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标题: 试解释三阶魔方4325亿亿个状态的由来 [打印本页]

作者: 乌木 时间: 2009-1-20 12:00:15 标题: 试解释三阶魔方4325亿亿个状态的由来

三阶纯色魔方（指中心块的色片只有颜色，没有文字或图案，故显示不出它们就地旋转与否的那种魔方）的状态变化数多达 43 252 003 274 489 856 000，即约4.325×10^19，或约4325亿亿。

获得此数的计算式之一为 8！×12！×3^8×2^12 /（2×3×2）。此式有个重要约定：六个中心块固定不动（即魔方不做整体翻滚动作），作为角块、棱块位置变化和色向变化的参照物。也就是说，如果魔方整体旋滚一下，不产生新的花样。（有的计算法无此约定，答案不同，另有用途。）

算式的分子部分8！×12！×3^8×2^12 就是拆下角块、棱块后，仍在中心块组不拆、不动的条件下，随机组装角块、棱块时可能获得的状态数。分别解释如下：

8个角块在8个位置中的随机组装方式（暂时只看位置变化，不管角块的色向变化，色向问题接下去另算）共有 8！种；
12个棱块（暂时只论位置变化，不计色向变化，棱块的色向问题下面另算）在12个位置**有12！种随机组装方式；
每个角块就地可以有3种颜色取向的装法，随机组装时8个角块因色向变化引起的不同状态共有3^8种；
一个棱块就地有2种颜色取向，随机组装时12个棱块因色向变化造成的状态变化总数就是2^12 。

现在要问，经过转动魔方层的方法布排角块和棱块（即不是上述拆下角块、棱块随机组装的方法），“同样的”魔方，状态变化的总数为何是 8！×12！×3^8×2^12 /（2×3×2）？只需对算式的分母部分解释如下：

（8！×12！）/ 2 －－上述的8个角块和12个棱块不同的位置变化总数到此要除以2的原因是，（8！×12！）这个数当然含有等价于单单互换两个块的排列方式，但是魔方转动的规律决定了现在无法单单互换两个块了，所以要除以2。也就是说，现在的变化不是上面那样地“随机”的了！

比如，头6个角块的布排方式有8×7×6×5×4×3种，第7和第8个角块面对2个空位，不再有2种排法了，要看当时头6个角块和12个棱块的布排情况如何，第7和第8个角块只能是两种布排之一，不可能是另一种。“选择”准则就是避免出现（如果复原起来，到最后）要单单互换两个块。
这样，当棱块的排列方式已经有12！时，8个角块的排列方式只有8×7×6×5×4×3×1×1。
或者，当角块已有8！种排列方式时，12个棱块只有12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×1×1 种位置变化。
两种等价的说法都表明现在的角块、棱块的位置变化数为（8！×12！）/ 2 ，不是那么随机的了！
这里只需除以2，不能除以4。因为，“不能单单交换两个块”是不论角块还是棱块的。看看PLL公式，可以看到：1、没有单单交换两个块的！但是，2、两两角块交换或两两棱块交换还是可以的，两个角块并两个棱块交换也是可以的。
至于空心魔方的“特殊情况”－－“单单交换两个块”还是出现了，那是假象！须知，看不见的、但仍然顽强地起作用的中心块也有了变化。相对于参照物中心块而言，还是角块、棱块有了较复杂的变化，并非表观上的单单两个块交换了，看上去单单两块交换的说法不是相对于中心块而言的，却是相对于角块、棱块框架中的大部分块的状态而言的。偷换参照之后，人们容易产生误会了。

3^8 / 3 －－由于魔方转动变化的规律，现在不可能单单改变一个角块的色向，所以要除以3。
现在是转魔方的方法，当头7个角块的色向确定后，第8个角块的色向只能取其三种色向之一，不能取其另两种色向。第8角取向的准则就是避免出现（如果复原起来，到最后）要单单改变一个角块的色向。
可见，转动魔方时8个角块的色向变化所引起的魔方花样变化数为3×3×3×3×3×3×3×1 ，同样不那么随机的了！
所以，一个正确魔方，复原态也好，转乱态也罢，保持各角块的位置不变之下，任选一个角块，你不可能用转动魔方的方法，就地改变所选角块的色向而保持其余7个角块的色向都不变。

2^12 / 2 －－仿照关于“3^8 / 3 ”的解释，您自己说说看。

[ 本帖最后由乌木于 2009-6-11 21:41 编辑 ]

作者: zhy3729 时间: 2009-1-20 12:06:37

好！！我钟意沙发先！

作者: 乌木 时间: 2009-1-20 12:09:56

鉴于常常有人问这个问题，试着写这段小文字。估计问题不少，愿和各位同好探讨、交流，共同提高对此问题的理解。

作者: 一不死生 时间: 2009-1-20 12:25:28

好东西！！顶一个！！

作者: lgt 时间: 2009-1-20 12:49:19

哇，真是惊人~！！

作者: 3595669260 时间: 2009-1-20 12:51:07

好东西，顶一个再慢慢看

作者: qq171614899 时间: 2009-1-20 13:18:36

正想发问这个问题呢！呵呵，乌木可真是牛啊！

作者: kexin_xiao 时间: 2009-1-20 13:20:32

顶乌木老师，我自己也再学习一次！

作者: yuanyonghui1616 时间: 2009-1-20 16:04:11 标题: 看不懂，数学没有学好

看不懂，都怪自己的数学没有学好，有点复杂。。

作者: 乌木 时间: 2009-1-20 20:21:38 标题: 回复 9# 的帖子

你可以复习一下排列组合的有关内容。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
如果要进一步问普通魔方转动时为何在块的位置布局、角块的色向和棱块的色向方面有上述三大制约，我就说不清了。论坛有帖子阐述的，我是大多看不懂。

对于三阶，除了用1楼的思路解释外，还有更正规的、理论性更强的论述。据说，阶数更高时就无法用1楼的计算法了，要根据魔方理论来计算。可以到理论区看有关帖子。我1楼的解释中估计有不少概念是经不起魔方理论的挑剔的，故我是不敢贴到理论区去的。在此处先和各位在较低的层次上探讨探讨再说。

作者: 知Shmily足 时间: 2009-1-20 20:26:34

乌木老师就是乌木老师！顶！

作者: juventus66 时间: 2009-1-20 20:31:04

支持,长见识了

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-1-20 20:41:36

自己算出来的结果比理论值大了12倍。。。没考虑到某些不可能的情况…………

作者: ursace 时间: 2009-1-20 20:42:08

乌木老师太强大了！

作者: dryghost 时间: 2009-3-15 15:24:33

看不懂，不过还是学习了.

作者: 道格 时间: 2009-3-19 18:45:29

目前只会层先法，很想进一步学习！

作者: ytmlpkdc 时间: 2009-3-20 00:53:03

排列组合。。。。我会一点。。。看懂了一部分

作者: 3595669260 时间: 2009-6-9 10:45:47

很好很强大,刚学了排列组合,现在终于明白魔方的状态数是怎么算出来的了!!!

作者: 幺贰叁 时间: 2009-6-11 20:58:30

原来还有这么多学问，支持乌木

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-6-11 21:00:03

这个问题现在终于搞懂了

作者: hcwang 时间: 2009-6-11 21:33:04

真复杂，有时间慢慢研究

作者: 幺贰叁 时间: 2009-6-14 13:18:54

感谢乌木老师，我终于明白了。

作者: 马良 时间: 2009-6-14 19:01:03 标题: 回复 1# 的帖子

乌木老师数学真好！！！！作什么的

作者: wendaomaye 时间: 2009-7-28 18:25:31

一个人一辈子都不可能把所有状态玩遍……………太多了

作者: gipfelbaum 时间: 2009-8-2 23:48:08

太深奥了，我数学不好，看不懂

作者: newbiea9 时间: 2011-5-29 15:28:22

lz辛苦。顶一下吧

作者: 894058936 时间: 2011-5-29 16:47:51

原帖由 zhy3729 于 2009-1-20 12:06 发表
好！！我钟意沙发先！

哦了解一下数字很大呀 4亿亿多

作者: 498648135 时间: 2011-5-29 22:20:50

做上标记，留着慢慢看……

作者: 林小哆 时间: 2011-5-29 23:22:06

好高深…那么大的数字…

作者: newbiea9 时间: 2011-6-2 22:05:49

好复杂啊。顶一个

作者: 墨飞儿 时间: 2011-6-2 22:10:49

好文章！！！！！！！

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