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标题: 自然数的正弦问题 [打印本页]

作者: lulijie 时间: 2009-3-8 19:08:21 标题: 自然数的正弦问题

自然数有许多有趣的现象。
正弦函数大家都很熟悉，值域的绝对值在0和1之间。
将自然数和正弦函数结合在一起，就会发现一些有趣的现象。
首先以自然数为自变量的正弦函数(其实应该称正弦数列)的值的绝对值都在0和1之间，且不可能等于0或1.
用N表示自然数，用X=|Sin(N)| 表示 N的正弦函数的绝对值。
那么有以下的问题：
1. X的小数点后第一位数为m的概率是多少?（m为0到9的数字）
是不是不同的m，概率都相等？
2.对于任意小的数δ,1>δ>0,都存在一个自然数N，使得X=|Sin(N)| <δ。

作者: 弘傑 时间: 2009-3-8 19:15:09

这种问题好像很深奥......先占沙发，然后再想......

作者: 美景 时间: 2009-3-8 19:30:46

我三角函数学的不好！

作者: 炀燚 时间: 2009-3-8 19:33:57

按照现在的教材，自然数是包括0的(当然,取了0第2问就没有意义了)
1.概率相等吧（直觉）
2.当N越来越接近pie的10^k倍时,X会越来越接近0

作者: 炀燚 时间: 2009-3-8 19:34:36

这么专业的问题最好找个数学论坛问

作者: Cielo 时间: 2009-3-8 21:49:41

1.考虑单位圆，一点从（1，0）出发逆时针运动，运动的距离为1、2、3、……时其纵坐标的绝对值就是“自然数的正弦值”。
我猜这些点在圆周上是均匀分布的（因为 π 是无理数），那么只需通过反正弦函数算出 0.1、0.2、……、0.9 所对应的角度就可以确定首位是0、1、2、……、9的概率。
比如首位为1的概率是（arcsin0.2 - arcsin 0.1）/ （π/2）≈ 0.064419872839430015306916251184248
首位为9的概率是（arcsin1 - arcsin 0.9）/ （π/2）≈ 0.28713258625741254150188376955011

2.换个说法：是不是对于任意小的正数 ε，都有自然数 N，| N - kπ | ＜ ε，答案是肯定的（因为均匀分布）。

呵呵不知道这个解答对不对，尤其是“猜”的部分……

作者: kexin_xiao 时间: 2009-3-8 22:09:11

数学问题,好遥远啊,学习一下

作者: ggglgq 时间: 2009-3-9 06:56:52

　　　　
　　

   晕！整数群要参与实数域的概率了，真有点儿“老虎吃天”的感觉！　　

   嗯，lulijie 的思维很敏锐，加精研究学习！
　　　　
　　
　　　　　
　　　　

作者: ggglgq 时间: 2009-3-10 09:21:32

　　
　　

   初步感觉，Cielo 给出的解答很有道理！

   对于 N 进制来说，Y=|Sin(x)| 的小数点后第一位数为 m 的概率 P(m)

（m 为 0 到 N-1 的数字）的值为：  P(m) =2{arcsin[(m+1)/N]-arcsin(m/N)}/π  ，

好象与对数无关！（其中 N 为大于 1 的自然数）


   也就是说，不同的 m，概率彼此都不等。  容易得出，对于 N 进制来说，

y=arcsin(x) 在 (0,1) 上是斜率不断递增的函数，所以 P(m) 是不断递增的，

故 P(N-1) 最大，P(0) 最小。


　　
　　

楼主的第二问的答案应该是肯定的。
　　
　　　　


　　以上仅是本人的初步看法，不知道对否，欢迎大家批评指正。只是感觉和

      在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率

　 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=2153

相差甚远！那里是 P(1) 最大，在本题目中竟然 P(N-1) 是最大，P(0) 最小！
　　　　
　　
　　　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-10 12:17 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-3-10 11:10:13

受版主 在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率 贴子的启发，我想到了该贴。事先我让电脑计算了一下，以期发现什么规律，结果如下：
X=|Sin(N)| , N>=1 是一个数列，
下面设定程序让电脑计算数列前S项的值，统计如下

S=10000：
小数点后第一位为0的个数为646
小数点后第一位为1的个数为621
小数点后第一位为2的个数为677
小数点后第一位为3的个数为674
小数点后第一位为4的个数为733
小数点后第一位为5的个数为734
小数点后第一位为6的个数为846
小数点后第一位为7的个数为957
小数点后第一位为8的个数为1237
小数点后第一位为9的个数为2875
S=100000：
小数点后第一位为0的个数为6374
小数点后第一位为1的个数为6450
小数点后第一位为2的个数为6571
小数点后第一位为3的个数为6804
小数点后第一位为4的个数为7128
小数点后第一位为5的个数为7644
小数点后第一位为6的个数为8394
小数点后第一位为7的个数为9675
小数点后第一位为8的个数为12249
小数点后第一位为9的个数为28711
S=1000000：
小数点后第一位为0的个数为63751
小数点后第一位为1的个数为64452
小数点后第一位为2的个数为65754
小数点后第一位为3的个数为68024
小数点后第一位为4的个数为71343
小数点后第一位为5的个数为76356
小数点后第一位为6的个数为83974
小数点后第一位为7的个数为96692
小数点后第一位为8的个数为122530
小数点后第一位为9的个数为287124
S=10000000：
小数点后第一位为0的个数为637682
小数点后第一位为1的个数为644209
小数点后第一位为2的个数为657838
小数点后第一位为3的个数为680071
小数点后第一位为4的个数为713525
小数点后第一位为5的个数为763335
小数点后第一位为6的个数为839677
小数点后第一位为7的个数为967014
小数点后第一位为8的个数为1225325
小数点后第一位为9的个数为2871324
S=100000000：
小数点后第一位为0的个数为6376853
小数点后第一位为1的个数为6441993
小数点后第一位为2的个数为6578482
小数点后第一位为3的个数为6800650
小数点后第一位为4的个数为7135354
小数点后第一位为5的个数为7633224
小数点后第一位为6的个数为8396788
小数点后第一位为7的个数为9670104
小数点后第一位为8的个数为12253301
小数点后第一位为9的个数为28713251
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发现N不断增大时，概率是收敛的，也就是说存在极限值，随m值的增大而增大。为什么会有这现象，没细想。为了让大家分享自然数的奇妙，也为了求询这现象出现的原因。发了此贴。
6楼的Cielo ，根据他的猜想，推出了概率公式，与电脑的计算结果完全吻合。真是天才的构想。
现在只要证明了他的猜想，结论就成立了。这个猜想可不好证明，也不知能不能证明。
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在数学上，一个猜想没有得到严密的证明，只能算猜想，尽管它推出的结论完全符合实际情况。
在物理上，就不是这样了。比如运动定律，引力理论。都是先有了数据，然后找出理论，根据理论推出的结果与实验结果吻合，就把理论当做定理来应用，再用理论推导出新的结论，让实验来验证，若还是符合，就更加接受该理论。
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作者: R'cube 时间: 2009-3-10 11:17:18

说起来正弦函数后面的N为自然数，该自然数表示弧度？
如果是纯数的话，当N≥n!时,其中n≥6的自然数，其正弦值均为0

作者: lulijie 时间: 2009-3-10 12:02:37

下面我就用实验来验证这个猜想，不能算证明。
将圆周平分成M段，每段的长度为2*pi/M，各段的区间是
（0，2*pi/M)，（2*pi/N，2*2*pi/M），……，(i*2*pi/M，(i+1)*2*pi/M)，……（(M-1)2*pi/M，2*pi)。
N点在圆周的位置，就是将N减去周长的整数倍，即圆周的位置 L= N - 2*Pi* int（ N/（2*Pi））。 int 为取整函数。
让电脑计算L落在上述的那个区间，统计结果。当M非常大时，就接近于点在圆周上分布的疏密程度。N再取很大，就接近于全部自然数的分布疏密程度。
试验结果如下：
10等分时，计算前一千万个自然数在圆周各区间的分布：
第1个区间内的个数：999999
第2个区间内的个数：1000001
第3个区间内的个数：1000001
第4个区间内的个数：1000000
第5个区间内的个数：1000000
第6个区间内的个数：1000000
第7个区间内的个数：1000000
第8个区间内的个数：999999
第9个区间内的个数：999999
第10个区间内的个数：1000001
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100等分时，由于区间太多，就选前10个区间：
计算前一千万个自然数在圆周各区间的分布：
第1个区间内的个数：99999
第2个区间内的个数：100003
第3个区间内的个数：100000
第4个区间内的个数：100001
第5个区间内的个数：99999
第6个区间内的个数：100002
第7个区间内的个数：100000
第8个区间内的个数：100000
第9个区间内的个数：100001
第10个区间内的个数：99994
----------------------------------------------------
10000等分时，计算前一千万个自然数在圆周各区间的分布：
第1个区间内的个数：1000
第2个区间内的个数：1001
第3个区间内的个数：1001
第4个区间内的个数：999
第5个区间内的个数：1002
第6个区间内的个数：1001
第7个区间内的个数：999
第8个区间内的个数：1000
第9个区间内的个数：1001
第10个区间内的个数：1002
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一百万等分时，计算前一亿个自然数在圆周各区间的分布：
第1个区间内的个数：100
第2个区间内的个数：100
第3个区间内的个数：101
第4个区间内的个数：100
第5个区间内的个数：98
第6个区间内的个数：100
第7个区间内的个数：101
第8个区间内的个数：100
第9个区间内的个数：100
第10个区间内的个数：102。
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严格遵守在圆周均匀分布的规律。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-10 12:04 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-3-12 23:15:38

自然数的正弦数列X=|Sin(N)| ，X的小数点后第一位为m的概率，m 从0到9，概率递增。m=9概率最大，m=0概率最小。
那么自然数的余弦数列Y=|Cos(N)| ，Y的小数点后第一位为m的概率，又是如何分布呢？
            因为 X 的小数点后第一位为9的概率最大，那么根据    X ^2 + Y ^2=1 ，
            应该是Y的小数点后第一位为9的概率最小，这么考虑对不对呢？
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大家还是不要想当然，还是动手计算一下，就会大吃一惊，有时候直觉。。。。。。。
　　
　　　
　　
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　　正弦和余弦的问题显然一样嘛！楼主故意用  X^2 + Y^2 = 1  忽悠大家呢！

　　
　　
　　 ggglgq 回复
　　
　　
　　
　　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 10:33 编辑 ]

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