2006-3-31 00:57:47 上传
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我们现在正在学习概率，我在一本书上看到了这个问题，感觉有争论价值。就贴出来
问题：首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是多少？
问题不简单哦，请冷静思考，再作回答。
[em05][em05][em05][em05]1～9：1/9＝0.1111111……
10～19：11/19＝0.5789……
20～99：11/99＝0.111111……
100～199：111/199＝0.5577889……
200～999：111/999＝0.11111……
1000～1999：1111/1999＝0.555777888……
2000～9999：1111/9999＝0.11111……
10000～19999：11111/19999＝0.555577778……
20000～99999：11111/99999＝0.1111111……
100000～199999：111111/199999＝0.555557777……
…………
好像呈有规律的摆动下降，“0.11111……”和“0.555555555……7777777……8888888……”，真可谓“还有完没完”？对邱兄的问题如何回答为好？
不错，其实给一个确切的定值是不可能的。
但可以通过合理的平均得到一个统计值。
你可以用同样的方法计算一下，首位数为2的，为3……为9的自然数。
你就会发现其实它们出现的概率是不一样的，首1的可能性最大，首9的可能性最小。并不是大家第一感觉中的都占1/9。
其实这才我真正想说明的。
乌木先生的分析方法是相当正确，相当理性的。
要从整体上思考,不要从局部去看这题
2楼是从一系列“关节点”看那概率的变化，若逐个看n，概率值P依次为：1/1＝1，1/2＝0.5，1/3＝0.333……，1/4＝0.25，1/5＝0.2，1/6＝0.1666……，1/7＝0.1428……，1/8＝0.125，1/9＝0.111……，到n＝10时，P＝2/10＝0.2，接着依次为：3/11＝0.272727……，4/12＝0.333……，5/13＝0.3846……，6/14＝0.4285……，7/15＝0.4666……，8/16＝0.5，9/17＝0.5294……，10/18＝0.5555……，11/19＝0.5789……，接着依次又下降：到n＝20时，P＝11/20＝0.55，后面是：11/21，11/22，11/23，11/24，……，n＝99时，P＝11/99＝0.1111……， 等等。
如此这般下去，该如何取“平均”？总体数目为无穷大；各个P值在求均值时的“权重”该赋于多少？我是只感到“不可思议”了。如果事先给定某个确定值N，然后问1～N中什么什么的概率（实为“含量”）为多少，则这样的问题又毫无意思了。总之，邱兄的问题很奥妙！
[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:36:11编辑过]
我再想想，总体数目为无穷大，其中某一特征成员的数目，尽管也是无穷大，但后者比之前者，应属“小巫见大巫”，好像叫“次级无穷大”什么的？不论其概率是不是确切的定数，都不能用常规的取平均值的方法来求的吧？我5楼最后一段话好像还未“脱俗”。
此外，我还把概率理解为某一事物可能性大小的预报。这样，有关的总体和局部，他们的数目是否无穷大，好像不是妨碍分析的因素（？）1楼邱兄给的问题“首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是多少？”是否可以理解为：如果随机地取一个自然数，它的首位数字为1的概率是多少？（当然取的次数要足够大量，才能体现预报的概率值，这是另一回事。）有点摇奖的味道。尽管没限定所取数的位数，就是说也是随机的，但实际做起来，例如用随机数发生器，位数总是有限的，这就不大对了。所以，此题还得分析解决。
[此贴子已经被作者于2006-3-22 15:34:25编辑过]
个位数是1/9
十位数也是1/9
百位数还是1/9
。。。。。。。。。。。
总结：首位数为1的自然数在所有自然数中的概率是1/9
[em01][此贴子已经被作者于2006-3-22 15:43:59编辑过]
现在来揭底了，下面就是该问题出现的历史缘由。
天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。本世纪韧，有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以１为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是１的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。
下面就是该问题的分析过程及研究结果。
大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除０以外，共有九个数字：１，２，３，４，５，６，７，８，９，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为１的自然数应该占全体自然数的１／９。可是，事实并不这么简单。１９７４年，现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西·迪亚科尼斯（当时还在哈佛大学做研究生），研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是１的自然数约占全体自然数的１／３。准确一点说，这个数值应该是ｌｇ２约为０．３０１０３。这是怎么一回事呢？
事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是１的自然数的分布规律是；
Ｉ到９之间，这样的数只有１个，它就是１，所以占１／９；
Ｉ到２０之间，这样的数有１１个，它们是１，１０，１１……，１９，所以约占１／２，
１到３０之间，这样的数同样有１１个，约占１／３，
１到１００之间．这样的数仍然只有］１个，约占１／９，
ｌ到２００之间，这样的数有１１１个，它们是１，１０，１１，…，１９，１００，１０１，…，１９９，约占１／２。
注意到首位数是１的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在１／２与１／９之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的ｌｇ２。．
该问题的实际意义呢？
迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。
[此贴子已经被作者于2006-3-22 18:21:08编辑过]
[此贴子已经被作者于2006-3-22 22:52:20编辑过]
一位数：1～9 ，1首、2首、3首……9首各为1/9；
二位数：10～99，1首、2首、3首……9首各为1/9；
三位数：100～999，1首、2首、3首……9首各为1/9；
………………………………
N位数：1000……～9999……，1首、2首、3首……9首各为1/9 。
整体看时，好像看不出1首、2首、3首……9首有概率依次减小之事嘛，愿闻其详。
此外，当N趋向无穷大时，各“段”的规律看来仍然是“1首、2首、3首……9首各为1/9 ”，可以这样讲吗？
[此贴子已经被作者于2006-3-24 11:41:47编辑过]
令g(x)表示小于等于x的自然数中首位为1的个数,
又令f(x)=g(x)/x
则所求概率应为: lim f(x) ,其中x趋向无穷大
这个极限怎么算呢?
这个极限好像不存在
[此贴子已经被作者于2006-3-24 13:04:15编辑过]
我保留自己的意见。
之前看到过一个问题，最后记得也是用对数的。但一时忘了问题是什么了。
当初记得是直接平均不对，仔细考虑后才发觉用对数的。
[此贴子已经被作者于2006-3-28 14:15:31编辑过]
我问了一下ZYu，他简单说了一点，无暇细想，说还是等着看或许会贴出证明吧。他说，自然数集合中首位数为1的自然数是子集。子集是合集的“部分”，这两个都是无穷大，在无穷大的世界里，它们是一样大的，即可以是部分等于全部。缘于首位数是1的自然数集合与整个自然数集合是一样大的无穷大，比率（成分）是1/9的说法确是有问题的。
| 原作者：[美] T.帕帕斯 |
| --作者：zwh2010 --发布时间：2003-6-26 5:54:00 -- 首位数问题 人们对生活中的许多现象由于习以为常而不求甚解。可是，如果仔细研究，这里面可能蕴含着深奥的道理。 天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。本世纪韧，有一次天文学家西蒙·纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以１为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是１的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。 大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除０以外，共有九个数字：１，２，３，４，５，６，７，８，９，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为１的自然数应该占全体自然数的１／９。可是，事实并不这么简单。１９７４年，现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西·迪亚科尼斯（当时还在哈佛大学做研究生），研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是１的自然数约占全体自然数的１／３。准确一点说，这个数值应该是ｌｇ２约为０．３０１０３。这是怎么一回事呢？ 事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是１的自然数的分布规律是； Ｉ到９之间，这样的数只有１个，它就是１，所以占１／９； Ｉ到２０之间，这样的数有１１个，它们是１，１０，１１……，１９，所以约占１／２， １到３０之间，这样的数同样有１１个，约占１／３， １到１００之间．这样的数仍然只有］１个，约占１／９， ｌ到２００之间，这样的数有１１１个，它们是１，１０，１１，…，１９，１００，１０１，…，１９９，约占１／２。 注意到首位数是１的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在１／２与１／９之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的ｌｇ２。． 迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。 选自《生活中的数学》 |
[此贴子已经被作者于2006-3-28 19:35:34编辑过]
ZYu先生再想想，对我说：（我作过修改）
对所说概率算平均值是什么意思？是否如下：
自然数有无穷多，要想知道首位是1的自然数在所有自然数中的比率（成分）占多少，我们先要从自然数中取出一定量的数，算出其中的比率。取多少数、怎样取，应是随机的。应该对每一种取法求出一个比率，再对各种取法的比率求平均。
这个平均比率就是对数量不确定的自然数中取得首位是1的数的概率。（不知这样说法对不对。）
这样随机的取数太庞杂了，作一个简化：将顺序递增排列的自然数，从1开始逐个取数，对每一组数求首位1所占比率，再求各种比率的平均值。（这样的简化是否有违“随机取数”？）具体来说，下面是头20个数和头10000个数的情况。图中lg2水平线是否就是波动到后面时的平均值？不知如何证明。
[此贴子已经被作者于2006-3-31 0:58:04编辑过]
附件: r80BazBU.gif (2006-3-31 00:57:47, 21.07 KB) / 下载次数 28附件: uT1TKYzB.jpg (2006-3-31 00:57:47, 44.86 KB) / 下载次数 29ZYu老弟说：
只算到1万，就看出点趋势。昨天看到首1的概率平均是在0.3附近震荡，今天再看看首9的概率，结果平均是在0.045附近震荡，比首位1的0.3小很多。不知道用“高等数学”方法算出来的是多少。
有空还可把首2到首8的都算一算。
这种不同于想当然（“各为1/9”）的结果，是不是有什么深层的原因？
附件: [首位数为1的自然数的概率。] xLlYaI9n.jpg (2006-3-31 22:55:17, 31.8 KB) / 下载次数 32
请大家参考：在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率。
好帖子，加精了！
原帖由 superacid 于 2010-4-21 15:14 发表
LS请注意：二进制数第一位必然为1
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