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标题: 木木木木木 [打印本页]

作者: 骰迷 时间: 2009-3-3 22:31:49 标题: 木木木木木

今天上中文課時，文章講到山上的林木，我就想到：要是有五個並排的木字（RT），兩個木字可以合拼為一個＂林＂字，那麼共有多少種念法呢？
回到家，開始算了算。
１：木木木木木
２：林木木木
３：木林木木
４：木木林木
５：木木木林
６：林林木
７：林木林
８：木林林
共八個。
可是這是沒意義的，因為這只是一條數。於是我開始尋找N個並排木字的總念法數Ｘ。
Ｎ＝１，Ｘ＝１
Ｎ＝２，Ｘ＝２
Ｎ＝３，Ｘ＝３（看到這裡都很無聊，後面開始不同了）
Ｎ＝４，Ｘ＝５（多了一個，看上去有點怪）
Ｎ＝５，Ｘ＝８（如上，開始瞧出關係了）
Ｎ＝６，Ｘ＝１３
看到了嗎？是斐波那契數列！
1 1 2 3 5 8 13....
就是根據前面兩個數字的和來創造下一個數的數列。其實上面應該加上一個Ｎ＝０，Ｘ＝１，這樣就更符合了。
到這哩，我被數學的奇妙雷著了。
然後我再算上＂森＂的組合，即是三個字可以合拼（雖然看起來並不能）的念法數：
Ｎ＝１，Ｘ＝１
Ｎ＝２，Ｘ＝２
Ｎ＝３，Ｘ＝４
Ｎ＝４，Ｘ＝７
Ｎ＝５，Ｘ＝１３
Ｎ＝６，Ｘ＝２４
這次又是些什麼呢？這次可是加上前三個數字了。
這時我想起了小六時遇到過一條奧數：十級樓梯，一步可走１至４級，問共有多少種走法？
用這個數列可以解決到。當１至Ｙ個元素可以併合時，下一個數就是前Ｙ個數的和。而頭Ｙ個數，都依次是１，２，４，８，１６......等數。
可能各位教授都已經知道這些東西了，可是小弟可是第一次找到這關係，因此在此留一筆，當做紀錄。
還有一點：請LULIJIE大師幫我列出Ｘ，Ｎ和Ｙ的關係（通用公式），讓我好搞清楚一點。先謝過了。

作者: 美景 时间: 2009-3-3 22:37:52

楼主！你真强大！我都看晕了！服了！支持！

作者: Cielo 时间: 2009-3-3 22:40:46

关于林、木的问题，设 n 个木的时候有 a(n) 种，考虑 n+1 个木的情况。
第一个木当作木，剩下的有 a(n) 种；前两个木当作林，剩下的有 a(n-1) 种，
所以 a(n+1) = a(n) + a(n-1) 正好是 Fibonacci 数列了。

后面那个通项实在是太难了吧

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-3-3 22:51:39

我先顶下,真的搞不明白.

作者: R'cube 时间: 2009-3-3 22:57:08 标题: 回复 3# 的帖子

你给的是递推公式，可不是通项公式

LZ给出的东西得用排列组合来解决了~~

作者: 美景 时间: 2009-3-3 23:00:48

能不能，给个通项公式。

作者: tonylmd 时间: 2009-3-3 23:01:10

增加难度口吕品㗊~

顺便考知道读音吗~？

作者: 骰迷 时间: 2009-3-3 23:05:59

口吕品田唱晶（瞣，這個多了點雜質）畕，下面的就不知道了

作者: 半分贝 时间: 2009-3-3 23:08:17

一二三卅...........

有点迷茫的是LZ居然可以从"木"想到这么多

作者: R_胆小鬼 时间: 2009-3-3 23:18:07

我来答一下，当N大于3时，X等于前3项和。如当N=4时，X=4+2+1，如此类推。即Xn=X(n-1)+X(n-2)+X(n-3),n>3。要不楼主自己推导吧！这既不是等差也不是等比，只有递推公式的！没有通项式。

作者: Atato 时间: 2009-3-3 23:21:40

我还以为是水帖呢。
进来了才发现有趣。
其实木木木木木的问题...不就跟走楼梯一样么?都是排列组合.本质都是1+2+3+4+5+6....
所以出来斐波那契數列(懒得打这么难的字了,直接复制)是应该的.

作者: Atato 时间: 2009-3-3 23:23:41

同项是有点难啊...
话说...10楼的认为不是等差不是等比就没有同项公式么....

作者: tonylmd 时间: 2009-3-3 23:24:56

田也算啊？听说有个字4个田叠一起用五笔打是LLLL
顺便加两个
三雷靐 bìng雷声
爨据说是四个雷字…读beng
话说标题真的像极水贴我是看到发帖人骰迷才进来的
纯属无聊再加一个
《说文》解作“飞龙”。成语：龍行龘龘。龘字是现时大五码编码(big5)当中笔划最多的一个字，共48划

[ 本帖最后由 tonylmd 于 2009-3-3 23:35 编辑 ]

作者: R_胆小鬼 时间: 2009-3-3 23:28:07 标题: 回12#

不一定没有的。如等比乘等差可以推导出来。但有些只有递推公式。这题没有通顶可能是我没有能力推导吧！我已推了5分钟了…

作者: Vicki 时间: 2009-3-4 00:09:57

金木水火都有三个平起来的~

作者: zt40513091 时间: 2009-3-4 09:07:19

是在是太复杂了我真的不知道！

作者: 大魔王檀石槐 时间: 2009-3-4 10:12:42

数学真有趣, 吃饱了撑得没事干玩一下

作者: Atato 时间: 2009-3-4 13:59:20

原帖由 498232382 于 2009-3-3 23:28 发表
不一定没有的。如等比乘等差可以推导出来。但有些只有递推公式。这题没有通顶可能是我没有能力推导吧！我已推了5分钟了…

晕了。。。 Fibonacci 数列的通项是用无理数表示的....
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n

作者: kexin_xiao 时间: 2009-3-4 17:56:34

看来楼主的数学要比中文强很多

作者: juventus66 时间: 2009-3-4 19:08:41

好多木,看得眼花了

作者: 炀燚 时间: 2009-3-4 19:11:55

Fibonacci 数列的通项不难推导，我数学竞赛还没丢多久

作者: DK24 时间: 2009-3-4 20:56:03

这个是讲数的帖子啊，不要变成语文啦。

还有，楼主数学学得不错啊，上语文课想到了这个

。
其实以前我有时也会……

后面的3项相加的通项，有时间再想想。

作者: 第8个小笼包 时间: 2009-3-4 22:51:37 标题: 回复 5# 的帖子

斐波那契數列有通项公式吗？

作者: 第8个小笼包 时间: 2009-3-4 22:53:02

后面一个数列就是前三项相加

作者: 炀燚 时间: 2009-3-5 11:08:12 标题: 回复 23# 的帖子

Fibonacci 数列当然有通项
Fibonacci 数列通项的求法是数列递推中“特征方程和特征根”方法的例题

作者: 第8个小笼包 时间: 2009-3-5 13:08:49 标题: 回复 25# 的帖子

原来真的有也
【斐波那挈数列通项公式的推导】
[编辑本段]

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n

作者: lulijie 时间: 2009-3-7 12:25:40

数列公式X(N)： 2^（N-1）                                     N<=Y
                        X(N)=∑X(N-i)    i=1 to Y                N>Y
--------------------------------------------------------------------------
当Y=2时，就是 Fibonacci 数列
通项公式 X(N)=0.723606797749979 * (1.61803398874989) ^ N + 0.276393202250021 * (-0.618033988749895) ^ N
------------------------------------------------------------------------
当Y=3时
通项公式  X(N)=0.618419922319393 * (1.83928675521416) ^ N + 0.383408663070638 * (-0.737352705760328) ^ N * Cos(0.965359108097924 * N + 0.0977044663870669)
---------------------------------------------------------------------
电脑计算有精确度问题，但由于X(N)是整数，所以只要把小数点后的值四舍五入到个位，结果非常正确。
比如计算结果为6.99999999999999，其实就是等于7。

作者: 骰迷 时间: 2009-3-7 21:37:04

樓上果然強大，小數位那麼多。1.61803398874989好像就是黃金分割。

作者: lulijie 时间: 2009-3-10 17:54:05

当Y=4时
通项公式 X(N)=0.566342887702648 * 1.92756197548293 ^ n + 0.149469516524664 * (-0.774804113215433) ^ n + 0.289707512992734* (-0.81827609877954) ^ n * Cos(1.47731898080876 * n + 0.195520990558405)

作者: yzsjw0 时间: 2009-3-12 18:45:00

加上立体的：木木森，木森木，森木木，林森，森林。

作者: D.H. 时间: 2009-3-18 15:45:00

晕

作者: 斯芬克斯之谜 时间: 2009-5-22 20:17:08

好像就这么几种啊？……是伐？

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