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标题: 石头剪子布概率题(大家探讨一下) [打印本页]

作者: R'cube 时间: 2009-1-29 13:58:17 标题: 石头剪子布概率题(大家探讨一下)

相信石头剪子布大家小时候一定都玩过，例如：甲和乙进行该游戏，谁赢谁就往前走几步!
先从简单的开始吧，那么题目是这样的：

1.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，他们各自赢得对方的概率都是1/2，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

2.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走2米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?

3.甲和乙站在同一起点上猜石头剪子布，甲和乙获胜的概率分别为2/3和1/3，若甲获胜，则甲向前行走π米，若乙获胜，则乙向前行走1米，问乙首次追上甲的概率是多少(追上：乙走距离和大于甲走的距离和)?(曾经在百度数学吧看到的这第三题)

关于题目的解释，所谓首次是这个意思：比如乙从一开始就赢了甲，乙超过甲1米，游戏结束；又比如甲一开始赢了乙，那么乙需要连续赢得甲3次来超过甲；如果甲连续赢得乙2次，那么乙需要连续赢5次来超过甲。。。。到这里大家可能就发现了，这道题的概率是无穷项可能的情况叠加所得的和。。

正如大家所想的那样。。。这就是这道题最难的地方，鉴于第1题中他们各自取得胜利的概率是相同的，在中间比赛的时候，可以不考虑中间过程的排列组合问题。这是什么意思呢，我们拿甲赢得乙两次，乙赢得甲5次的情况来分析，为了保证这个情况的实现，可以有以下几种组合的情况：

①甲先赢乙一次，接着乙赢得甲一次，甲再赢乙一次，最后乙通过连续4次取胜来超过甲；
②甲直接先赢两次，则乙通过连续赢甲5次来超过甲
对于概率为1/2的时候，其实我们只要考虑总的情况就可以，永远是(1/2)^7，但是对于第二题而言，由于各自获胜概率不同，还要考虑到①②两种排列组合的概率。。。这就大大增加了难度

至于第三题，甲走的距离都出现了无理数π。。。那么可想而知乙要超过甲不再是简单的距离叠加来算了

第一题其实是很简单的。。2，3题非常有难度。。。大家可以互相探讨一下~~~~(打字累哦

)

作者: R'cube 时间: 2009-1-29 13:58:37

沙发么。。。也顺便拿下了~~~~~~

作者: Zeon.C 时间: 2009-1-29 16:11:28

正在思考中。。。有答案了再发

作者: tw1123581321 时间: 2009-1-29 16:14:14

Orz
LZ都搞这么高深的东西了

作者: lulijie 时间: 2009-1-29 16:24:45

用电脑模拟猜拳过程，猜拳最大次数限定为十万次。
共试验1000次，第一题乙能追上甲的次数为614次。概率约为0.614。
第二题乙能追上甲的次数为387次。概率约为0.387。
第三题乙能追上甲的次数为338次。概率约为0.338。

作者: R'cube 时间: 2009-1-29 16:26:53

貌似已经有人在思考了
呵呵。。。第一题应该还是蛮简单的。。后两题麻烦

作者: Cielo 时间: 2009-1-29 16:52:39

原帖由 lulijie 于 2009-1-29 16:24 发表
用电脑模拟猜拳过程，猜拳最大次数限定为十万次。
共试验1000次，第一题乙能追上甲的次数为614次。概率约为0.614。
第二题乙能追上甲的次数为387次。概率约为0.387。
...

第一题里面，乙要能追上甲，第一次只能甲赢，所以概率不超过0.5吧？

原题要求“乙首次追上甲的概率”，我对这种表述也不太理解

，难道是问“乙能追上甲的概率”吗？

作者: R'cube 时间: 2009-1-29 16:56:41 标题: 回复 7# 的帖子

不是这个意思哦。。。第一次就赢甲只是所有情况里面的一种这是0.5的概率。。最后要加进去的

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-29 18:27:06

第一道题也不简单阿

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-1-29 18:29:13

并不能简单地证明阿

作者: R'cube 时间: 2009-1-29 19:03:58

第一题的话还是很简单的
甲1 乙3
  2    5
  3    7
。。。。
  n    2n+1

P=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4+(0.5)^7+(0.5)^10+...+(0.5)^(2n+2)]
=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4*[1-(0.5)^3n]*[1-(0.5)^3]]

[ 本帖最后由 R'cube 于 2009-1-29 19:41 编辑 ]

作者: juventus66 时间: 2009-1-29 19:16:06

懒的思考,顶一下

作者: lcwumin 时间: 2009-1-29 19:21:29

与魔方有关吗？？？？

作者: R'cube 时间: 2009-1-29 19:27:56 标题: 回复 13# 的帖子

这个肯定没有关系啊~~~~

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 11:55:59

11楼得出的
P=lim(n趋近于无穷)[0.5+(0.5)^4+(0.5)^7+(0.5)^10+...+(0.5)^(2n+2)]
是错误的。
甲1乙3概率没问题，为(0.5)^4
甲2乙5，概率算错了
甲2乙5实际上就是第1次为甲赢，第2至第4次甲赢1次，第5-7次为乙赢，也就是以下三种情况：
第1、2次甲赢或第1、3次甲赢或第1、4次甲赢，每种情况的概率为(0.5)^7
所以概率为3 * (0.5)^7。

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 12:35:04

而甲3乙7的概率：无非是以下情况：甲赢的轮次如下
123，124，125，126，127
134，135，136，137
145，146，147
总共12种情况，每种情况概率(0.5)^10,  所以甲3乙7的概率为12 * (0.5)^10
而甲4乙9的概率：无非是以下情况：甲赢的轮次如下
1234，1235，1236，1237，1238，1239，123 10，
1245，1246，1247，1248，1249，124 10，
1256，1257，1258，1259，125 10，
1267，1268，1269，126 10，
1278，1279，127 10，
1345，1346，1347，1348，1349，134 10，
1356，1357，1358，1359，135 10，
1367，1368，1369，136 10，
1378，1379，137 10，
   1456，1457，1458，1459，145 10，
   1467，1468，1469，146 10，
   1478，1479，147 10，
总共55种情况，每种情况概率(0.5)^13,  所以甲3乙7的概率为55 * (0.5)^13.
大家有没有从甲3乙7，和甲4乙9的各种情况种看出什么规律吗，
   甲4乙9的各种情况都是从甲3乙7的每种情况延伸而来的，甲3乙7的每种情况都可续出更多的情况，成半几何级数扩展。
   所以本题貌似简单，其实不尽然。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-30 12:39 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 14:05:49

第一题的总概率应该是以下数列的总和。
      数列通项公式：A(n)=K(n) * 0.5^(3*n+1) (n>=0)
      其中 K(0)=1  , K(1)=1  , K(2)=3
      而K(n) 可以从 K(n - 3) 来求出，使用以下3重循环：
   -----------------------------------------------------------
      K(n)=0
      For k = 2 * n - 1 To 2 * n - K(n - 3)  Step  -1
            For j = 5 To k
                  For i = 3 To j
                        K(n) = K(n) + i
                  Next i
            Next j
      Next k
   -------------------------------------------------------------------------
通过电脑的高速计算能力，算出K(n)的前101项
1，1，3，12，55，273，742，1470，2607，4277，6620，9792，13965，19327，26082，34450，44667，56985，
71672，89012，109305，132867，160030，191142，226567，266685，311892，362600，419237，482247，552090
，629242，714195，807457，909552，1021020，1142417，1274315，1417302，1571982，1738975，1918917，
2112460，2320272，2543037，2781455，3036242，3308130，3597867，3906217，4233960，4581892，4950825，
5341587，5755022，6191990，6653367，7140045，7652932，8192952，8761045，9358167，9985290，10643402，
11333507，12056625，12813792，13606060，14434497，15300187，16204230，17147742，18131855，19157717，
20226492，21339360，22497517，23702175，24954562，26255922，27607515，29010617，30466520，31976532，
33541977，35164195，36844542，38584390，40385127，42248157，44174900，46166792，48225285，50351847，
52547962，54815130，57154867，59568705，62058192，64624892，67270385，
然后求A(n)的前N项的和S(N)，S(0)=0.5,从S(1)开始至S(100)的结果如下：
.5625，.5859375，.59765625，.6043701171875，.608535766601563，.609951019287109，.610301494598389，
.610379189252853，.61039512231946，.610398204997182，.610398774966598，.610398876575346，.61039889415315，
.61039889711833，.610398897607894，.610398897687238，.610398897699892，.610398897701881，.61039889770219，
.610398897702237，.610398897702244，.610398897702245，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，
.610398897702246，.610398897702246，.610398897702246，

从前24项和开始的值都等于0.610398897702246
所以第一题的概率等于0.610398897702246
------------------
有错误，见20#

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-30 20:17 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 14:26:59

第一题的近似概率为61%,与电脑模拟算出的概率基本吻合。

作者: kexin_xiao 时间: 2009-1-30 15:07:35

LZ能给详细解答一下吗?我学习了

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 19:12:30

17#：第一题的总概率应该是以下数列的总和。
      数列通项公式：A(n)=K(n) * 0.5^(3*n+1) (n>=0)
      其中 K(0)=1  , K(1)=1  , K(2)=3
      而K(n) 可以从 K(n - 3) 来求出，使用以下3重循环：
   -----------------------------------------------------------
      K(n)=0
      For k = 2 * n - 1 To 2 * n - K(n - 3)  Step  -1
            For j = 5 To k
                  For i = 3 To j
                        K(n) = K(n) + i
                  Next i
            Next j
      Next k
   -------------------------------------------------------------------------
17# 中得出的计算K(n) 的三重循环公式，是观察16#的变化规律得出的，n=3,n=4,n=5都符合正确的结果，但计算n=6时，却出现了错误。所以千万不要想当然，想当然会出大错的。
实际上K(n) 的递推公式可以是如下：
      K(0) = 1
      K(1) = 1
   ---------------
      K(n) = Combination(3 * n - 2, n)                            Combination（A,B）表示组合数  从A个中任取B个的组合数。
      For i = 0 To n - 2
         K(n) = K(n) - K(i) * Combination(3 * n - 3 - 3 * i, n - i)
      Next i
------------------
用甲157   表示甲在第1、5、7轮次胜出
K(0) 表示第一轮次乙就超过甲的总情况数，即  乙1  一种情况。
K(1) 表示第四轮次乙才超过甲的总情况数，只有  甲1（即乙234）  一种情况。
K(2) 表示第七轮次乙才超过甲的总情况数，只有  甲12，13，14  三种情况。

K(n)表示第(3*n+1)轮次乙才超过甲的总情况数,可以这样计算：
最后3轮次必须都是乙胜出。甲总共胜出n次，乙总共胜出 2*n+1。
所以甲的胜出轮次都在前3*n-2 轮次中，总情况为  Combination(3 * n - 2, n) 种，但要减去以下情况。
      乙在第一轮次就胜出的情况，即甲在第2轮次至第3*n-2轮次中胜出n次,总情况为K(0) * Combination(3 * n - 3, n)
      乙在第四轮次就胜出的情况，即甲在第5轮次至第3*n-2轮次中胜出n-1次,总情况为K(1) * Combination(3 * n - 3-3, n-1)
      ……
      乙在第(3*i+1)轮次就胜出的情况，甲在第3*i+2轮次至第3*n-2轮次中胜出n-i次,
                  总情况为K(i) * Combination(3 * n - 3-3*i, n-i)
      ……
      乙在第(3*n-5)轮次就胜出的情况，甲在第3*n-6轮次至第3*n-2轮次中胜出2次,
                  总情况为K(n-2) * Combination(3, 2)

所以就得出了上述红字部分的递推公式，由于电脑记录整数有个上限，所以n 较大时会溢出。
K（n）只算出以下部分：
1，1，3，12，55，273，1428，7752，43263，246675，1430715，8414640，50067108，300830572，1822766520，
前n项的和，算出以下部分：
.5625，.5859375，.59765625，.6043701171875，.608535766601563，.611259460449219，.613107681274414，
.614397019147873，.615315955132246，.615982183720917，.616471980232745，.616836266388418，.617109870199783，
.617317094761347，
第一题概率的近似值比0.617略大点。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-30 19:13 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 19:45:12

采用科学计数法，再计算，得到
K(n) 的前75项，如下：
1，1，3，12，55，273，1428，7752，43263，246675，1430715，8414640，50067108，300830572，1822766520，
11124755664，68328754959，422030545335，2619631042665，16332922290300，102240109897695，642312451217746，
4.04851484403913E+15，2.55944037411317E+16，1.62250238001817E+17，1.03114798315979E+18，
6.56851741377105E+18，4.19323535909429E+19，2.68225186597701E+20，1.71892996554286E+21，1.10349667951898E+22，
7.09560230486396E+22，4.56949965738719E+23，2.94692427022542E+24，1.90306490596398E+25，1.23052100237543E+26，
7.96607831560622E+26，5.16287994616852E+27，3.34969627129403E+28，2.17550867863013E+29，1.41428207709834E+30，
9.20260006852421E+30，5.99328996059367E+31，3.90645234961543E+32，2.54827184042207E+33，1.66356412967036E+34，
1.08679967966405E+35，7.10496811856533E+35，4.64798590900734E+36，3.04260549454807E+37，1.99293672373586E+38，
1.30616458261516E+39，8.56542543599596E+39，5.62001260885169E+40，3.68938646289547E+41，2.42321078442568E+42，
1.59235736486673E+43，1.04687476184488E+44，6.88567758918112E+44，4.53095434582224E+45，2.98275345798751E+46，
1.96437153964454E+47，1.29420401050643E+48，8.53000303587626E+48，5.62416079527545E+49，3.70956832348855E+50，
2.447605128273E+51，1.61550056559312E+52，1.0666361559582E+53，7.04473645075351E+53，4.6542368235129E+54，
3.07583947979984E+55，2.0333243457699E+56，1.3445406975258E+57，8.89328433435087E+57，5.88393826582104E+58，
得出前n项的和，如下：
.5625，.5859375，.59765625，.6043701171875，.608535766601563，.611259460449219，.613107681274414，.614397019147873，
.615315955132246，.615982183720917，.616471980232745，.616836266388418，.617109870199783，.617317094761347，
.61747518704783，.617596563299029，.617690272904735，.617762982272224，.617819648479681，.617863988059387，
.617898807887139，.617926241690821，.617947920994055，.617965099906216，.617978747036142，.617989613736658，
.61799828514414，.618005218602707，.61801077276498，.618015229752574，.618018812116259，.618021695875968，
.618024020589315，.618025897156196，.618027413890433，.618028641259134，.618029635593643，.618030442003687，
.618031096672017，.618031628665806，.618032061369982，.618032413623906，.618032700624698，.618032934646507，
.618033125614304，.61803328156241，.618033409001525，.618033513212974，.618033598484942，.618033668302421，
.618033725500122，.618033772385737，.618033810839424，.618033842394182，.618033868300871，.618033889580854，
.618033907068666，.618033921446632，.618033933272974，.618033943004662，.618033951015988，.618033957613703，
.618033963049335，.618033967529237，.618033971222789，.618033974269086，.618033976782407，.618033978856686，
.618033980569167，.618033981983395，.618033983151668，.618033984117047，.618033984914996，.618033985574736，
.618033986120355，
从以上看出第一题概率基本上略大于0.61803398
而黄金分割点的值为0.6180339887.
两者惊人的相等。可以想象，第一题概率将会等于黄金分割值，（根号5-1）/2。
天哪，真的等于黄金分割值？？？

作者: R'cube 时间: 2009-1-30 19:48:51 标题: 回复 21# 的帖子

对的对的。。。。我没把那个算进去。。。那个也是要分情况的。。。。
多谢指出错误~~~

作者: R'cube 时间: 2009-1-30 19:50:17

恩。。。。和黄金分割非常接近哦。。。。支持了~~~~

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 19:52:39

计算到前146项的和为 0.618033988749888
黄金分割值 0.61803398874989484820458
大家还有理由不相信，其概率就是黄金分割值嘛。

作者: R'cube 时间: 2009-1-30 19:55:15

LS花了不少功夫吧。。。。非常好的解答~~~~

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 20:15:19

计算第二题：
计算到前146项的和为 0.366025403784439。其实从前41项和开始就是这个值。
以下是前n项的和：
.358024691358025，.363511659807956，.365137428237565，.365689386655025，.365892328941849，
.365970961850704，.3660025814331，.36601565292713，.366021173701087，.366023545589158，
.366024578928185，.366025034362794，.366025237066516，.366025328044651，.366025369175029，
.366025387887966，.36602539644944，.366025400385947，.366025402203977，.366025403046972，
.36602540343927，.36602540362243，.366025403708202，.366025403748479，.36602540376744，
.366025403776387，.366025403780617，.366025403782622，.366025403783574，.366025403784026，
.366025403784242，.366025403784344，.366025403784394，.366025403784417，.366025403784428，
.366025403784434，.366025403784436，.366025403784438，.366025403784438，.366025403784438，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，
.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，.366025403784439，

作者: 安静的猫 时间: 2009-1-30 21:06:25

咋有讨论起了猜拳呀？

作者: 安静的猫 时间: 2009-1-30 21:08:14

26楼的真强呀！！！！！！！！！！！！！！！

作者: o嗬飽彈o 时间: 2009-1-30 21:16:18

好复杂的
不能简单计算~以前做过相似的题目

按研究布赢的概率最大

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 21:25:23

计算第三题：
计算到前82项的和为 0.371739349306871。其实从前81项和开始就是这个值。
以下是前n项的和：
.358024691358025，.365340649291267，.36832122474555，.369726209808176，.370550616387251，
.371024891768179，.371301685480954，.371465991166701，.371565035876945，.371625539521027，
.371662922601327，.371689016362259，.37170624122691，.371717477860945，.371724790677537，
.371729553316717，.371732661032967，.371734693696481，.371736177117858，.37173719663517，
.371737886341045，.371738350188234，.371738661406999，.371738870058809，.371739009949753，
.371739114144862，.371739187148522，.371739237434774，.371739271828884，.37173929527238，
.371739311223374，.371739322066693，.371739330238189，.371739336028496，.3717393400602，
.371739342846203，.371739344763811，.371739346080727，.371739346983897，.371739347669709，
.371739348159291，.371739348502633，.371739348741534，.371739348907066，.371739349021472，
.371739349100417，.371739349160683，.371739349203931，.371739349234417，.371739349255734，
.371739349270576，.371739349280882，.371739349288025，.3717393492935，.371739349297445，
.371739349300235，.371739349302194，.371739349303563，.371739349304517，.371739349305181，
.371739349305641，.371739349305995，.371739349306251，.371739349306432，.37173934930656，
.371739349306649，.371739349306712，.371739349306755，.371739349306789，.371739349306813，
.37173934930683，.371739349306843，.371739349306851，.371739349306857，.371739349306861，
.371739349306865，.371739349306867，.371739349306869，.37173934930687，.371739349306871，
.371739349306871，
-----------------
第三题的概率为 0.371739349306871。

第三题的概率应该比第二题小，我来看看那里出了问题

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-1-30 21:28 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 21:35:05

计算第三题：
   计算到前82项的和为  0.342494244057092。其实从前17项和开始就是这个值。
以下是前n项的和：             （错误找到，以下对了）
.341563786008231，.342376670223035，.342487061906527，.342492843738061，.342493974611283，
.342494191472454，.342494233660186，.34249424200778，.342494243685111，.342494244026656，
.342494244050103，.342494244055559，.342494244056759，.34249424405702，.342494244057077，
.342494244057089，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，.342494244057092，
.342494244057092，
-----------------
所以第三题的概率为  0.342494244057092。

作者: lulijie 时间: 2009-1-30 23:21:48

一般情况，甲赢的概率为P，甲赢了前进X米，乙赢了前进1米，
那么乙超过甲的概率：
若甲赢了n次，那么乙必须赢YiWinNum(n)= clng(n*X)+1 ，                   clng() 表示取整函数。
那么这种情况的概率可表示为A(n)=  K(n) * p^n * (1-P) ^ ( clng(n*X)+1)， K(n) 表示甲赢n次且乙赢  clng(n*X)+1 次的情况总数。

  设WeiNum = YiWinNum(n) - YiWinNum(n - 1) + 1
那么以下递推公式可求出K(n)的值
  K(0) = 1
  K(1) = 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  K(n) = Combination(n + CLng(n * X) + 1 - WeiNum, n)                Combination(,)表示求组合数。
  For i = 0 To n - 2
   K(n) = K(n) - K(i) * Combination(n + CLng(n * X) + 1 - WeiNum - YiWinNum(i) - i, n - i)
  Next i                                                                      （n>=2）
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
求出了K(n)的通项，就可求A(n)的通项的和S(n)。
概率就等于S(n)当n趋向无穷的的极限。

作者: Cielo 时间: 2009-1-31 23:35:11

我凑出来的结果不对

，还是把想法写在下面吧：

将第一题变化一个形式：数轴上有一个点，各有1/2的概率向右走2 单位长度或者向左走 1 单位长度。
设从 n 出发能到 -1 的概率是a(n)，有 a(-1) = 1，a(∞) = 0
且满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
我们的目标是求 a(0)

递推式 a(n+1)= 2 a(n) - a(n-2) 的特征方程是 x^3 - 2x^2 + 1 = 0
解得 x = 1 或(1±√5)/2，记 α =(1+√5)/2，β =(1-√5)/2
用待定系数法设 a(n) = i α^n + j β^n + k，这里 i、j、k 待定

令 n = ∞得 i = k = 0，又令 n = -1，得 j = β
于是 a(0) = j =(1-√5)/2 = -0.618……

但是结果显然只能是正的

，估计是通项设得有点问题吧，希望大家帮我指出错误！

作者: lulijie 时间: 2009-1-31 23:48:54

满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
错了。
应该是a(n)= 1/2 a(n+2) + 1/2 a(n-1)

作者: lulijie 时间: 2009-2-1 00:06:58

33楼的解答非常对头，纠正那个错误后，就可得出
a(n)=(√5-1)/2  * [ (-1+√5)/2]…^n
a(0)=(√5-1)/2.
第二题也可这样做出。但第3题遇到无理数，就不能这么做了，有什么其他巧招么？

---------------------------------
第二题让电脑模拟计算的概率为             0.366025403784439
而用概率递推方法算出的概率为(√3-1)/2=0.3660254037844386467
   答案一模一样。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-2-1 00:23 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2009-2-1 00:20:17

原帖由 lulijie 于 2009-1-31 23:48 发表
满足递推式 a(n)= 1/2 a(n-2) + 1/2 a(n+1)
错了。
应该是a(n)= 1/2 a(n+2) + 1/2 a(n-1)

呵呵确实是这样，我也刚发现，正准备来改的，发现你已经指出来了

第三题貌似不能用这个方法了，晕啊……

作者: 狒狒 时间: 2009-2-1 19:23:32

这个些东西太费脑力了吧，还是留给数学家吧呵呵

作者: 阿亓儿 时间: 2009-2-1 20:28:44

啊概率呀好我来看看呵呵

作者: 绿雨 时间: 2010-10-1 10:38:04

囧……楼上怎么算的？？

作者: 喝着牛奶数星星 时间: 2010-10-1 10:50:25

正在思考当中。。。。。

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