魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 小波谈OLL57个真正原因！ [打印本页]

作者: 小波 时间: 2009-3-3 14:02:14 标题: 小波谈OLL57个真正原因！

之前看了乌木老师写的一篇“OLL公式有57个的原因”，
原帖地址http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872&extra=page%3D2

我在11楼回了贴，内容是这样的：
乌木老师哦，这样看来57这个数字还是数出来的，问题是能否用一个通式表达出来呢？
怎样确认重复态是个比较棘手的问题。
还有一个问题是是否应当把4个方向看过去不对称的情况算做4种情况呢（有些2个方向不对称），因为我有十几个OLL是会从2个方向去解的。在我眼里就不止57个OLL了。

乌木老师在19楼给我的回帖是：
我不知道如何用一个通式表达OLL只有57式。确实，目前这里只有区区64个组合，还可以来点人工“数数”，在更复杂一点、数量更多的场合，数是数不过来的。
同样，对象较少时，查查重复态还可以人工干，否则也得靠数学。

之后我一直“耿耿于怀”，呵呵，我总是觉得应当可以用一个式子来表示，毕竟其终究是个数学模型而已，今天凌晨睡觉的时候我想了一下，下午就动手研究起来。我在构建角块和棱块情况的时候发现了这样一个问题，差点就抓住了乌木老师的把柄。乌木老师的图中将棱块具有一个折的情况分成了这样4个：

我的疑问是，你的棱块既然这样分，为何角块不是这样分呢？

而角块只列出了排除对称的8种情况（事实上有27种呢），可是棱块却把对称的也放进去了。

可是之后我在考虑排除重复态的时候遇到了困难，知道了乌木老师这样举例的原因，这个把柄最终没有抓住。但是细细看来，乌木老师这样例举仍然是不够系统。

[ 本帖最后由小波于 2009-5-6 12:56 编辑 ]

附件: 1.jpg (2009-3-3 14:08:20, 3.38 KB) / 下载次数 136
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDAzMjR8YTY5NzYxZjJ8MTc2NjQ0NTU5NHwwfDA%3D

附件: 2.jpg (2009-3-3 14:08:20, 3.61 KB) / 下载次数 127
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDAzMjV8MTE2MTIxZGN8MTc2NjQ0NTU5NHwwfDA%3D

作者: 小波 时间: 2009-3-3 14:02:33

OLL有57个真正原因！

为了让大家理解我的方法，我先介绍一些预备知识。

首先是对称性，比如这个图

，它对于通过中心与纸面垂直的轴具有旋转对称性，如果旋转90度即于原状态一致，称为4次转动对称性，比如

，180度对称为2次转动对称性，比如

，转360度才能对称称为1次转动对称，比如

。

然后是棱块角块的基本性质:
棱块有4个，固定U层，则棱块的状态会有几种呢？有8种，怎么出来的，是数出来的吗？可以不用细数，比如排练组合一下。一个棱块只有2种状态，即翻或不翻。
角块有4个，固定U层，则角块的状态会有几种呢？有27种！怎么出来的，为何不是乌木老师举的8种，因为其中和乌木老师举的棱块状态一样，是有重复状态（旋转对称）的。我也不是数出来的，是算出来的：1（4选0）+12（4选2，翻法各有2种）+8（4选3，翻法有2种）+6（4选4）=27！也可以最简单得这样算：3x3x3=27！最后一个角块起调制作用。一个角块不仅仅是翻不翻的问题，还有怎么翻的问题。

好了，接下来我制作的这张图，我认为比乌木老师的要有技术含量，呵呵，老师不要生气哦~~

下面我对图表做个解释，请大家听仔细了，这个部分最重要！
我枚举了4个棱块状态和8个角块状态，与乌木老师不同的是，我棱块避免了旋转态的重复例举。给出图片只是方便大家看而已，我这个表最最强大的地方是“具有状态数”和“n次轴对称”两行。

对于一个图，这两个指标的乘积是个定值4！
每当两个图组合（即形成一个OLL），棱块和角块都会各自有一个“具有状态数”的指标，我们所要做的就是取其中较小的一个，这个数即是这个棱块和角块组合成的OLL的个数！对于每个组合，我都用彩色写出来了。大家可以加一下，彩色数字的总和就是58！

我解释一下为何是取较小的那个，比如某角块状态有4次轴对称性（即1个状态数），某棱块状态有1次轴对称性（即4个状态数），则他们的组合，显然由于角块的4次对称，从4个方向看都是一样的，所以棱状态的变化已经没有效果了，为1个！也可以说，取n次轴对称较大的一个，也就是说，低次轴对称在高次轴对称面前失效！

我这样的话，就有效地消除了重复状态的棘手问题！
对于到底是不是数出来的这个问题，我想也应该明了了，如果能给出角块和棱块各自有多少n次轴对称的情况，就解决了所有问题！仍然使用排列组合，我有时间再想想。总之排列组合的表达有效得避免了枚举带来的操作困难。

[ 本帖最后由小波于 2009-3-3 18:59 编辑 ]

附件: 8.jpg (2009-3-3 14:04:12, 56.28 KB) / 下载次数 121
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDAzMjN8MWY3ODVhMDl8MTc2NjQ0NTU5NHwwfDA%3D

附件: 1.jpg (2009-3-3 14:18:32, 3.38 KB) / 下载次数 117
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDAzMjZ8ZTExZjM0NjR8MTc2NjQ0NTU5NHwwfDA%3D

附件: 6.jpg (2009-3-3 14:18:32, 1.93 KB) / 下载次数 125
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDAzMjd8ZGNlZjdjM2Z8MTc2NjQ0NTU5NHwwfDA%3D

附件: 7.jpg (2009-3-3 14:18:32, 1.42 KB) / 下载次数 125
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDAzMjh8MmFhZDYxMDl8MTc2NjQ0NTU5NHwwfDA%3D

附件: 2.jpg (2009-3-3 14:19:32, 3.61 KB) / 下载次数 118
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDAzMjl8NTQwMDZjODh8MTc2NjQ0NTU5NHwwfDA%3D

作者: 小波 时间: 2009-3-3 14:02:52

差不多了，以后再修正一下~~~~~

此文为继《小波浅谈空心魔方的数学原理》之后又一“巨作”，呵呵

希望大家少发水贴，崇拜乌木老师的最好方法不是灌水，而是多多向老先生学习~

18点42分，修正一下，棱块和角块的组合，取他们中间“具有状态数”较小的一个，不是最大的，之前写错了，或者也可以说是取“n次转动”较大的一个，然后再转化为状态数。

我感觉这个方法最大的优势就是降低了考虑重复状态的麻烦。

[ 本帖最后由小波于 2009-3-3 18:57 编辑 ]

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-3-3 14:09:33

楼主好强大,学习下,顶

作者: R_胆小鬼 时间: 2009-3-3 14:10:36

不是吧？这么多？唉…

作者: 美景 时间: 2009-3-3 14:11:09

哈哈！支持楼主了！

作者: juventus66 时间: 2009-3-3 14:13:19

学习了

作者: Uriel 时间: 2009-3-3 14:14:43

先顶..再慢慢看..

作者: 炀燚 时间: 2009-3-3 14:17:14

相当有钻研精神，顶了

作者: henryzhang 时间: 2009-3-3 14:22:50

顶了..........................

作者: his163 时间: 2009-3-3 14:25:09

我的疑问是，你的棱块既然这样分，为何角块不是这样分呢？
-----当时我也有这样的疑问

，但没有仔细想过这个问题。

作者: 小波 时间: 2009-3-3 14:27:10 标题: 回复 11# 的帖子

恩恩，我之前的表是8乘以27，但是发现这样的重复态更加繁琐了。。。。。。。还不如这样

作者: Uriel 时间: 2009-3-3 14:32:31

有这个表格容易理解多了。。。对记公式很有帮助啊~~~~

作者: noblsheep 时间: 2009-3-3 14:39:43

看明白了。lz凌晨睡觉的时候还在想，很强大……

作者: Zeon.C 时间: 2009-3-3 14:52:25

e 这属于理论帖了吧
事实上oll还不止57个公式方向、手法都不一样

作者: 小波 时间: 2009-3-3 14:57:33 标题: 回复 15# 的帖子

你肯定没有仔细看我的帖子，我有一个关键词是“固定U层”，即消除了方向问题。而且我在原来乌木老师的帖子里已经提过方向因素了。
是理论贴，但是乌木先生也放这个区了，而且，如果是理论区，那就应该尽可能不涉及还原系统，也肯定不涉及OLL。

[ 本帖最后由小波于 2009-3-3 15:00 编辑 ]

作者: Sabola 时间: 2009-3-3 15:59:21

好全的知识
学习了.........

作者: 乌木 时间: 2009-3-3 16:19:24

嗯，你这是严格的数学方法。我排那表格时并没有用你这样的数学方法，要用的话，有关数学也生疏了，很可能反而出错多多的。哪位要正规地探究，可以看看楼主的叙述。
我只是先列出顶层四个角块的全部8种色向情况，并人为地固定顶层的取向，即不管顶层四个角块的某一色向情况可能有不同的取向问题，只取其一。
接下来，在指定的一种角块色向情况时（即表格的同一列），棱块的不同色向情况，一和角块色向情况组合，就不能简并（旋转）对称的棱块情况了，因为顶层不再旋转了。所以棱块情况就有8种了。

此外，在三阶魔方中，要探究角块、棱块的色向问题，除了不能单单翻一个角块或棱块的颜色外，还有个重要现象，即角块的色向变换和棱块的色向变换两者毫无牵连、制约，而大不同的是，角块位置变换和棱块位置变换，两者有时毫无牵连，有时又相互制约，取决于块的位置循环内块数目的奇偶等因素。魔方块的色向变换方面的性质，对于OLL公式数目有着决定性的作用。

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-3 16:44 编辑 ]

作者: R'cube 时间: 2009-3-3 16:41:05

支持下吧。。。。其实还是枚举法

作者: kexin_xiao 时间: 2009-3-3 16:44:53

学习一下，LZ分析的很详细，我也是乌木老师的粉丝，比起LZ来距离太大了，加分鼓励！

作者: 乌木 时间: 2009-3-3 17:42:11

原帖由 N0S1N 于 2009-3-3 14:52 发表
e 这属于理论帖了吧
事实上oll还不止57个公式方向、手法都不一样

魔方的两个状态之间的变换路线不止一条；而下两层复原后，顶层的某种颜色情况和顶面同色两个情况之间，也是不止一种变换路线。这里探讨的不是具体的OLL公式有多少，而是下两层复原后，顶层不同的颜色情况有多少。某一情况做U，U'，U2之后只算同一情况。

面对下两层复原的一个正确三阶魔方，你能举出57种OLL情况和完成OLL情况以外的一个顶层颜色情况吗？

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-3 17:49 编辑 ]

作者: 小波 时间: 2009-3-3 18:51:17

原帖由 R'cube 于 2009-3-3 16:41 发表
支持下吧。。。。其实还是枚举法

对于是不是数出来的吧，我最后说：
如果能给出角块和棱块各自有多少n次轴对称的情况，就解决了所有问题！

其实问题是不大的，只是这个求和的式子非常长，看上去像是枚举了，呵呵。

作者: lcyboy 时间: 2009-3-3 21:59:17

这才是传说中真正的魔方玩家.

作者: ursace 时间: 2009-3-3 23:52:25

虽然没看懂，但还是顶了

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)