就如54#图中所说),因为无穷大在现实中根本不存在,所以就算是非常非常非常的接近,它还是有个长度可以取的
dx是不存在的,只是由于解题的需要而制造出来的一个"虚幻"的东西,但是结果证明这个"虚幻"的东西是可以用来计算的,计算出来的结果是正确的,就象1+1=2到现在没人证明出来为什么,但是这是公认对的东西~

至于你用红字标明的那些话,我看也许你是误会了我的意思
我的措辞有点错误,不应该是"无穷接近于"已确定的三条棱,应该说了"足够接近于"
而说这句话的目的是为了让这些点一个或者几个只在一个"墙角"所围成的空间内就行了,不被第二个墙角所包含,而且只要有一个点如此就足够了,并且这样的例子在有限的空间内是完全可以做到的~
而且墙角的个数是有限的,我不知道到底有多少个,只知道一定不会多于15个,也许根本就不存在吧,只是那样讨论他的存在不存在比较复杂,我退了一步讲,就算它存在,也没有用处,我们仍然可以取到非公共区域的一个点的~

就是说两个墙角A,B,A∩B的部分我们不去取,我们就专门取(A∪B-A∩B)的部分的点,如果在B内,就是B墙角形成的长方体,在A内就是A形成的长方体,就不可能A和B同时都能形成长方体了,对吧?

还有,小兔子回窝的问题我听到的并不是你说的这样
如果兔子用t时间走了总路程1/2,再花t时间走剩下的1/2,再用t 时间走剩下的1/2,这样一直下去,就算走了无穷多个t,他也是到不了终点的
可是你的阐述,兔子到了终点,可见他已经经过了无穷多个中点了,虽然这无穷多个点不存在,但是仍然可以求出兔子到终点所花的时间,因为兔子在某一位置的速度v是一个关于S的函数,虽然dS不存在,但是可以用它求出在全程中花掉的时间,兔子是可以到终点的

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-10 22:00 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-1-10 22:05:39

我举小兔回窝问题只是为了说明：
无限概念引入是非常危险的，一步留神就会得出错误结论。希望大家注意，涉及到极限问题时，不能想当然。

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