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标题: 一个几何题! [打印本页]

作者: liyonggogo2008 时间: 2009-2-3 16:58:45 标题: 一个几何题!

在圆O中,弦AB,CD的延长线交在圆外一点P, M,N分别是弧AB,弧CD的中点,连接MN,求证:角P的平分线垂直于MN(这里的弧都是劣弧,图要自己画)

作者: o嗬飽彈o 时间: 2009-2-3 17:02:47

数学问题~

还要画图~~
老了~等年轻人算吧

作者: aben306 时间: 2009-2-3 17:09:32

哈哈,这是在考初三的数学老师呢.

作者: aben306 时间: 2009-2-3 17:09:53

刚才见过了吧.真强,考倒人了呵.

作者: cod 时间: 2009-2-3 17:14:04

大家都回复一些水灵灵的玩意,我也参与,哈哈.

作者: kexin_xiao 时间: 2009-2-6 21:05:13

LZ能公布一下答案吗,我想回忆一下初中知识,谢谢

作者: ggglgq 时间: 2009-2-11 09:38:18

　　　　
　　　　
　　　　
　　这道题目比较简单，只要运用下面两个定理，便可轻松解决。


定理 1 ：角的顶点在圆外，两边把圆分成 4 份，那么角的大小为该角所含

的两个弧的差的绝对值的一半。

定理 2 ：角的顶点在圆内，那么角的大小为该角及其对顶角所含的两个

弧的和的一半。　　
　　　　
　　　　
　　　　

作者: ggglgq 时间: 2009-2-11 09:39:12

　　　　
　　　　
　　　　

　　　　
　　由上面两个定理可以得到 △UWX ∽ △VWY ，故 ∠UWX = ∠VWY = Rt∠ 。
　　　　
　　因为 ∠XUW = ( 弧CN - 弧AM ) / 2　， ∠YVW = ( 弧DN - 弧BM ) / 2 ，
　　　　
　　所以 ∠XUW = ∠YVW ；　　
　　　　
　　又因为 ∠UXW = ( 弧AQ + 弧PC ) / 2 ， ∠VYW = ( 弧BP + 弧QD ) / 2 ，
　　　　
　　所以 ∠UXW = ∠VYW ；

因此 △UWX ∽ △VWY ，故 ∠UWX = ∠VWY = Rt∠ 。　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　

作者: ggglgq 时间: 2009-2-11 15:23:15

　　
　　
　　　
另外，楼主题目中的弧（与优弧、劣弧无关）可参考我下面的图为准。

  　
　　　
　　因为题目过于简单，加上我思维惯性作怪，上面帖子竟把题给作复杂了！
　　　　
　　
　　有非常简单的方法，只用定理 2 即可证明。


在 △PXY 中，

      ∠PXW = ( 弧AM + 弧BDN ) / 2 = 弧MDN / 2 ，

      ∠PYW = ( 弧MBD + 弧NC ) / 2 = 弧MDN / 2 ，　
　　
　　因此  ∠PXW = ∠PYW  ，又因 PW 平分 ∠XPY ，　
　　
　　从而直得 PW ⊥ XY ，即 PW ⊥ MN  。　　
　　
　　　　
　　
　　　　
　　
　　

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