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标题: 一个命题：魔方公式命题，求证！ [打印本页]

作者: longqi2008 时间: 2009-2-20 19:36:58 标题: 一个命题：魔方公式命题，求证！

命题：从魔方的任意一个状态ω出发，按照任意一套公式（可以随便设计），反复使用后，魔方会回到状态ω。

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我以实验太多次，但是不知道如何证明？

作者: aben306 时间: 2009-2-20 19:42:07

哇,工程师哦.看不懂呵呵.

作者: unknownzone 时间: 2009-2-20 19:43:45

这个你需要用群论的知识。

作者: 业余魔术师 时间: 2009-2-20 19:59:59

RUR'U'RUR'U'RUR'U'

作者: oasis979 时间: 2009-2-20 20:01:04

这个很好证明，一个公式就是移动块的位置和色相，我们先考虑位置；位置的移动以三棱换为例，为1-1-2，也就是1，1，2的最小公倍数次2次复原，其他公式道理类似，色向也是如此

作者: lamianbu 时间: 2009-2-20 20:02:47

谁能证伪呢？

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作者: juventus66 时间: 2009-2-20 20:52:59

不明白, 学习了

作者: tsstss123 时间: 2009-2-20 20:58:14

额晕
魔方守恒定理：
玩魔方的应该都知道

每个操作或操作序列都有周期性
比如R为4
RUR'U'为6等等

作者: Sabola 时间: 2009-2-20 21:06:57

不懂.....
有待学习

作者: 乌木 时间: 2009-2-20 21:21:17

像样的证明我不会。只能用外行话说说。
1、任何公式只管魔方的变化模式，不管被它捣鼓的具体块谁是谁！比如同一魔方的同一状态，红面朝上时，做一下U；或者，黑面朝上时，也U一下。两者的状态当然不同，但是两者的变化模式是不是毫无区别？答案是肯定的。
2、任一公式做一遍之后，26个块仍然构成同样的立方体，并未散架。可见，一般而言，一遍公式后，只要状态有变，角块簇、棱块簇（约定中心块簇不动！）总是发生了或大或小的位置方面的循环。不成循环的话，魔方一定是散架了。
好，既然有循环，加上上述任一公式的变化模式不变，那么，做了“这些循环大小的最小公倍数”遍后，位置方面而言，各块是不是一定复原呢？答案也是肯定的。
公式做了一遍后，除了位置发生了一些循环，循环内部各块的色向和非零的话，对于角块，做“三倍次有关循环大小”遍公式的话，这循环内的角块的色向也一定伴随着位置复原而复原（因为指定的一个公式的变化模式永远一样，再加任一角块色向只有三种）。对于棱块，作“两倍次有关循环大小”遍公式后，循环内的棱块的色向非复原不可（因为棱块只有两个色向）。
总之，做一遍公式，查看一下角块、棱块成环情况，包括循环内色向情况，所有的有关数据的最小公倍数，就是公式重复周期。
注意，一遍公式后，中心块要保持原状！否则，如果公式含有中层转、整体转，则要连做几遍，直到第一次中心块组复原时，这几遍原公式当作一个新公式，求得新公式的重复周期，再乘以几，才是原公式的重复周期。

作者: 无为子 时间: 2009-2-20 21:25:57

原帖由 oasis979 于 2009-2-20 20:01 发表
这个很好证明，一个公式就是移动块的位置和色相，我们先考虑位置；位置的移动以三棱换为例，为1-1-2，也就是1，1，2的最小公倍数次2次复原，其他公式道理类似，色向也是如此

来，uR'B' 证明一下需要多少步？

作者: 溪风 时间: 2009-2-20 21:55:36

CFOP中有很多公式是可以的，不过是不是随便做公式都能做到初始状态还真不是很确定

作者: Xwam 时间: 2009-2-20 22:15:58

任何公式做完n次后都可以回到原状态

作者: 乌木 时间: 2009-2-20 22:23:14 标题: 回复 11# 的帖子

演示一下252遍（u R' B'）的过程。
1、（u R' B'）4－－中心块复原，此时，角块位置有两个3元环（具体循环您自己查看），故每3遍(（u R' B'）4) 之后，角块位置复原；
2、角块的循环内部色向和不是3的倍数，故每3×3遍(（u R' B'）4) 之后，角块位置和色向都复原；
3、（u R' B'）4 后，棱块有一个7元环和一个3元环，环内色向和是偶数，故每7×3遍(（u R' B'）4) 之后，棱块复原。
4、9和21的最小公倍数为63，这是(（u R' B'）4) 的重复周期，而（u R' B'）的重复周期就是63×4＝252 。

下图可以点击有关括号的第一个动作符号，查看公式(（u R' B'）4)做  1、3、9、21遍后的有关情况，点击最后一个括号可以快点演示到底，共做了63遍(（u R' B'）4)。

      [java3=300,300]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=scrpt](TU R' B')4 ((TU R' B')4)2 ((TU R' B')4)6 ((TU R' B')4)12 ((TU R' B')4)41 (TU R' B')4 [/param]
[/java3]

我贴了很多很多次，这java总算出来了。哪位要训练自己的耐心，就上来贴贴java图好了。

从发帖时间到最后编辑时间，我一直在贴这个恼人的java图！

[ 本帖最后由乌木于 2009-2-20 23:15 编辑 ]

作者: liuii 时间: 2009-2-20 22:26:50

学点组合数学素王道。

要是早点玩魔方，当年考组合数学就不用那么拼命的进行空间想象了。

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-2-20 23:03:22

顶顶乌木,好厉害.学习

作者: V_figo 时间: 2009-2-20 23:04:20

有限群的元素的阶整除该群的阶

作者: smok 时间: 2009-2-21 10:11:54

去看公式循环原理吧,该贴已发出N年了

[ 本帖最后由 smok 于 2009-2-21 10:14 编辑 ]

作者: longqi2008 时间: 2009-2-21 10:59:23

明白了~~~~~~~~~~~~

作者: 乌木 时间: 2009-2-21 12:52:57

18楼说的帖子：http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1

作者: Atato 时间: 2009-2-21 16:59:13

转魔方转的久一点就能想出来了

就是三个不同簇的排列组合.

作者: 乌木 时间: 2009-2-21 21:02:56 标题: 回复 21# 的帖子

“三个不同簇的排列组合”，如果限于用转魔方的办法，共有4千亿亿种方式；

这一点如何和1楼的“命题：从魔方的任意一个状态ω出发，按照任意一套公式（可以随便设计），反复使用后，魔方会回到状态ω。”联系起来？愿闻其详。

作者: earthengine 时间: 2009-2-22 10:44:47 标题: 回复 22# 的帖子

虽然4千亿亿是个有限的数字，但毕竟是有限的。

魔方有一个基本结论是

同一公式施加于相同的魔方状态得到相同的结果

那么，反复使用公式所得的状态数因为只能是总状态数的子集，所以不可能比它还大，是有限的。
因此，从任何状态出发反复使用公式之后必定会回到之前出现过的一个状态。那么从这个状态出发，若干次使用该公式将会回到该状态。

现在使用魔方另一个定理

如果一个公式把某个状态变回原状，那么它会把所有状态都变回原状（这个没想象的简单，如果考虑双色魔方等，你会发现这个定理不成立）。

就可以证明1楼的命题了。

作者: smok 时间: 2009-2-22 15:51:43

这简直就是屁话中的屁话

作者: 乌木 时间: 2009-2-22 16:22:15

画个公式重复周期现象的示意图。每一遍的结果作为新一遍的初态，最后得到原始的初态g0 。

公式重复周期示意图.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2009-2-22 16:39 编辑 ]

附件: 公式重复周期示意图.JPG (2009-2-22 16:39:25, 20.48 KB) / 下载次数 110
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=Mzk1MzJ8N2IwNmY5YmZ8MTc2MTMxOTI5NnwwfDA%3D

作者: ydx19891014 时间: 2009-2-22 18:47:19

(R'URU')X6

作者: 乌木 时间: 2009-2-23 20:28:12

25楼我固定了态态关系树，让有关的态依次置于树根处，重复爬树动作（公式），重复n遍后，在爬树的末端出现初态g0 。
下面我在四千亿亿个态汇集成的态海洋中（一个黄色点子代表一个魔方态，点子密集处已经分不清一个个分立的点子了），找找公式重复周期的轨迹。假定有个十步的公式，一遍一遍走下去，走完n遍后，回到出发点态0。

在四千亿亿海洋中循环.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2009-2-23 20:35 编辑 ]

附件: 在四千亿亿海洋中循环.JPG (2009-2-23 20:28:12, 62.6 KB) / 下载次数 110
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=Mzk2NDh8NGZlN2I3OTJ8MTc2MTMxOTI5NnwwfDA%3D

作者: pengw 时间: 2009-2-24 08:24:53

太复杂了，看不懂，哈哈哈，我觉得这个问题是如此地一目了然，不明白还须要证明什么，难到N年前的贴子
“公式循环原理”还说得不够清楚。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-2-24 08:26 编辑 ]

作者: kexin_xiao 时间: 2009-3-10 20:33:58

还是老问题，还是没看明白，再次和几位高手学习，可惜资质有限啊

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