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标题: 6点能否确定3个两两垂直的平面？ [打印本页]

作者: lulijie 时间: 2009-1-8 22:55:31 标题: 6点能否确定3个两两垂直的平面？

以最少点决定唯一长方体的问题

现在引发了一个讨论的热潮，我觉得有必要对本题目作一个单独讨论。

空间有6个点，没有3点共线，也没有4点共面，那么存在多少个两两垂直的平面，刚好每个面上各分布2点。

作者: 第8个小笼包 时间: 2009-1-8 23:08:37

有可能不存在，也可能存在唯一的，也可能催你在很多对。因为4点不共面，就是说任意两点连线是异面直线，过两条不垂直的异面直线只有一对互相垂直的平面，如果垂直就有无数组垂直平面。

作者: lulijie 时间: 2009-1-8 23:31:03

下面我还是以方程组的解来讨论。
3个相互垂直的平面，用3个面的方程来表示。
面1：A1*X+B1*Y+C1*Z+D1=0
面2：A2*X+B2*Y+C2*Z+D2=0
面3：A3*X+B3*Y+C3*Z+D3=0
我把面方程写成一般的形式，是为了照顾垂直于坐标轴的面的表达。
实际上上述3个方程，只有9个未知数，而不是12个未知数。比如C1不等于0，我们可以方程两边都除以C1，得到
方程的表达式  A*X+B*Y+Z+D=0  的形式，  只有3个未知数。

限制条件（两两垂直）
A1*A2+B1*B2+C1*C2=0
A1*A3+B1*B3+C1*C3=0
A2*A3+B2*B3+C2*C3=0

根据题意，ABCDEF6个点，每个面上分别有两点。那么
如果AB在面1，CD在面2，EF在面3，得出一个方程组（6个方程组成）
   形如 A1*X1+B1*Y1+C1*Z1+D1=0 的6个方程
   加上两两垂直的3个条件，共九个方程组成的方程组，有9个未知数。可以解出有限数个解。
   （A1*A2+B1*B2+C1*C2=0 是2次项式）
      （参考一下：1个一元二次方程，可能有1个解，2个解或无解）
也可以AC在面1，BD在面2，EF在面3，又得出一些解，
……
……
就是说，6点确定3个两两垂直的平面，只可能有有限数个解，不可能有无数个解。
只有一个解的可能性我认为很少。
因为6个点两两组合，有(15x6) /6=15种，15个方程组，只解出1个解，我觉得可能性很小。

作者: lulijie 时间: 2009-1-8 23:37:52

2#说
过两条不垂直的异面直线只有一对互相垂直的平面，如果垂直就有无数组垂直平面。

这个观点我认为不对，
先过它们中的一条直线，作任何一个平面，那么通过另一条不在该面上的直线可作一个垂面。
而过第一条作的平面有无数个，故可作无数个互相垂直的平面。

作者: lulijie 时间: 2009-1-9 00:56:34

如果下述定理都成立，对于大家解除分歧，解答 “以最少點決定唯一長方體問題”
有帮助。
第一定理：两个互相垂直的平面A和B，空间中任一点d，过d点作一个平面与A和B都垂直，可作出一个且只能作出一个平面。
第二定理：空间4点，没有3点共线，没有4点共面，过该4点，可作出无数个互相垂直的平面（每个平面各有2点）。
第三定理：空间5点，没有3点共线，没有4点共面，过该5点，至少可作出10种互相垂直的平面。
第四定理：空间5点，没有3点共线，没有4点共面，且
            过任何3点作出的平面，剩下的2点确定的直线不与该平面垂直。
            那么过该5点，至少可作出10种互相垂直的平面且最多只可作出10种互相垂直的平面。
根据第一定理和第四定理，可以推出
第五定理：空间6点，没有3点共线，没有4点共面，且
            过任何3点作出的平面，剩下的3点任选2点确定的直线都不与该平面垂直。
            那么过该6点，至少可作出60种3个两两垂直的平面且最多只可作出60种3个两两垂直的平面（其中有一个面只有1个点）。（即123类型）
第六定理：空间6点，没有3点共线，没有4点共面，且
            过任何3点作作出的平面，剩下的3点任选2点确定的直线都不与该平面垂直。
            那么过该6点，至少可作出？？种3个两两垂直的平面且最多只可作出？？种3个两两垂直的平面（其中每个面各有2个点）。（即222类型）       ？？有待确定！
         根据立方程组解答，只能有有限数个解。见3#。

作者: kexin_xiao 时间: 2009-1-9 09:24:43

以最少点决定唯一长方体的问题，引发了吧里的数学热潮，继续学习！

作者: 水磨鱼 时间: 2009-1-9 09:28:49

俺刚更新的六点``

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