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标题: (答案)以最少点决定唯一长方体 [打印本页]

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 22:27:18 标题: (答案)以最少点决定唯一长方体

这题我已经做出来了,题目如下,答案为10点!!

以最少點決定唯一長方體問題在一個空間中，有一塊正或長方體（任意長闊），現在在該立方體表面定若干點，點必須在立方體的表面。定點後拿走該方塊。
條件是，只有一種立方體能放進所有點中，而且是貼著所有點的。
問最少用點數量。
我想14點應該是可以的，但有沒有更少的解法？

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-8 23:25 编辑 ]

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作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-8 22:28:30

占楼~呵呵~~(想仔细讨论的加我QQ245971326)

题目的意思就是求唯一的一个长方体,换成几何思想就是求它的六个面的方程
而我们知道要确定一个面需要三个点,有人就会说,确定6个面不就需要3*6=18个点?
也许吧~我是不清楚了,反正我求出了最少10点确定一长方体!

首先先在6个面上各取一点
接着因为3点确定一法向量,这3个点需要在同一面上,也就是这2个法向量中的任何其中一个只可能和之前6个点中间的最多1点有关系,那么由于我们有2个法向量,故只可能与2个点有联系,而且这2个点不会是同一个点,也就是说12个点中最多有2个点是重复的
所以12-2=10也就是10个点确定一个长方体!

为什么这些点不会和其它点产生关系呢?你们想想,我们任意抽取三个点形成一平面,是否还需要抽取三个点来形成另外一个平面与它垂直?
除了我们事先选好的以外,其他种可能是不存在的,所以,只可能是我们之前确定的那6个点形成的两个平面垂直

假设我们用于形成面的6个点,把形成面的3个点看作一组,则有两组,每组间三点靠的无穷近,因为这两个平面互相垂直,所以他们的法向量互相垂直
假设ABC三点形成一平面,DEF三点形成一平面
情况一: (拆开其中一个面的3个点中的任何一个)
把ABC平面中的A点拆开,不和B,C共面,则BC需要找另外4个点PQRS中的任意一个,组合成一个平面,可是组合出来的平面不可能和DEF平面垂直或者相交,因为过BC直线,与DEF垂直的平面只有一条,就算拆开ABC中的两个A,B点也无用,因为过C点,与DEF垂直的平面也有且仅有一个都是ABC所形成的那个面

现在讨论情况二: (把两组的3个点都分别拆开1个点)
把A从ABC中分离,把D从DEF中分离
则CD要和DPQRS中选一点形成平面
EF要和APQRS中选一点形成平面
又出现分支情况:
情况1: DBC形成平面,AEF形成平面,
情况2: DBC形成平面,PEF形成平面
情况3: QBC形成平面,PEF形成平面
因为各点间没有相互制约关系,可以随意移动,所以以上三种情况都可以通过改变A,D,P,Q,R,S在原长方体平面上的位置来达到,使其平面不垂直而不干扰到其它的点~
不难看出,由于这些点在长方体的面上过于自由,稍微移动一点,就可以阻止另外一个与原先这个面不平行也不垂直的面的产生,所以除非我们刻意的计算各点间的关系,否则任意取PQRS,都很难形成新的坐标系
(因为我们知道,在一个平面上随意点一点,想点到目标点的概率为0,因为平面上有无穷多个点lim1/无穷大=0)

情况三: (把两组三点完全拆分开来)
这似乎是有点可能,不过可惜由于另外两点的随意性,另外两点的任意一点在各自原先的平面上略微移动,又不垂直了~

综上所述,我们可以做到,控制两组三点,使得各自三点形成一平面,且这两个平面垂直,从而建立坐标系并确立两个面,然后再取4点,确立另外四个面的空间位置!
(由于这些点的变化无穷,导致同时满足10个点要求的长方体会出现无解,唯一解,无穷解这三种结论,所以有的人说10个点会有6个解是错误的)

结论:我们可以做到10个点确定唯一长方体!

有的人可能想象不出来,我画个草图附在下面

[ 本帖最后由夜的十四章于 2009-1-9 13:48 编辑 ]

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作者: bys_1123 时间: 2009-1-8 22:35:19

LZ快点发啊，期待期待

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-1-8 22:39:55

楼主强人,看看.顶你

作者: bys_1123 时间: 2009-1-8 22:42:05

我只推出了11个点，先用8个点确定顶点，为防止这个面可以延伸，所以每个面上还要多出一点，那么这个点放在两个面之间的棱上，两个面公用一个点，这样就需要8+3=11个点

作者: 水磨鱼 时间: 2009-1-9 08:07:49

总觉得点多``

能否画出图来``?

作者: kexin_xiao 时间: 2009-1-9 09:13:30

来学习，觉得大家应该发到一个帖子上，方便大家浏览

作者: 夜的十四章 时间: 2009-1-9 11:30:37

原帖由 水磨鱼 于 2009-1-9 08:07 发表
总觉得点多``

能否画出图来``?

画几的最高境界,是无图胜有图,那么多点的关系不是用几面投影就能表示的清楚的,垂直关系在图上不够直观

作者: 剑齿怪杰 时间: 2009-1-9 11:36:33

水磨鱼是不减到六个点都觉得多的。所以他的话可以忽略……

作者: 剑齿怪杰 时间: 2009-1-9 11:38:49

原帖由 bys_1123 于 2009-1-8 22:42 发表
我只推出了11个点，先用8个点确定顶点，为防止这个面可以延伸，所以每个面上还要多出一点，那么这个点放在两个面之间的棱上，两个面公用一个点，这样就需要8+3=11个点

棱上的点对防止延伸是最无效的。
同样以顶点来限位也是比较无效的方式。因为有四个点在同一个面，太浪费了。

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